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Werk:De mathematica perfectione

2026-10-31T11:05:01Z

Sophos:

\{\{AufEinWortWerk
| Werkart = Abschrift
| Urheber = Federica de Felice
| Ururheber = Nikolaus von Kues
| Urwerk = De mathematica perfectione
| Urwerkdatum = 1. Oktober 1458
| Erstelldatum = 12. Mai 2026
| Erstellzeit = 9:49
| Güte = überarbeitet
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Meiner Verlag: [[Werk:Die mathematischen Schriften/Über die Mathematische Vollendung|Über die Mathematische Vollendung]], Anfang Oktober 1458
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Edition Open Sources Sources 13

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Federica De Felice:

De mathematica perfectione

DOI: 10.34663/9783945561515-16

In: Federica De Felice: Niccolò Cusano. Scritti matematici : Introduzione, traduzione e

note

Online version at <nowiki>https://edition-open-sources.org/sources/13/</nowiki>

ISBN 978-3-945561-50-8, DOI 10.34663/9783945561515-00

First published 2020 by Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften, Edition Open

Sources under Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

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Printed and distributed by:

epubli / neopubli GmbH, Berlin

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The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; de-

tailed bibliographic data are available in the Internet at <nowiki>http://dnb.d-nb.de</nowiki>

== De mathematica perfectione ==
Reverendissimo in Christo Patri, domino Antonio sanctae Romanae ecclesiae tituli sancti Chrysogoni presbytero cardinali, Nicolaus cardinalis tituli sancti Petri ad vincula de mathematica perfectione

1. Sollicita est nobilis mens vestra, P. reverendissime, ut videat etiam hebetiorum speculationes, et a me alias novi aliquid deposcebat. Et quoniam me a palatio pes morbidus excusavit, biduo domi sedens mathematicam perfectionem, quam mitto, conscripsi, quatenus virtutem coincidentiarum experimento ignotorum hactenus in theologicis inquisitionibus commendarem. Omne enim scibile mathematicum ex ipsa, uti exempla quaedam subiungo, attingitur in his obscuris semper quam avide quaesitis, quae nulli hactenus patuerunt. Quomodo autem mathematica nos ducant ad penitus absoluta divina et aeterna, melius me novit doctissima paternitas vestra, qui estis theologorum vertex. Quandam etiam meae considerationis circa speculum et aenigma parvam alligavi scripturam: ubi si R. P. V. modicum versari dignabitur, subito videbit, si visum mentis recte in rerum conieci principium, haec talia, quae etiam a doctissimis scribi timebantur. Quoniam minus apte panduntur quam contemplentur, non erubui P. V. mittere, cuius iudicio dirigi opto, sciens me non alieno, sed patri, qui me amat, communicare secreta, quae mihi pretiosiora fortassis videntur quam existant: correcturus aestimationem secundum vestram sententiam, quam istis libellis supplex ascribi deposco.

2. Intentio est ex oppositorum coincidentia mathematicam venari perfectionem. Et quia perfectio illa plerumque consistit in rectae curvaeque quantitatis adaequatione, propono habitudinem duarum rectarum linearum se ut chorda ad suum arcum habentium investigare, sciens illa habita me medium habere curvam quantitatem cum recta adaequandi; et quoniam ad has inveniendas necesse est me alicuius chordae ad arcum habitudinem scire, ut ex illa cognita pergere queam ad artem. Sed quomodo est possibile me cuiusquam datae chordae ad arcum habitudinem scire, cum inter illas quantitates adeo contrarias forte non cadat numerabilis habitudo?

3. Necesse erit igitur me recurrere ad visum intellectualem, qui videt minimam, sed non assignabilem chordam cum minimo arcu coincidere. Nam quanto chorda minor, tanto sagitta adhuc minor, ut ''de''sagitta chordae ''bc'' est minor quam ''ge'' sagitta chordae ''fh'', quia ''bc'' minor ''fh'', et ita consequenter (cfr. figura 1).
[[Datei:De mathematica perfectione fig1.png|zentriert|mini|454x454px|fig. 1]]
4. Minima igitur chorda, qua minor dari non posset, si signabilis foret, non haberet sagittam, et ita etiam non foret minor arcu suo. Coincideret igitur ibi chorda et arcus, si ad minimam quantitatem in talibus deveniretur. Hoc videt bene intellectus necessarium, licet sciat nec arcum nec chordam, cum sint quantitates, esse simpliciter minimas in actu et posse, cum continuum sit semper divisibile. Ad hauriendum autem scientiam habitudinis respicio ad intellectualem visionem et dico me videre, ubi est chordae et arcus aequalitas, scilicet in simpliciter minimo utriusque. Ex hac visa aequalitate pergo ad inquirendum intentum medio trianguli orthogonii, et hoc per propositionem, quae sequitur.

== Propositio ==
5. Si orthogonii latus, quo non est maius, ponitur linea prima et semidiameter circuli, et latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et reliquum latus tertia linea: quae erit semiarcus ad semichordam habitudo, illa erit lineae aequalis tribus primis lineis ad lineam aequalem duabus primis cum tertia.

Ut si orthogonius est ''abc'' et ''ac'' latus, quo non est maius, prima linea et semidiameter circuli, et ''bc''latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et ''ab'' latus tertia linea, et ''hc'' semiarcus, et de aequalis tribus lineis ''ac'', et ''fg'' aequalis duabus ''ac'' cum una ''ab''. Dico, quod quae est habitudo ''hc'' ad ''bc''illa est ''de'' ad ''fg'' (cfr. figura 2).
[[Datei:De mathematica perfectione fig2.png|zentriert|mini|900x900px|fig. 2]]

=== Explanatio propositionis ===
6. Orthogonius est tanto minor, quanto prima linea tertiam minus excedit. Si igitur posset dari minimus orthogonius, prima tertiam non excederet, et quia secunda linea foret minima, tunc cum ponatur semichorda, ipsa non foret minor semiarcu secundum praemissa.

Maximus autem orthogonius est, quando prima tertiam excedit maxime. Et hoc erit, quando tertia erit ut secunda, qua non est minor, et tunc secunda est semichorda quadrantis. Et sit ille orthogonius ''abc''(cfr. figura 3).
[[Datei:De mathematica perfectione fig3.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 3]]
Dico possibile esse, quod aliqua linea addatur ''ac'' et eadem addatur ''ab'', et maior se habeat ad minorem ut ''hc'' semiarcus ad ''bc'' semichordam. Hanc lineam posse dari, quae addatur ''ac'' et ''ab'', ut praefertur, certum relinquo, cum possit linea aliqua dari, quae addita ad ''ac'' et ''ab'' efficiat lineas maioris habitudinis quam est habitudo ''hc'' semiarcus ad ''bc'', et possit dari linea, quae addita efficiat lineas minoris habitudinis quam ''hc'' ad ''bc'', et hoc certum. Igitur et dari posse eam, quae addita efficiat lineas nec maioris nec minoris habitudinis quam ''hc'' ad ''bc'', manifestum, cum non repugnet lineas rectas se habere ut chorda ad arcum, sive chorda sit arcui commensurabilis sive incommensurabilis.

7. Constat autem, quod qualiscumque illa linea fuerit, si in minimo orthogonio etiam ad ''ac'' et ''ab''additur, propositio verificatur, cum ibi prima et tertia sic sint eadem sicut semiarcus et semichorda. Quare qualiscumque illa linea fuerit, quae additur, propositio vera manet. Et quia sic est, quod linea, quae additur in maximo orthogonio, est etiam illa, quae additur in minimo, igitur et in omnibus orthogoniis intermediis eadem manebit.

Et haec est radix huius scientiae, ex qua sequitur, quod si reperio lineam, quam addo in orthogonio, cuius ''bc'' est semichorda quadrantis, et quam etiam addo, ubi ''bc'' est semichorda hexagoni, et quae hinc inde reperio, tenent habitudinem ad invicem sicut arcus scilicet ut tria ad duo. Patet me lineam addendam in omnibus invenisse, et hoc est indubitatum.

8. Hoc faciliter sic patet. Possibile est lineam aequalem tertiae adiunctis duabus primis orthogonii ad lineam ex prima adiunctis quattuor se|cundis in aliquo loco se habere ut semichorda ad semiarcum. Hoc certum. Nam datur, ubi in minus, ut in maioribus orthogoniis, et ubi in plus, ut in minoribus, ut de se patet: datur igitur in aliquo loco, ubi nec in plus nec in minus. Ubicumque hoc fuerit, oportet per praemissa, quod sit eadem linea, quae additur ad tertiam et quae additur ad primam. Sed quae additur ad tertiam, est prima bis. Igitur quae additur ad primam, erit similiter ut prima bis, et ita erit, ubi secunda erit medietas primae, scilicet semichorda arcus hexagoni. Quare addenda est diameter.

9. Sic poteris et aliter idipsum videre. Puta datur, ubi prima bis cum secunda bis se habet ad primam ter sicut semichorda ad semiarcum, arguendo ut ante: Sed cum una debet esse linea addita ad tertiam et primam, et ad primam additur prima bis, et prima bis additur ad secundam bis, erit secunda bis ut tertia, et quae additur, erit diameter. Et consimilia facere poteris argumenta, quot placuerint.

Sed propositio dicit lineam addendam ad ''ac'' et ''ab'' esse diametrum sive duplam ad ''ac'', quod idem est. Poteris hoc experiri ex iam dicto, scilicet an in omnibus proportionabiliter idem eveniat.

10. Sed ut tu videas utique sic esse, ut habet propositio, sumas duplicem orthogonium, ut est ''abc'' et ''abd'', et describe arcum ''dc'' continuando etiam ''ab'' ad arcum, et sit ''be'' sagitta (cfr. figura 4). Dico possibile esse aliquem triangulum ex orthogoniis compositum sic se habere, quod si ''ac'' et ''ad'' continuantur in infinitum, et chorda aliqua, quae sit aequedistans ad ''dc'', fiat aequalis ''ad'', ''ac'' et ''ab'', ut ''gf'': quod tunc arcus, cuius ''gf'' chorda, excedat chordam in ''be'' sagitta, scilicet in tantum, quantum ''ae'' excedit ''ab''.
[[Datei:De mathematica perfectione fig4.png|zentriert|mini|310x310px|fig. 4]]
11. Hoc quidem in aliquo loco possibile esse negari nequit, puta ubi tres semidiametri minus sagitta sunt triplae ad chordam. Tamen sive ibi sive alibi sit, non variat; sufficit, quod in aliquo loco est possibile.

Et hoc si volueris ut ante probare, poteris: quia datur, ubi excessus est in minus quam sagitta, et datur, ubi in plus; et haec certa relinquo. Datur igitur, ubi nec in plus nec in minus modo praemisso. Ubicumque autem hoc fuerit, patet ''ac'', ''ad'' cum ''ab'' se habere ad ''ac'' ter sicut chorda ad arcum. Patet, quia ''ac'' ter cum ''ac'' ter minus sagitta in aliquo loco aequentur chordae et arcui simul, et hoc certum, aut igitur ibi, ubi arcus excedit chordam in dicta sagitta. Et habetur propositum aut citra vel ultra. Si citra: tunc, cum arcus chordam minus excedat quam in dicta sagitta, ideo chorda erit maior quam ubi arcus excedit chordam in dicta sagitta, quod est impossibile, scilicet minorem arcum habere maiorem chordam. Sic, si diceretur quod ultra: oporteret maiorem arcum habere minorem chordam. Quare linea ad ''ac'' et ''ab'' addenda est ''ac'' bis seu diameter circuli, et haec est veritas.

12. Cur autem sit diameter eiusdem circuli, forte dici poterit, quod cum linea addenda sit alicuius circuli diameter. Non dicetur, quod sit maioris circuli diameter, quia tunc non haberet veritatem in maximo circulo, quo actu non est maior. Nec potest dici, quod sit minoris, quia in minimo circulo actu non haberet veritatem; et ita in nullo, cum id, quod de circulo ut de circulo dicitur, omnibus convenire necesse sit. Et si omnibus non convenit, tunc nulli: sive tamen illa sive alia sit ratio, non refert. Sic patet propositionis intellectus.

13. Adiciam aliam eiusdem lineae addendae ostensionem (cfr. figura 5). Dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', se habet in maiori habitudine quam ''hc'' ad ''bc'': uti est linea ad ''ac'' dupla. Et dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', habet minorem habitudinem quam ''hc'' ad ''bc'': uti est quadrupla ad ''ac''. Et haec verissima. Quare dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', se habet in habitudine qua ''hc'' ad ''bc''. Et haec, cum sit necessario maior dupla et minor quadrupla, erit tripla ad ''ac''. Quare addenda ad ''ac'' erit dupla ad ipsam seu diameter.
[[Datei:De mathematica perfectione fig5.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 5]]
14. Ut autem in numeris tu videas illa vera, quae de dupla et quadrupla ad ''ac'' dixi, ponas secundum propinquitatem Archimedis ''ac'' esse 7 et ''ab'' quasi 5, et sit ''bc'', ut in quadrante, ei aequalis etiam 5. Et ''hc''erit 5 cum dimidio secundum propinquitatem positionis, quod semicirculus sit ''ac'' ter cum una septima, scilicet quasi 22, et ita habitudo ''hc'' ad ''bc'' erit quasi 5 cum dimidio ad 5 sive 11 ad 10, et excessus ''ac'' super ''ab'' quasi duo. Et patet, quod dupla ad ''ac'', scilicet 14, se habet ad minorem ea in quantitate excessus, qua ''ac'' excedit ''ab'', scilicet qui est quasi duo, puta 12, in maiori habitudine quam 11 ad 10, et quater ac, scilicet 28, ad minorem ei in duobus, scilicet 26, in minori habitudine quam 11 ad 10. Ideo linea, cuius ''ac'' debet esse aliquota, debet esse maior dupla et minor quadrupla. Erit igitur tripla, cum illa sola sit media, cuius ''ac'' est aliquota.

15. Causa autem, cur procedit argumentatio, quod linea, quae quaeritur, debet esse pars aliquota ''ac'', est ista: Quia cum debeat esse una in omnibus orthogoniis, tunc necesse est, quod respiciat ''ac'', quae etiam est una in omnibus, et non ''ab'' vel ''bc'', quae semper variantur. Possent alii innumerabiles modi ostensionis propositionis adduci, sed isti sunt fundamentales et sufficientes.

16. Multa hic propalantur abscondita, quoniam vides, quomodo id, quod verificatur de maximo et minimo, verificatur de mediis, et quod ille, qui videt maximum coincidere cum minimo, quoniam maximum pariter et minimum, ille in ipso videt omnia. Et praxim habes venandi scientiam commensurationis contrariorum, quae incommensurabilia videntur. Haec mihi magna et prius intacta videntur. Archimedes etenim, qui per helicam voluit rectam circumferentiae circuli commensurare, nihil de arte tetigit nec id invenit in dicto particulari, quod quaesivit; peccavit enim praesupponens, quod quaesivit. Helica enim sive spiralis linea sine motu duorum punctorum, quorum motuum habitudo est ut semidiameter ad circumferentiam circuli, describi nequit. Id igitur praesupposuit, dum de helica loqueretur, quod quaesivit. Sed haec sic sint. Redeamus ad institutum et ex fecunditate propositionis aliqua eliciamus corollaria, ut pari modo innumera alia his datis queant explicare.

==== Corollarium (1) ====
17. Illa est habitudo trium semidiametrorum ad tres semidiametros minus sagitta chordae quadrantis et minoris, quae est cuiuslibet arcus ad suam chordam (cfr. figura 6).
[[Datei:De mathematica perfectione fig6.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 6]]
Ut si ''bc'' sit chorda quadrantis vel minoris arcus, et ''de'' a centro per ''d'' medium ''bc'' ad ''e'' circumferentiam sector ducatur. Illa est habitudo ''ae'' ter sumpta ad ''ae'' bis sumpta cum ''ad'', quae arcus ad ''bc'' chordam. Cum autem dicitur ''de'' chorda quadrantis et minoris, patet ideo, quod in maiori chorda latus orthogonii, quo non est minus, non possit esse semichorda, quod tamen requiritur. Et clare patet corollarium ex praemissis.

==== Corollarium (2) ====
18. Datum arcum in rectam resolvere.
[[Datei:De mathematica perfectione fig7.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 7]]
Arcus enim, si est quadrans et minor, ipsum sic recipito; si maior, partem eius recipito aliquotam, quae sit quadrans aut minor. Et sit ''bc'' arcus quadrantis in rectam resolvendus (cfr. figura 7). Trahe de ''a''centro lineas per ''b'' et ''c'' in infinitum et aliam ad medium chordae, scilicet ''ad'', et inter infinitas lineas unam aequedistantem ad ''bc'' chordam describe, quae sit aequalis ''ab'', ''ad'' et ''ac'', et sit ''ef'' aequalis illis. In ''ef'' signa ''ab'', et sit ''fg'' ut ''ab'', et trahe ''ag'' lineam notando, ubi chordam ''bc'' secat, ponendo ''h'' litteram. Dico ''hc'' esse tertiam arcus. Tripla igitur ''hc'', et redegisti arcum in rectam. Vel trahe aequedistantem ad ''bc''versus centrum, quae sit ''ikl'', ita quod ''ai'', ''ak'' et ''al'' simul aequentur ''bc'' chordae, et ''ai'' erit tertia arcus. Haec omnia de se patent.
[[Datei:De mathematica perfectione fig8.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 8]]

==== Corollarium (3) ====
19. Datam rectam in arcum resolvere.

Sit ''ab'' recta, quam si vis in quadrantem alicuius circuli resolvere, fac de ''o'' centro lineas, quae rectum angulum constituunt, exire indefinitae quantitatis, quae sint ''od'' et ''oe'', et aliam fac transire ''e'' medio anguli, scilicet ''of'', et tertiam partem ''ab'' lineae resolvendae signa in ''od'' et ''oe'', et sit ''og'' ut tertia ''ab'', similiter et ''oh'', trahendo ''gih'' (cfr. figura 8). Et consequenter trahe aequedistantem ad ''gih'' aequalem ''og'', ''oi'' et ''oh'', et sit ''kl'' illis aequalis, et describe quadrantem, cuius ''kl'' chorda, quia ille est, cui ''ab'' aequatur. Et si in alium arcum resolvere volueris, qui fuerit minor quadrante, eodem modo facito; si maior, recipito partem aliquotam. Puta vis in circulum reducere, recipito quartam partem rectae et resolve in quadrantem, et totum in circulum reduxisti.

20. Si vero datam rectam in arcum dati circuli resolvere volueris, vel cum tota vel parte aliquota eius, procede modo quo supra, angulum ''od'' et ''oe'' variando, quousque attingas chordam, quae ''og'', ''oi'' et ''oh''aequetur.

==== Corollarium (4) ====
21. Datum arcum unius circuli in arcum alterius circuli resolvere.

Hoc fit resolvendo ipsum primo in rectam, deinde rectam in arcum alterius modo praemisso.

==== Corollarium (5) ====
22. Angulos, qui se habent ut datae lineae, assignare.

Hoc fit in resolvendo lineas in arcus eiusdem circuli et a centro sectores ad fines talium arcuum trahendo.

==== Corollarium (6) ====
23. Quae est habitudo semidiametri ad semidiametrum minus sagitta, illa est tertiae arcus ad excessum, quo chorda duas tertias arcus sui excedit (cfr. figura 9). Puta sit ''bc'' chorda quadrantis, et in illa per praemissa signasti duas tertias arcus, scilicet ''cd'' et ''de''. Dico quod habitudo ''de'' tertiae arcus ad ''eb'' excessum, quo chorda duas tertias excedit, est sicut semidiameter ad semidiametrum minus sagitta. Patet corollarium ex praemissis. Et habet veritatem in maximo et minimo orthogonio et in omnibus mediis.
[[Datei:De mathematica perfectione fig9.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 9]]

==== Corollarium (7) ====
24. Chordam dati arcus partis aliquotae semicirculi assignare.

Puta tu vis ex scientia chordae quadrantis scire chordam arcus, qui est medietatis quadrantis. Tu nosti partem chordae quadrantis, quae aequatur tertiae arcus, et recipis medietatem illius et addis ei similem, et quaeris excessum, qui se habeat ad unam tertiam sicut semidiameter minus sagitta ad semidiametrum.

25. Subiciam adhuc curiosa corollaria.

Si tres semidiametri minus sagitta erunt triplae ad chordam, erit arcus ut semidiameter.

Si erunt duplae ad chordam, arcus se habebit in proportione sesquialtera ad semidiametrum.

Tres semidiametri sunt medium proportionale inter tres semidiametros minus sagitta et semicirculum.

Si tres semidiametri minus sagitta fuerint multiplices ad chordam, sic erunt et tres semidiametri minus sagitta ad chordam medietatis arcus et cuiuslibet partis aliquotae proportionabiliter.

Tria latera trigoni aequilateri erunt ut circumferentia circuli illius, cuius diameter est tertia pars duorum laterum et lineae rectae de uno latere ad medium lateris sibi oppositi.

26. Si a centro tres lineae ducantur, una per principium chordae quadrantis aut minoris arcus, alia per medium, tertia per finem, quae in linea aequedistanti chordae terminentur, ita quod illarum trium linearum habitudo ad chordam sit ut circumferentiae ad arcum, tunc linea ducta per principium chordae triplicata est aequalis circumferentiae.

Arcus aequalis tribus quartis diametri excedit chordam suam in medietate sagittae.

Diameter circuli est aequalis duabus tertiis laterum trigoni isoperimetri et semidiametro circuli eidem trigono inscripti.

Excessus semicirculi super duas chordas quadrantis est ut excessus diametri quadrati aequalis tertiae parti eius super suam costam.

Habitudo trium diametrorum circuli ad suam circumferentiam est ut 14 cum radice de 36 et 3/4 ad 21.

Scientia chordarum nunc exstat perfecte adinventa.

Scientia quadraturae circuli suum finem sortita existit. Secundum datarum linearum habitudinem sive commensurabilium sive incommensurabilium lineas et superficies rectas et curvas atque corpora dari docet haec ars perfectissima.

Adhuc ex coincidentia minimae contingentiae et minimi arcus propositionem recipio, quae est talis:

=== Propositio ===
[[Datei:De mathematica perfectione fig10.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 10]]
27. Si ponitur secundum latus orthogonii semidiameter circuli et tertium linea contingens circulum vel e converso, et descriptus fuerit circulus, quae erit habitudo contingentis ad arcum, qui cadit intra orthogonium, illa et rectae atque curvae superficierum (cfr. figura 10).

Ut si orthogonius fuerit ''abc'' et ''bc'' contingens et ''ab'' semidiameter circulo descripto, cuius ''bd'' portio cadit intra orthogonium, quae est ''bc'' ad ''bd'', illa ''abc'' rectae superficiei ad ''abd'' curvam superficiem.

Probatio huius est: Quia cum sic sit in minimo, si dari posset, igitur et in omnibus, cum non referat, utrum orthogonius sit maximus vel non.

28. Datam superficiem ex arcu et sectoribus constitutam in orthogonium resolvere.

Ut sit ''abc'', resolvatur ''bd'' arcus in rectam, quae sit ''bc'', et claudatur orthogonius per ''ac''. Et ita habes, sive ''bc'' sit ad circumferentiam proportionabilis sive non, quomodo in rectam superficiem redigatur. Et habes, quomodo circulum in orthogonium resolvis et demum in quadratum seu aliam figuram.

29. Datam superficiem rectam in portionem circularem resolvere.

Ex praemissis patet, quod si est orthogonius, quomodo hoc fiat; si non est, redigatur in orthogonium.

Abscisiones ex chorda et arcu in rectas aut circulares resolvere, de se patet.

30. Abscisionum sphaerae habitudo curvae superficiei ad rectam basis est ut linea de cenit ad centrum basis cum semidiametro basis ad ipsam semidiametrum.

Patet, quia in minima abscisione, ubi recta superficies coincidit cum curva et cenit cum centro, ita est; ideo in omnibus.

Curva superficies medietatis sphaerae est dupla ad rectam circuli basis.

Datam curvam sphaerae superficiem in rectam resolvere, circularem et rectilinealem.

Sphaeram in cubum et cubum in sphaeram resolvere.

Simili modo in aliis curvis superficiebus ad minima respiciendo habitudines elice. Et quidquid scibile est humanitus in mathematicis, mea sententia hac via reperietur.

Deo laus.

[[Kategorie:Cusanus mathematische Schriften]]

Schema:Person

2026-10-30T17:34:02Z

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Werk:De mathematica perfectione

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| Urwerk = De mathematica perfectione
| Urwerkdatum = 1. Oktober 1458
| Erstelldatum = 12. Mai 2026
| Erstellzeit = 9:49
| Güte = überarbeitet
| Prüfstand = geprüft
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Meiner Verlag: [[Werk:Die mathematischen Schriften/Über die Mathematische Vollendung|Über die Mathematische Vollendung]], Anfang Oktober 1458
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Edition Open Sources Sources 13

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Federica De Felice:

De mathematica perfectione

DOI: 10.34663/9783945561515-16

In: Federica De Felice: Niccolò Cusano. Scritti matematici : Introduzione, traduzione e

note

Online version at <nowiki>https://edition-open-sources.org/sources/13/</nowiki>

ISBN 978-3-945561-50-8, DOI 10.34663/9783945561515-00

First published 2020 by Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften, Edition Open

Sources under Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

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== De mathematica perfectione ==
Reverendissimo in Christo Patri, domino Antonio sanctae Romanae ecclesiae tituli sancti Chrysogoni presbytero cardinali, Nicolaus cardinalis tituli sancti Petri ad vincula de mathematica perfectione

1. Sollicita est nobilis mens vestra, P. reverendissime, ut videat etiam hebetiorum speculationes, et a me alias novi aliquid deposcebat. Et quoniam me a palatio pes morbidus excusavit, biduo domi sedens mathematicam perfectionem, quam mitto, conscripsi, quatenus virtutem coincidentiarum experimento ignotorum hactenus in theologicis inquisitionibus commendarem. Omne enim scibile mathematicum ex ipsa, uti exempla quaedam subiungo, attingitur in his obscuris semper quam avide quaesitis, quae nulli hactenus patuerunt. Quomodo autem mathematica nos ducant ad penitus absoluta divina et aeterna, melius me novit doctissima paternitas vestra, qui estis theologorum vertex. Quandam etiam meae considerationis circa speculum et aenigma parvam alligavi scripturam: ubi si R. P. V. modicum versari dignabitur, subito videbit, si visum mentis recte in rerum conieci principium, haec talia, quae etiam a doctissimis scribi timebantur. Quoniam minus apte panduntur quam contemplentur, non erubui P. V. mittere, cuius iudicio dirigi opto, sciens me non alieno, sed patri, qui me amat, communicare secreta, quae mihi pretiosiora fortassis videntur quam existant: correcturus aestimationem secundum vestram sententiam, quam istis libellis supplex ascribi deposco.

2. Intentio est ex oppositorum coincidentia mathematicam venari perfectionem. Et quia perfectio illa plerumque consistit in rectae curvaeque quantitatis adaequatione, propono habitudinem duarum rectarum linearum se ut chorda ad suum arcum habentium investigare, sciens illa habita me medium habere curvam quantitatem cum recta adaequandi; et quoniam ad has inveniendas necesse est me alicuius chordae ad arcum habitudinem scire, ut ex illa cognita pergere queam ad artem. Sed quomodo est possibile me cuiusquam datae chordae ad arcum habitudinem scire, cum inter illas quantitates adeo contrarias forte non cadat numerabilis habitudo?

3. Necesse erit igitur me recurrere ad visum intellectualem, qui videt minimam, sed non assignabilem chordam cum minimo arcu coincidere. Nam quanto chorda minor, tanto sagitta adhuc minor, ut ''de''sagitta chordae ''bc'' est minor quam ''ge'' sagitta chordae ''fh'', quia ''bc'' minor ''fh'', et ita consequenter (cfr. figura 1).
[[Datei:De mathematica perfectione fig1.png|zentriert|mini|454x454px|fig. 1]]
4. Minima igitur chorda, qua minor dari non posset, si signabilis foret, non haberet sagittam, et ita etiam non foret minor arcu suo. Coincideret igitur ibi chorda et arcus, si ad minimam quantitatem in talibus deveniretur. Hoc videt bene intellectus necessarium, licet sciat nec arcum nec chordam, cum sint quantitates, esse simpliciter minimas in actu et posse, cum continuum sit semper divisibile. Ad hauriendum autem scientiam habitudinis respicio ad intellectualem visionem et dico me videre, ubi est chordae et arcus aequalitas, scilicet in simpliciter minimo utriusque. Ex hac visa aequalitate pergo ad inquirendum intentum medio trianguli orthogonii, et hoc per propositionem, quae sequitur.

== Propositio ==
5. Si orthogonii latus, quo non est maius, ponitur linea prima et semidiameter circuli, et latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et reliquum latus tertia linea: quae erit semiarcus ad semichordam habitudo, illa erit lineae aequalis tribus primis lineis ad lineam aequalem duabus primis cum tertia.

Ut si orthogonius est ''abc'' et ''ac'' latus, quo non est maius, prima linea et semidiameter circuli, et ''bc''latus, quo non est minus, secunda linea et semichorda, et ''ab'' latus tertia linea, et ''hc'' semiarcus, et de aequalis tribus lineis ''ac'', et ''fg'' aequalis duabus ''ac'' cum una ''ab''. Dico, quod quae est habitudo ''hc'' ad ''bc''illa est ''de'' ad ''fg'' (cfr. figura 2).
[[Datei:De mathematica perfectione fig2.png|zentriert|mini|900x900px|fig. 2]]

=== Explanatio propositionis ===
6. Orthogonius est tanto minor, quanto prima linea tertiam minus excedit. Si igitur posset dari minimus orthogonius, prima tertiam non excederet, et quia secunda linea foret minima, tunc cum ponatur semichorda, ipsa non foret minor semiarcu secundum praemissa.

Maximus autem orthogonius est, quando prima tertiam excedit maxime. Et hoc erit, quando tertia erit ut secunda, qua non est minor, et tunc secunda est semichorda quadrantis. Et sit ille orthogonius ''abc''(cfr. figura 3).
[[Datei:De mathematica perfectione fig3.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 3]]
Dico possibile esse, quod aliqua linea addatur ''ac'' et eadem addatur ''ab'', et maior se habeat ad minorem ut ''hc'' semiarcus ad ''bc'' semichordam. Hanc lineam posse dari, quae addatur ''ac'' et ''ab'', ut praefertur, certum relinquo, cum possit linea aliqua dari, quae addita ad ''ac'' et ''ab'' efficiat lineas maioris habitudinis quam est habitudo ''hc'' semiarcus ad ''bc'', et possit dari linea, quae addita efficiat lineas minoris habitudinis quam ''hc'' ad ''bc'', et hoc certum. Igitur et dari posse eam, quae addita efficiat lineas nec maioris nec minoris habitudinis quam ''hc'' ad ''bc'', manifestum, cum non repugnet lineas rectas se habere ut chorda ad arcum, sive chorda sit arcui commensurabilis sive incommensurabilis.

7. Constat autem, quod qualiscumque illa linea fuerit, si in minimo orthogonio etiam ad ''ac'' et ''ab''additur, propositio verificatur, cum ibi prima et tertia sic sint eadem sicut semiarcus et semichorda. Quare qualiscumque illa linea fuerit, quae additur, propositio vera manet. Et quia sic est, quod linea, quae additur in maximo orthogonio, est etiam illa, quae additur in minimo, igitur et in omnibus orthogoniis intermediis eadem manebit.

Et haec est radix huius scientiae, ex qua sequitur, quod si reperio lineam, quam addo in orthogonio, cuius ''bc'' est semichorda quadrantis, et quam etiam addo, ubi ''bc'' est semichorda hexagoni, et quae hinc inde reperio, tenent habitudinem ad invicem sicut arcus scilicet ut tria ad duo. Patet me lineam addendam in omnibus invenisse, et hoc est indubitatum.

8. Hoc faciliter sic patet. Possibile est lineam aequalem tertiae adiunctis duabus primis orthogonii ad lineam ex prima adiunctis quattuor se|cundis in aliquo loco se habere ut semichorda ad semiarcum. Hoc certum. Nam datur, ubi in minus, ut in maioribus orthogoniis, et ubi in plus, ut in minoribus, ut de se patet: datur igitur in aliquo loco, ubi nec in plus nec in minus. Ubicumque hoc fuerit, oportet per praemissa, quod sit eadem linea, quae additur ad tertiam et quae additur ad primam. Sed quae additur ad tertiam, est prima bis. Igitur quae additur ad primam, erit similiter ut prima bis, et ita erit, ubi secunda erit medietas primae, scilicet semichorda arcus hexagoni. Quare addenda est diameter.

9. Sic poteris et aliter idipsum videre. Puta datur, ubi prima bis cum secunda bis se habet ad primam ter sicut semichorda ad semiarcum, arguendo ut ante: Sed cum una debet esse linea addita ad tertiam et primam, et ad primam additur prima bis, et prima bis additur ad secundam bis, erit secunda bis ut tertia, et quae additur, erit diameter. Et consimilia facere poteris argumenta, quot placuerint.

Sed propositio dicit lineam addendam ad ''ac'' et ''ab'' esse diametrum sive duplam ad ''ac'', quod idem est. Poteris hoc experiri ex iam dicto, scilicet an in omnibus proportionabiliter idem eveniat.

10. Sed ut tu videas utique sic esse, ut habet propositio, sumas duplicem orthogonium, ut est ''abc'' et ''abd'', et describe arcum ''dc'' continuando etiam ''ab'' ad arcum, et sit ''be'' sagitta (cfr. figura 4). Dico possibile esse aliquem triangulum ex orthogoniis compositum sic se habere, quod si ''ac'' et ''ad'' continuantur in infinitum, et chorda aliqua, quae sit aequedistans ad ''dc'', fiat aequalis ''ad'', ''ac'' et ''ab'', ut ''gf'': quod tunc arcus, cuius ''gf'' chorda, excedat chordam in ''be'' sagitta, scilicet in tantum, quantum ''ae'' excedit ''ab''.
[[Datei:De mathematica perfectione fig4.png|zentriert|mini|310x310px|fig. 4]]
11. Hoc quidem in aliquo loco possibile esse negari nequit, puta ubi tres semidiametri minus sagitta sunt triplae ad chordam. Tamen sive ibi sive alibi sit, non variat; sufficit, quod in aliquo loco est possibile.

Et hoc si volueris ut ante probare, poteris: quia datur, ubi excessus est in minus quam sagitta, et datur, ubi in plus; et haec certa relinquo. Datur igitur, ubi nec in plus nec in minus modo praemisso. Ubicumque autem hoc fuerit, patet ''ac'', ''ad'' cum ''ab'' se habere ad ''ac'' ter sicut chorda ad arcum. Patet, quia ''ac'' ter cum ''ac'' ter minus sagitta in aliquo loco aequentur chordae et arcui simul, et hoc certum, aut igitur ibi, ubi arcus excedit chordam in dicta sagitta. Et habetur propositum aut citra vel ultra. Si citra: tunc, cum arcus chordam minus excedat quam in dicta sagitta, ideo chorda erit maior quam ubi arcus excedit chordam in dicta sagitta, quod est impossibile, scilicet minorem arcum habere maiorem chordam. Sic, si diceretur quod ultra: oporteret maiorem arcum habere minorem chordam. Quare linea ad ''ac'' et ''ab'' addenda est ''ac'' bis seu diameter circuli, et haec est veritas.

12. Cur autem sit diameter eiusdem circuli, forte dici poterit, quod cum linea addenda sit alicuius circuli diameter. Non dicetur, quod sit maioris circuli diameter, quia tunc non haberet veritatem in maximo circulo, quo actu non est maior. Nec potest dici, quod sit minoris, quia in minimo circulo actu non haberet veritatem; et ita in nullo, cum id, quod de circulo ut de circulo dicitur, omnibus convenire necesse sit. Et si omnibus non convenit, tunc nulli: sive tamen illa sive alia sit ratio, non refert. Sic patet propositionis intellectus.

13. Adiciam aliam eiusdem lineae addendae ostensionem (cfr. figura 5). Dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', se habet in maiori habitudine quam ''hc'' ad ''bc'': uti est linea ad ''ac'' dupla. Et dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', habet minorem habitudinem quam ''hc'' ad ''bc'': uti est quadrupla ad ''ac''. Et haec verissima. Quare dabilis est linea, cuius ''ac'' est pars aliquota, quae ad lineam, quam excedit in quantitate, qua ''ac'' excedit ''ab'', se habet in habitudine qua ''hc'' ad ''bc''. Et haec, cum sit necessario maior dupla et minor quadrupla, erit tripla ad ''ac''. Quare addenda ad ''ac'' erit dupla ad ipsam seu diameter.
[[Datei:De mathematica perfectione fig5.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 5]]
14. Ut autem in numeris tu videas illa vera, quae de dupla et quadrupla ad ''ac'' dixi, ponas secundum propinquitatem Archimedis ''ac'' esse 7 et ''ab'' quasi 5, et sit ''bc'', ut in quadrante, ei aequalis etiam 5. Et ''hc''erit 5 cum dimidio secundum propinquitatem positionis, quod semicirculus sit ''ac'' ter cum una septima, scilicet quasi 22, et ita habitudo ''hc'' ad ''bc'' erit quasi 5 cum dimidio ad 5 sive 11 ad 10, et excessus ''ac'' super ''ab'' quasi duo. Et patet, quod dupla ad ''ac'', scilicet 14, se habet ad minorem ea in quantitate excessus, qua ''ac'' excedit ''ab'', scilicet qui est quasi duo, puta 12, in maiori habitudine quam 11 ad 10, et quater ac, scilicet 28, ad minorem ei in duobus, scilicet 26, in minori habitudine quam 11 ad 10. Ideo linea, cuius ''ac'' debet esse aliquota, debet esse maior dupla et minor quadrupla. Erit igitur tripla, cum illa sola sit media, cuius ''ac'' est aliquota.

15. Causa autem, cur procedit argumentatio, quod linea, quae quaeritur, debet esse pars aliquota ''ac'', est ista: Quia cum debeat esse una in omnibus orthogoniis, tunc necesse est, quod respiciat ''ac'', quae etiam est una in omnibus, et non ''ab'' vel ''bc'', quae semper variantur. Possent alii innumerabiles modi ostensionis propositionis adduci, sed isti sunt fundamentales et sufficientes.

16. Multa hic propalantur abscondita, quoniam vides, quomodo id, quod verificatur de maximo et minimo, verificatur de mediis, et quod ille, qui videt maximum coincidere cum minimo, quoniam maximum pariter et minimum, ille in ipso videt omnia. Et praxim habes venandi scientiam commensurationis contrariorum, quae incommensurabilia videntur. Haec mihi magna et prius intacta videntur. Archimedes etenim, qui per helicam voluit rectam circumferentiae circuli commensurare, nihil de arte tetigit nec id invenit in dicto particulari, quod quaesivit; peccavit enim praesupponens, quod quaesivit. Helica enim sive spiralis linea sine motu duorum punctorum, quorum motuum habitudo est ut semidiameter ad circumferentiam circuli, describi nequit. Id igitur praesupposuit, dum de helica loqueretur, quod quaesivit. Sed haec sic sint. Redeamus ad institutum et ex fecunditate propositionis aliqua eliciamus corollaria, ut pari modo innumera alia his datis queant explicare.

==== Corollarium (1) ====
17. Illa est habitudo trium semidiametrorum ad tres semidiametros minus sagitta chordae quadrantis et minoris, quae est cuiuslibet arcus ad suam chordam (cfr. figura 6).
[[Datei:De mathematica perfectione fig6.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 6]]
Ut si ''bc'' sit chorda quadrantis vel minoris arcus, et ''de'' a centro per ''d'' medium ''bc'' ad ''e'' circumferentiam sector ducatur. Illa est habitudo ''ae'' ter sumpta ad ''ae'' bis sumpta cum ''ad'', quae arcus ad ''bc'' chordam. Cum autem dicitur ''de'' chorda quadrantis et minoris, patet ideo, quod in maiori chorda latus orthogonii, quo non est minus, non possit esse semichorda, quod tamen requiritur. Et clare patet corollarium ex praemissis.

==== Corollarium (2) ====
18. Datum arcum in rectam resolvere.
[[Datei:De mathematica perfectione fig7.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 7]]
Arcus enim, si est quadrans et minor, ipsum sic recipito; si maior, partem eius recipito aliquotam, quae sit quadrans aut minor. Et sit ''bc'' arcus quadrantis in rectam resolvendus (cfr. figura 7). Trahe de ''a''centro lineas per ''b'' et ''c'' in infinitum et aliam ad medium chordae, scilicet ''ad'', et inter infinitas lineas unam aequedistantem ad ''bc'' chordam describe, quae sit aequalis ''ab'', ''ad'' et ''ac'', et sit ''ef'' aequalis illis. In ''ef'' signa ''ab'', et sit ''fg'' ut ''ab'', et trahe ''ag'' lineam notando, ubi chordam ''bc'' secat, ponendo ''h'' litteram. Dico ''hc'' esse tertiam arcus. Tripla igitur ''hc'', et redegisti arcum in rectam. Vel trahe aequedistantem ad ''bc''versus centrum, quae sit ''ikl'', ita quod ''ai'', ''ak'' et ''al'' simul aequentur ''bc'' chordae, et ''ai'' erit tertia arcus. Haec omnia de se patent.
[[Datei:De mathematica perfectione fig8.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 8]]

==== Corollarium (3) ====
19. Datam rectam in arcum resolvere.

Sit ''ab'' recta, quam si vis in quadrantem alicuius circuli resolvere, fac de ''o'' centro lineas, quae rectum angulum constituunt, exire indefinitae quantitatis, quae sint ''od'' et ''oe'', et aliam fac transire ''e'' medio anguli, scilicet ''of'', et tertiam partem ''ab'' lineae resolvendae signa in ''od'' et ''oe'', et sit ''og'' ut tertia ''ab'', similiter et ''oh'', trahendo ''gih'' (cfr. figura 8). Et consequenter trahe aequedistantem ad ''gih'' aequalem ''og'', ''oi'' et ''oh'', et sit ''kl'' illis aequalis, et describe quadrantem, cuius ''kl'' chorda, quia ille est, cui ''ab'' aequatur. Et si in alium arcum resolvere volueris, qui fuerit minor quadrante, eodem modo facito; si maior, recipito partem aliquotam. Puta vis in circulum reducere, recipito quartam partem rectae et resolve in quadrantem, et totum in circulum reduxisti.

20. Si vero datam rectam in arcum dati circuli resolvere volueris, vel cum tota vel parte aliquota eius, procede modo quo supra, angulum ''od'' et ''oe'' variando, quousque attingas chordam, quae ''og'', ''oi'' et ''oh''aequetur.

==== Corollarium (4) ====
21. Datum arcum unius circuli in arcum alterius circuli resolvere.

Hoc fit resolvendo ipsum primo in rectam, deinde rectam in arcum alterius modo praemisso.

==== Corollarium (5) ====
22. Angulos, qui se habent ut datae lineae, assignare.

Hoc fit in resolvendo lineas in arcus eiusdem circuli et a centro sectores ad fines talium arcuum trahendo.

==== Corollarium (6) ====
23. Quae est habitudo semidiametri ad semidiametrum minus sagitta, illa est tertiae arcus ad excessum, quo chorda duas tertias arcus sui excedit (cfr. figura 9). Puta sit ''bc'' chorda quadrantis, et in illa per praemissa signasti duas tertias arcus, scilicet ''cd'' et ''de''. Dico quod habitudo ''de'' tertiae arcus ad ''eb'' excessum, quo chorda duas tertias excedit, est sicut semidiameter ad semidiametrum minus sagitta. Patet corollarium ex praemissis. Et habet veritatem in maximo et minimo orthogonio et in omnibus mediis.
[[Datei:De mathematica perfectione fig9.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 9]]

==== Corollarium (7) ====
24. Chordam dati arcus partis aliquotae semicirculi assignare.

Puta tu vis ex scientia chordae quadrantis scire chordam arcus, qui est medietatis quadrantis. Tu nosti partem chordae quadrantis, quae aequatur tertiae arcus, et recipis medietatem illius et addis ei similem, et quaeris excessum, qui se habeat ad unam tertiam sicut semidiameter minus sagitta ad semidiametrum.

25. Subiciam adhuc curiosa corollaria.

Si tres semidiametri minus sagitta erunt triplae ad chordam, erit arcus ut semidiameter.

Si erunt duplae ad chordam, arcus se habebit in proportione sesquialtera ad semidiametrum.

Tres semidiametri sunt medium proportionale inter tres semidiametros minus sagitta et semicirculum.

Si tres semidiametri minus sagitta fuerint multiplices ad chordam, sic erunt et tres semidiametri minus sagitta ad chordam medietatis arcus et cuiuslibet partis aliquotae proportionabiliter.

Tria latera trigoni aequilateri erunt ut circumferentia circuli illius, cuius diameter est tertia pars duorum laterum et lineae rectae de uno latere ad medium lateris sibi oppositi.

26. Si a centro tres lineae ducantur, una per principium chordae quadrantis aut minoris arcus, alia per medium, tertia per finem, quae in linea aequedistanti chordae terminentur, ita quod illarum trium linearum habitudo ad chordam sit ut circumferentiae ad arcum, tunc linea ducta per principium chordae triplicata est aequalis circumferentiae.

Arcus aequalis tribus quartis diametri excedit chordam suam in medietate sagittae.

Diameter circuli est aequalis duabus tertiis laterum trigoni isoperimetri et semidiametro circuli eidem trigono inscripti.

Excessus semicirculi super duas chordas quadrantis est ut excessus diametri quadrati aequalis tertiae parti eius super suam costam.

Habitudo trium diametrorum circuli ad suam circumferentiam est ut 14 cum radice de 36 et 3/4 ad 21.

Scientia chordarum nunc exstat perfecte adinventa.

Scientia quadraturae circuli suum finem sortita existit. Secundum datarum linearum habitudinem sive commensurabilium sive incommensurabilium lineas et superficies rectas et curvas atque corpora dari docet haec ars perfectissima.

Adhuc ex coincidentia minimae contingentiae et minimi arcus propositionem recipio, quae est talis:

=== Propositio ===
[[Datei:De mathematica perfectione fig10.png|zentriert|mini|307x307px|fig. 10]]
27. Si ponitur secundum latus orthogonii semidiameter circuli et tertium linea contingens circulum vel e converso, et descriptus fuerit circulus, quae erit habitudo contingentis ad arcum, qui cadit intra orthogonium, illa et rectae atque curvae superficierum (cfr. figura 10).

Ut si orthogonius fuerit ''abc'' et ''bc'' contingens et ''ab'' semidiameter circulo descripto, cuius ''bd'' portio cadit intra orthogonium, quae est ''bc'' ad ''bd'', illa ''abc'' rectae superficiei ad ''abd'' curvam superficiem.

Probatio huius est: Quia cum sic sit in minimo, si dari posset, igitur et in omnibus, cum non referat, utrum orthogonius sit maximus vel non.

28. Datam superficiem ex arcu et sectoribus constitutam in orthogonium resolvere.

Ut sit ''abc'', resolvatur ''bd'' arcus in rectam, quae sit ''bc'', et claudatur orthogonius per ''ac''. Et ita habes, sive ''bc'' sit ad circumferentiam proportionabilis sive non, quomodo in rectam superficiem redigatur. Et habes, quomodo circulum in orthogonium resolvis et demum in quadratum seu aliam figuram.

29. Datam superficiem rectam in portionem circularem resolvere.

Ex praemissis patet, quod si est orthogonius, quomodo hoc fiat; si non est, redigatur in orthogonium.

Abscisiones ex chorda et arcu in rectas aut circulares resolvere, de se patet.

30. Abscisionum sphaerae habitudo curvae superficiei ad rectam basis est ut linea de cenit ad centrum basis cum semidiametro basis ad ipsam semidiametrum.

Patet, quia in minima abscisione, ubi recta superficies coincidit cum curva et cenit cum centro, ita est; ideo in omnibus.

Curva superficies medietatis sphaerae est dupla ad rectam circuli basis.

Datam curvam sphaerae superficiem in rectam resolvere, circularem et rectilinealem.

Sphaeram in cubum et cubum in sphaeram resolvere.

Simili modo in aliis curvis superficiebus ad minima respiciendo habitudines elice. Et quidquid scibile est humanitus in mathematicis, mea sententia hac via reperietur.

Deo laus.

[[Kategorie:Cusanus mathematische Schriften]]

Werk:De mathematica perfectione

2026-10-29T16:31:30Z

Sophos: Subjekt über die NeoWiki-Benutzeroberfläche aktualisiert

Modul:NeoWikiLink/Doku

2026-10-29T16:14:16Z

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return table.concat(links, args.trenner or ', ')
end

return p

Schema:Werk

2026-10-29T14:17:23Z

Sophos: Auf Auftrag: erste Fassung des allgemeinen Werkschemas anlegen; Urheberrollen, Datierungen und eigene Aufbereitung unterscheiden, vorhandene Vorlage unverändert lassen. (via create-page on MediaWiki MCP Server)

{
"description": "Grundschema für Werke und die konkret vorliegenden Fassungen auf Seiten im Namensraum Werk: – vom Vermerk und der Anmerkung über Abhandlung und Traktat bis zum Buch. Urheberschaft des Ursprungswerks, Herstellung der vorliegenden Fassung und eigene Erfassung beziehungsweise Aufbereitung im Wiki werden unterschieden. Alle Angaben sind optional; es werden keine Bewertungen vorausgesetzt. Personen- und Leserschaftsangaben sind vorläufig Seitenbezeichnungen, bis ihre eigenständigen Schemata und Anbindungen festgelegt sind. Dieses Schema ersetzt keine bestehende Vorlage und überträgt noch keine SMW-Daten.",
"propertyDefinitions": {
"Benennung": {
"type": "text",
"description": "Titel beziehungsweise Benennung des beschriebenen Werks oder der vorliegenden Fassung. Die Bezeichnung des NeoWiki-Subjekts kann unabhängig davon gesetzt werden.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Werkform": {
"type": "text",
"description": "Form des Schriftstücks, beispielsweise Buch, Abhandlung, Traktat, Anmerkung oder Notiz. Von der Art einer Abschrift oder Übersetzung zu unterscheiden.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Werkart": {
"type": "text",
"description": "Art beziehungsweise Verhältnis der vorliegenden Fassung zum Ursprungswerk, beispielsweise Abschrift, Übersetzung, Bearbeitung oder Neuausgabe. Keine Aussage über ihre technische Güte.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Urheber": {
"type": "text",
"description": "Personen oder Körperschaften, die die konkret vorliegende Fassung hergestellt haben. Beispielsweise die Urheberin einer Abschrift oder Übersetzung. Vorläufig vollständige Wiki-Seiten- oder Benutzerbezeichnungen; keine NeoWiki-Personenbeziehung.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
},
"Ururheber": {
"type": "text",
"description": "Eigentliche Urheber des ursprünglichen Werks, auf dem die vorliegende Fassung beruht. Getrennt von den Herstellern der vorliegenden Fassung. Vorläufig vollständige Wiki-Seitenbezeichnungen.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
},
"Urwerk": {
"type": "relation",
"description": "Zugrunde liegendes ursprüngliches Werk. Das Beziehungsziel ist ein NeoWiki-Subjekt des Schemas Werk, nicht lediglich ein Wikiseitentitel.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": true
},
"Urwerkdatum": {
"type": "date",
"description": "Belegte Datierung des ursprünglichen Werks. Von der Herausgabe der vorliegenden Fassung und der eigenen Erfassung im Wiki zu unterscheiden. Vollständiges Datum im von NeoWiki unterstützten Format.",
"required": false
},
"Urheberdatum": {
"type": "date",
"description": "Datum der Herausgabe der konkret vorliegenden Abschrift, Übersetzung, Bearbeitung oder Neuausgabe durch deren Urheber. Kein Datum der eigenen Wiki-Erfassung.",
"required": false
},
"Erstelldatum": {
"type": "date",
"description": "Datum der eigenen erstmaligen Erfassung und anfänglichen Aufbereitung dieser Fassung im Wiki. Kein historisches Entstehungsdatum des Werks.",
"required": false
},
"Erstellzeit": {
"type": "text",
"description": "Gegebenenfalls festgehaltene Uhrzeit der erstmaligen eigenen Wiki-Erfassung, beispielsweise 9:49. Ohne nachträglich unterstellte Zeitzone.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Werkausgabe": {
"type": "text",
"description": "Bezeichnung beziehungsweise vollständiger Wikiseitentitel der vorliegenden Ausgabe oder Ausgaben. Die spätere SMW-Anbindung muss Werkausgabe und hat Werkausgabe ausdrücklich zuordnen.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
},
"Ausgabenummer": {
"type": "text",
"description": "Kennzeichnung oder Nummer der vorliegenden Ausgabe oder Fassung. Entspricht dem bisherigen Vorlagenparameter Nummer; kann auch nichtnumerische Zeichen enthalten.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Sammlung": {
"type": "relation",
"description": "Übergeordnetes Werk oder Sammlung, zu dem die vorliegende Einheit gehört.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": false
},
"Hauptteil": {
"type": "relation",
"description": "Zugeordneter Hauptteil innerhalb der Werkgliederung. Das Ziel ist ein Werk-Subjekt; die Linkdarstellung wird durch die spätere Vorlage bestimmt.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": false
},
"Unterteil": {
"type": "relation",
"description": "Zugeordneter Unterteil innerhalb der Werkgliederung. Die genaue Gliederung wird ausdrücklich erfasst, nicht aus einem Sortierschlüssel abgeleitet.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": false
},
"Vorfolge": {
"type": "relation",
"description": "Unmittelbar vorangehende Werkeinheit in der festgelegten Lese- oder Gliederungsfolge.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": false
},
"Nachfolge": {
"type": "relation",
"description": "Unmittelbar nachfolgende Werkeinheit in der festgelegten Lese- oder Gliederungsfolge.",
"required": false,
"targetSchemas": [
"Werk"
],
"multiple": false
},
"Anzeigename": {
"type": "text",
"description": "Gewünschte sichtbare Bezeichnung der Wikiseite, sofern sie von ihrem gespeicherten Seitentitel abweicht. Setzt für sich allein weder DISPLAYTITLE noch einen Sortierschlüssel.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Sigle": {
"type": "text",
"description": "Kurze Kennzeichnung des Werks oder der konkreten Fassung.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"hat Leserschaft": {
"type": "text",
"description": "Personen, Gruppen oder Benutzerkonten, die das Werk tatsächlich gelesen haben. Vorläufig vollständige Wiki-Seiten- oder Benutzerbezeichnungen; keine Aussage über vorgesehene Leser.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
},
"hat Leserschaftziel": {
"type": "text",
"description": "Personen, Gruppen oder Benutzerkonten, für die das Werk verschriftet wurde. Vorläufig vollständige Wiki-Seiten- oder Benutzerbezeichnungen; bedeutet nicht, dass sie es gelesen haben.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
},
"AufEinWort Güte": {
"type": "text",
"description": "Eigener festgehaltener Stand der technischen Aufbereitung beziehungsweise Überarbeitung, beispielsweise überarbeitet. Keine Bewertung wird aus einem fehlenden Eintrag abgeleitet.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"AufEinWort Prüfstand": {
"type": "text",
"description": "Eigener Stand, ob das Werk zur Genüge aufbereitet und gegebenenfalls abschließend erforscht wurde. Kein Zugriffsschutz und keine automatische FlaggedRevs-Sichtung. Kein Vorgabewert.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Hinweis": {
"type": "text",
"description": "Ergänzende Hinweise zur beschriebenen Fassung oder Erfassung. Keine automatische Einstufung eines Forschungsbefunds.",
"required": false,
"multiple": false,
"uniqueItems": false
},
"Dateiname": {
"type": "text",
"description": "Zugehörige Datei beziehungsweise vollständiger Wikiseitentitel einer Datei. Dateiverweise werden später durch die Vorlage dargestellt.",
"required": false,
"multiple": true,
"uniqueItems": true
}
}
}

Vorlage:DNB-Portal

2026-10-28T13:43:27Z

Sophos: Auf Auftrag: P227 ausdrücklich über Modul:Wikidata und UnlinkedWikibase lesen; Abruffehler sichtbar abfangen, manuelle GND beibehalten. (via update-page on MediaWiki MCP Server)

<noinclude>{{Heim-gast Vorlage}}</noinclude><onlyinclude><includeonly>{{#iferror:[https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query={{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{#invoke:Wikidata|claim|P227}} [[Kategorie:Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:DNB-Portal/ohne GND]]}} {{{3|{{{TYP|{{{TEXT|Literatur von und über}}}}}}}}} {{{2|{{{NAME|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}}}] im Katalog der {{#ifeq: {{FULLPAGENAME}} | Deutsche Nationalbibliothek | DNB | [[Deutsche Nationalbibliothek|Deutschen Nationalbibliothek]]}}|<span class="error">DNB-Portal: Der externe Wikidata-Abruf ist derzeit nicht verfügbar.</span>[[Kategorie:Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:DNB-Portal/Wikidata-Abruf]]}}</includeonly></onlyinclude>

{{Dokumentation}}

AufEinWort:Hauptseite

2026-10-28T13:13:03Z

Sophos: Auf Auftrag: Abschnitt Statistiken mit dynamischen MediaWiki-Kennzahlen und weiterführenden Übersichten ergänzen. (via update-page on MediaWiki MCP Server)

{{SeitenordnungAEW
| PageID = 92082
| Obereinordnung1 = ∆AEW
}}
{{AufEinWort:Hauptseite/!layout
|SPRACHE={{#switch: {{lc: {{int:lang}} }}
|de|de-at|de-ch|de-formal
|als|bar|dsb|frr|gsw|hsb|ksh|lb|nds|pdc|pdt|pfl|roa|sli|stq|vmf=de
|#default={{lc: {{int:lang}} }} }}
}}
[[Kategorie:AufEinWort:Hauptseite| ]]
[[Kategorie:MediaWiki:Gadget/Hauptseite]]
[[Kategorie:MediaWiki:Gadget/Suchfokus-Hauptseite]]


== Bücher ==
* [[Werk:Gesinnung – das gute Schicksal der Menschheit|Gesinnung – das gute Schicksal der Menschheit]]
* [[Werk:Handbuch für wohlwollende Beziehungen|Handbuch für wohlwollende Beziehungen]]
* [[Werk:Anfangsgründe und Verfahren der Krisenbetreuung|Anfangsgründe und Verfahren der Krisenbetreuung]]
* [[Allgemeinkunst (Seitenstruktur)|Allgemeinkunst]]

== Übersichten ==

* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Anmerkung|Anmerkungen]]</bdi> (3 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Buch|Bücher]]</bdi> (11 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Ebook|Ebook's]]</bdi> (7 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Heft|Hefte]]</bdi> (37 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Keynote|Keynote's]]</bdi> (2 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Pragmatie|Pragmatien]]</bdi> (1 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Schriftstück|Schriftstücke]]</bdi> (296 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Schriftstücksammlung|Schriftstücksammlungen]]</bdi> (5 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Seite|Seiten]]</bdi> (13 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Vermerk|Vermerke]]</bdi> (227 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Webseite|Webseiten]]</bdi> (14 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Weisung|Weisungen]]</bdi> (15 S)
* <bdi>[[:Kategorie:AufEinWort Werkausgabe Überarbeitung|Überarbeitungen]]</bdi> (leer)

== Auf ein Wort ==
* [[:Kategorie:Auf ein Wort|Auf ein Wort]]
* [[:Kategorie:Kategorielisten|Kategorielisten]]

== Statistiken ==

{| class="wikitable"
! Kennzahl
! Anzahl
|-
| Inhaltsseiten
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFARTICLES}}
|-
| Seiten insgesamt
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFPAGES}}
|-
| Hochgeladene Dateien
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFFILES}}
|-
| Bearbeitungen insgesamt
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFEDITS}}
|-
| Registrierte Benutzerkonten
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFUSERS}}
|-
| Aktive Benutzerkonten in den letzten 30 Tagen
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFACTIVEUSERS}}
|-
| Administratoren
| style="text-align:right" | {{NUMBEROFADMINS}}
|}

Die Kennzahlen werden von MediaWiki bereitgestellt und können durch Zwischenspeicherung zeitversetzt erscheinen. „Seiten insgesamt“ umfasst auch Weiterleitungen sowie Seiten in Diskussions-, Vorlagen- und anderen Namensräumen. „Inhaltsseiten“ folgt der Zählweise und den konfigurierten Inhaltsnamensräumen dieses Wikis.

Weitere Übersichten: [[Spezial:Statistik|Ausführliche Statistik]] · [[Spezial:Letzte Änderungen|Letzte Änderungen]] · [[Spezial:Neue Seiten|Neue Seiten]]

AufEinWort:Hauptseite

2026-10-28T13:10:59Z

Sophos: Statistiken entfernt

Testseite 8

2026-10-28T13:07:11Z

Sophos: Auf Auftrag: Testseite mit SMW-Tabelle zur Kategorie Philosoph anlegen. (via create-page on MediaWiki MCP Server)

== Philosophen ==
{{#ask:
[[Kategorie:Philosoph]]
|format=table
|mainlabel=Philosoph
|limit=500
|searchlabel=Weitere Ergebnisse anzeigen
}}

Testseite 7

2026-10-28T12:53:40Z

Sophos: Auf Auftrag: SMW-Tabelle der Kategorie Universalgelehrter ergänzen; vorhandenen Text erhalten. (via update-page on MediaWiki MCP Server)

angelegt

== Universalgelehrte ==
Die folgende SMW-Abfrage listet Seiten der Kategorie [[:Kategorie:Universalgelehrter|Universalgelehrter]] auf.

{{#ask:
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
|format=table
|mainlabel=Universalgelehrter
|limit=500
|searchlabel=Weitere Ergebnisse anzeigen
}}

Testseite 7

2026-10-28T12:45:07Z

Sophos: angelegt

angelegt

Benutzer:Sophos

2026-10-28T12:22:31Z

Sophos: Auf ausdrücklichen Auftrag: Benutzerseite des KI-Zugangs Sophos mit Aufgaben, Kontrolle und technischen Grenzen anlegen. (via create-page on MediaWiki MCP Server)

Dieses Benutzerkonto dient als eindeutig zuordenbarer Zugang für KI-gestützte Arbeiten auf AufEinWort. Es wird von ChatGPT über den lokalen MediaWiki-MCP-Server verwendet und per OAuth als Sophos autorisiert.

== Aufgabe ==
Sophos unterstützt auf ausdrücklichen Auftrag des Wiki-Betreibers die Recherche, Auswertung und Bearbeitung von Wiki-Inhalten. Dazu können Seiteninhalte sowie strukturierte Daten aus Semantic MediaWiki, Wikibase und NeoWiki gehören, soweit die jeweiligen Schnittstellen und Berechtigungen dies ermöglichen.

== Kontrolle und Nachvollziehbarkeit ==
Bearbeitungen dieses Kontos sollen durch verständliche Bearbeitungszusammenfassungen nachvollziehbar sein. Sophos besitzt keine Sichterrechte und keine Rechte zur automatischen Sichtung. In den für FlaggedRevs eingerichteten Namensräumen können seine Änderungen durch berechtigte Benutzer geprüft und gesichtet werden.

KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Forschungsbefunde, Quelleninterpretationen und Schlussfolgerungen bedürfen einer fachlichen Prüfung durch den Forscher. Das Konto vertritt keine eigenständige wissenschaftliche Autorität.

== Technische Einordnung ==
Die Verbindung zum Wiki erfolgt über den lokalen MCP-Server. Abgerufene Inhalte können zur Verarbeitung an den OpenAI-Dienst übermittelt werden; die lokale Anbindung bedeutet keine ausschließlich lokale KI-Verarbeitung.

Diese Benutzerseite wurde auf ausdrücklichen Auftrag des Wiki-Betreibers als erster Schreibtest angelegt.

Erörterung 2025-03-13

2025-03-13T16:56:55Z

Sophos:

[[Kategorie:Erörterungen]]

Erörterung 2025-03-13

2025-03-13T16:54:55Z

Sophos: Die Seite wurde neu angelegt: „Ich kapier immer noch nicht, wie dies läuft. ... Kategorie:Erörterungen“

Ich kapier immer noch nicht, wie dies läuft. ...

[[Kategorie:Erörterungen]]