Quelltext der Seite Kehrwert

Der '''Kehrwert''' (auch der '''[[reziproker Wert|reziproke Wert]]''' oder das '''[[Reziproke]]''') einer von <math>0</math> verschiedenen [[Zahl]] <math>x</math> ist in der [[Arithmetik]] diejenige Zahl, die mit <math>x</math> [[Multiplikation|multipliziert]] die Zahl <math>1</math> ergibt; er wird als <math>\tfrac{1}{x}</math> oder <math>x^{-1}</math> notiert.

== Eigenschaften ==
=== Kernaussagen ===
[[Datei:Hyperbola one over x.svg|miniatur|Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].]]
[[Datei:Complex inversion function.svg|mini|hochkant=1.0|Kehrwertbildung in der komplexen Zahlenebene: P',Q',R'and S' sind die Kehrwerte von P, Q, R and S.]]
Je näher eine Zahl bei <math>0</math> liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von <math>0</math> entfernt. Die Zahl <math>0</math> selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert. Die durch <math>y=f(x)=\tfrac1x</math> beschriebene Kehrwertfunktion (siehe Abbildung) hat dort eine [[Polstelle]]. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ. Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass der Graph in zwei [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeläste]] zerfällt, die im ersten bzw. dritten Quadranten liegen. Die Kehrwertfunktion ist eine [[Involution (Mathematik)|Involution]], d.&nbsp;h., der Kehrwert des Kehrwerts von <math>x</math> ist wieder <math>x.</math> Ist eine Größe <math>y</math> [[umgekehrt proportional]] zu einer Größe <math>x,</math> dann ist sie proportional zum Kehrwert von <math>x.</math>

Den '''Kehrbruch''' eines [[Bruchrechnung#Gemeine Brüche|Bruches]], also den Kehrwert eines [[Quotient]]en <math>\tfrac ab</math> mit <math>a, b\neq 0,</math> erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht:

:<math>\frac {1}{\frac{a}{b}}=\frac ba</math>

Daraus folgt die Rechenregel für das [[Division (Mathematik)|Dividieren]] durch einen Bruch: ''Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.'' Siehe auch [[Bruchrechnung]].

Den Kehrwert <math>\tfrac 1n</math> einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math> nennt man einen [[Stammbruch]].

Auch zu jeder von <math>0</math> verschiedenen [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] <math>z = a + b \mathrm i</math> mit ''reellen'' Zahlen <math>a, b</math> gibt es einen Kehrwert <math>\tfrac{1}{z}.</math> Mit dem [[Betragsfunktion#Komplexe Betragsfunktion|Absolutbetrag]] <math>|z| = \sqrt{a^2+b^2}</math> von <math>z</math> und der zu <math>z</math> [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\overline{z} = a - b \mathrm i</math> gilt:

:<math>\frac{1}{a + b \mathrm i} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a - b \mathrm i}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2} \mathrm i</math>

Beschreibt man die Kehrwertbildung einer komplexen Zahl als Funktion <math>f(z) = \frac{1}{z}</math>, so erhält man eine [[Möbiustransformation]]. In der komplexen Zahlenebene entspricht die Kehrwertbildung geometrisch dem [[Hintereinanderausführung|Hintereinanderausführen]] einer [[Kreisspiegelung]] am [[Einheitskreis]] und einer [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an der reellen Achse (siehe Zeichnung).

=== Summe aus Zahl und Kehrwert ===
Die Summe aus einer positiven [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] und ihrem Kehrwert beträgt mindestens <math>2.</math><ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 145</ref><ref>Roger B. Nelsen: ''Proof without Words: The Sum of a Positive Number and Its Reciprocal Is at Least Two (four proofs)'' Mathematics Magazine, vol. 67, no. 5 (Dec. 1994), S. 374</ref>
:<math>x+\frac{1}{x}\ge 2</math>

''Beweisvariante 1 (Figur 1):''
:<math>\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge 2</math>

''Beweisvariante 2 (Figur 2):''
:<math>\frac{1}{x}\ge 2-x \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge 2</math>

''Beweisvariante 3 (Figur 3):''
:<math>\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=2^2+\left(x-\frac{1}{x}\right)^2</math> ''(nach dem [[Satz des Pythagoras]])''
:<math>\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge2^2 \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge 2</math>

''Beweisvariante 4 (Figur 4):''
:Nach dem [[Strahlensatz]] sind die [[Dreieck]]e <math>DEF</math> und <math>DBC</math> [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]]. Es gilt <math>\frac{x}{1}=\frac{1}{\frac{1}{x}}</math>. [[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] wird hier <math>x\ge 1</math> vorausgesetzt.
:<math>\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{x} \ge 1 \cdot 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{1}{2x} \ge 1 \Leftrightarrow x^2+1 \ge 2x \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge 2</math>
{{Mehrere Bilder
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 | Kopfzeile   = Grafische Veranschaulichung der Beweisvarianten
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 | Breite      = 200
 | Bild1       = Kehrwert Summenungleichung Beweis 1.svg
 | Untertitel1 = ''Figur 1''
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 | Untertitel4 = ''Figur 4''
}}
{{Absatz}}

=== Summe zweier Kehrwerte ===
[[Datei:Kehrwertsumme Planfigur.svg|mini|''Figur 5'']]
Die Summe der Kehrwerte zweier positiver reeller Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> mit der Summe <math>1</math> beträgt mindestens <math>4</math>:
:<math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 4</math> für <math>a+b=1</math>.

''Beweis:''

Gemäß ''Figur 5'' gilt:
:<math>4ab\leq 1\Leftrightarrow\frac{1}{ab}\ge 4</math>
:<math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}\ge 4</math>,
[[Quod erat demonstrandum|was zu beweisen war]].<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 237 und 301</ref>

=== Summe aufeinanderfolgender Kehrwerte ===
Für jede [[natürliche Zahl]] <math>n>1</math> gilt
:<math>\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n^2}>1</math>.

Den Beweis liefert die Abschätzung
:<math>\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n^2}>\frac{1}{n}+\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\left(n^2-n\right)=\frac{1}{n}+1-\frac{1}{n}=1</math>.<ref>[[Ross Honsberger]]: ''Gitter - Reste - Würfel'' [[Vieweg Verlag|Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH]], [[Braunschweig]] 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 155</ref>

== Beispiele ==
* Der Kehrwert von <math>1</math> ist wiederum <math>1</math>.
* Der Kehrwert von <math>0{,}001</math> ist <math>1000</math>.
* Der Kehrwert von <math>2</math> ist <math>\tfrac{1}{2}=0{,}5</math>. 
* Der Kehrwert des Bruches <math>\tfrac{2}{5}</math> ist <math>\tfrac{5}{2}=2\tfrac{1}{2}=2{,}5</math>.
* Der Kehrwert der komplexen Zahl <math>3 + 4 \mathrm i</math> ist <math>\tfrac{1}{3+4\mathrm i} = \tfrac{3}{25} - \tfrac{4}{25}\mathrm i</math>.

== Verallgemeinerung ==
Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das [[Inverses Element|multiplikativ Inverse]] <math>x^{-1}</math> zu einer [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] <math>x</math> eines [[Ring (Algebra)|unitären Ringes]]. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft <math>x^{-1}\cdot\ x=x\cdot\ x^{-1}=1</math> definiert, wobei <math>1</math> das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z.&nbsp;B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl <math>1,</math> sondern die [[Einheitsmatrix]]. Matrizen, zu denen keine [[inverse Matrix]] existiert, heißen [[singuläre Matrix|singulär]].

== Verwandte Themen ==
* Ist eine Größe [[Proportionalität|proportional]] zum Kehrwert einer anderen, liegt [[reziproke Proportionalität]] vor.

== Literatur ==
Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:
*{{Literatur
 | Autor= Friedhelm Padberg
 | Titel= Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. ''3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck'' 
 | Verlag= Spektrum Akademischer Verlag
 | Ort= München
 | Jahr= 2009
 | ISBN= 978-3-8274-0993-5
}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Division (Mathematik)]]