Quelltext der Seite Zahlensystem

<!--
{{überarbeiten|2=Diese Passagen betreffend „Hybridsystem“|Plural=1|grund=„Hybridsystem“ ist eher als Arbeitstitel zu verstehen, als ein tatsächlicher Fachbegriff. Vieles dazu kann den zwei Haupttypen bzw. deren Untertypen zugeordnet werden:
* Additive Systeme
** Kumulativ-additiv
** Multiplikativ-additiv
** Beziffernd-additiv
* Positionelle Systeme
** Additiv-positionell
** Beziffernd-positionell
Siehe dazu auch Beispiele unter [[Zahlschrift#Beispiele einer Zahl in unterschiedlichen Zahlschriften|Zahlschriften# Beispiele]]}}

Hier werden Einzelheiten aufgelistet, die aus dem Artikel [[Zahlschrift]] abgeschrieben sind. Es gehört zum System der Wikipedia, dass Einzelheiten nicht mehrfach auszubreiten sind, sondern dass auf eine einmalige Darlegung zu verlinken ist. Diese Verlinkung ist bereits vorhanden.
-->
Ein '''Zahlensystem''' oder '''Ziffernsystem''' (seltener auch ''Zahlsystem'' genannt) legt fest, wie eine [[Zahl]] [[Zahldarstellung|dargestellt]] wird, insbesondere wenn ihr Wert nicht unmittelbar abzählbar oder erkennbar ist wie bei der Anzahl von Punkten auf einem [[Spielwürfel]]. Dazu hat sich die Verwendung einer kleinen Anzahl von [[Ziffer]]n bewährt, die mit entsprechend wenigen Schriftzeichen in einer [[Zahlschrift]] auskommen und mit wenigen Regeln für deren Anordnung. Für die Ziffern gibt es [[Arabische Zahlschrift|eigenständige]] oder anderwärtig bekannte Zeichen, wie Buchstaben als [[römische Ziffern]]. In einem leistungsfähigen Zahlensystem können die Ziffern durch Vorzeichen, [[Dezimaltrennzeichen]] und [[Tausendertrennzeichen]] ergänzt werden.

Vor allem werden drei Ziffernsysteme unterschieden:
*''[[Stellenwertsystem]]'' oder ''Positionssystem:''
::(Beispiel: das [[Dezimalsystem]])
::Das Stellenwertsystem hat sich besonders bewährt und fast weltweit ausgebreitet. Der Wert einer Ziffer wird unterschiedlich gewichtet je nach der Position, an welcher sie steht. Wenn in diesem Zahlensystem eine Ziffer an einer Stelle steht wie die 2 in der Zahl 20, wird ihr Wert mit dem Faktor zehn gewichtet (multipliziert), wenn sie an einer Stelle steht wie die 2 in der Zahl 200, dann mit dem Faktor hundert. Eine solche Zahl hat den Wert der Summe der gewichteten [[Ziffernwert]]e.
*''[[Additionssystem]]:''
::(Beispiel: die [[Römische Zahlschrift]])
::Bei einem Additionssystem gibt es keine Gewichtung und kein Zeichen für die Null. Sechzehn Striche in einer [[Strichliste]] stehen für den Wert sechzehn, ebenso die drei Ziffern in der römischen Zahl XVI.
*''„Hybridsystem“:''
::(Beispiel: die [[Japanische Zahlschrift|Chinesische Zahlschrift]])
::Ein Hybridsystem enthält neben Ziffern auch Gewichtungsfaktoren ähnlich dem schriftlichen Deutsch. Anstatt {{FormatNum|3000000|de}} bzw. {{FormatNum|3000000|ch}} schreibt man 3&nbsp;Millionen, in Naturwissenschaft und Technik auch {{ZahlExp|3|6}}. Im traditionellen chinesischen Ziffernsystem schreibt man<br />'''三<span style="color:#009900">万</span>六<span style="color:#009900">十</span>''' für dreimal zehntausend plus sechsmal zehn für {{FormatNum|30060|de}} bzw. {{FormatNum|30060|ch}}; die Gewichtungsfaktoren sind hier grün gekennzeichnet.

== Additionssysteme ==
{{Hauptartikel|Additionssystem}}
In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei verändert die Position einer Ziffer ihren Wert nicht. Ein Beispiel ist das Strichsystem ([[Unärsystem]]). Es bietet sich an, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl <math>n</math> durch <math>n</math> Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größerer Zahlen schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es für sehr große Zahlen weniger gut geeignet ist, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet, da eine Addition um einen Zahlenwert einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich ist. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu. Das römische Ziffernssystem ist bereits etwas komplizierter. Buchstaben werden für 5er und 10er Zahlen verwendet, wie V für fünf. Es gibt auch spezielle Regeln nach der Position der Zeichen zueinander. XI ist elf, IX ist neun. Der Wert der Ziffern verändert sich jedoch nicht, ein I ist immer eine Eins.

== Stellenwertsysteme ==
{{Hauptartikel|Stellenwertsystem}}

=== Aufbau ===
Im Alltag und in der Wissenschaft wird eine Zahl üblicherweise durch Ziffern (0, 1, 2, …, 9, die allein die ersten zehn der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] darstellen, und Buchstaben) und weitere Zahlenzeichen wie Vorzeichen (plus, minus) und Trennzeichen (Komma, Leerzeichen) dargestellt. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird „Basis des Stellenwertsystems“ genannt. Die gängigsten Basen sind 2 (beim [[Dualsystem]]), 8 (beim [[Oktalsystem]]), 10 (beim im Alltag gebrauchten [[Dezimalsystem]]) oder 16 (beim in der [[Datenverarbeitung]] wichtigen [[Hexadezimalsystem]]).

Die Ziffern haben eine durch Konvention festgelegte Reihenfolge ihres Wertes. Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in dieser Reihenfolge zur nächsten Ziffer übergegangen. Bei der Addition einer Eins auf die höchstwertigste Ziffer wird auf die niederwertigste Ziffer übergegangen, und auf der nächsthöheren Stelle wird eine Eins addiert.

Dazu werden die Ziffern je nach ihrer Stelle unterschiedlich bewertet, wobei der Stellenwert eine [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] der Basis ist (zum Beispiel „Einerstelle“, „Zehnerstelle“, „Hunderterstelle“, …). Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht dabei ganz rechts. Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt dann durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte mit den zugehörigen Stellenwerten und der Addition dieser Produkte.<ref>Axel Böttcher, Franz Kneißl: ''Informatik für Ingenieure: Grundlagen und Programmierung in&nbsp;C.'' Oldenbourg 2012.</ref>

Auf diese Weise lässt sich in einem Stellenwertsystem jede natürliche Zahl darstellen. Für die Erweiterung auf negative Zahlen wird ein [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] links vor die Ziffernfolge gesetzt, mit dem angegeben wird, ob eine Zahl [[Positive und negative Zahlen|positiv oder negativ]] ist. Durch die Verwendung negativer Exponenten lassen sich in einem Stellenwertsystem auch [[rationale Zahl]]en schreiben, wobei der Übergang von nichtnegativen zu negativen Exponenten durch ein Trennzeichen in der Zahldarstellung markiert wird, beispielsweise ein Komma oder einen Punkt.

=== Darstellungsbereich ===
[[Datei:Simple number line.svg|mini|hochkant=1.5|Zahlengerade mit Dezimalzahlen]]
[[Datei:Zahlenkreis.svg|mini|hochkant=1.5|Zahlenkreis mit achtstelligen Dualzahlen.<br />Ein waagerechter Strich markiert die Grenzen des Zahlen&shy;bereiches bei unter&shy;schied&shy;lichen Dezimalzahl-Zuordnungen]]
Die Menge der darstellbaren Zahlen lässt sich bei einer unbeschränkten Anzahl von Stellen an einer [[Zahlengerade]]n veranschaulichen. Steht nur eine beschränkte Anzahl von Stellen zur Verfügung, wird das an einem [[Zahlenkreis]] veranschaulicht. Bei dieser Beschränkung kann eine Addition oder Subtraktion von Zahlen aus dem Bereich der darstellbaren Zahlen herausführen.

== Hybridsysteme ==
In einigen Zehner-Zahlensystemen gibt es neben den Ziffern für die natürlichen Zahlen 1…9 zusätzlich Ziffern für Zehnerpotenzen; die Werte beider werden paarweise kombiniert und miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v.&nbsp;Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus [[Äthiopien]] als auch aus Süd[[indien]] und [[Sri Lanka]] sowie der [[Maya]]-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

''Beispiele im [[Japanische Zahlschrift|japanisch]]-[[Chinesische Zahlschrift|chinesischen Zahlensystem]]:''
     23:  二十三  (2 × 10 + 3)
 30&thinsp;000:  三万    (3 × 10&thinsp;000)

== Geschichte ==
{{Hauptartikel|Stellenwertsystem #Geschichte|Dezimalsystem #Geschichte}}
{{Siehe auch|Zahl #Geschichte|Zahlzeichen #Geschichte}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Georges Ifrah |Titel=Universalgeschichte der Zahlen |Auflage=2. |Verlag=Campus-Verlag |Ort=Frankfurt/Main |Datum=1987 |ISBN=3-593-33666-9}}
* {{Literatur |Autor=John D. Barrow |Titel=Warum die Welt mathematisch ist |Verlag=Campus-Verlag |Ort=Frankfurt/Main |Datum=1993 |ISBN=3-593-34956-6}}
* Guido Walz (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik.'' Band 5: ''Sed bis Zyl.'' 2. Auflage. Springer, Mannheim 2017, S.&nbsp;442&nbsp;f. ''(Zahlsystem).''

== Weblinks ==
{{Commonscat|Numeral systems|audio=1|video=1}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm Online-Umrechner] für verschiedene Zahlensysteme ([[JavaScript]])
* [https://www.dasinternet.net/zahlen_in_andere_zahlensysteme_umrechnen.php Zahlen in beliebige Zahlensysteme umrechnen]
* [http://www.mathe24.net/zahlensysteme-stellenwertsystem.html Online-Tool] zum gleichzeitigen Konvertieren der Zahlensysteme ([[PHP]])
* ''[http://www.wissenschaft-online.de/artikel/893496 Es werde Zahl!]'' Artikel zur Geschichte der Zahlensysteme mit Tabellen von ägyptischen Zahlhieroglyphen, hieratischen Zahlen und Keilschriftzahlen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlensystem| ]]
[[Kategorie:Zahlschrift|*]]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4117700-9}}
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]