Quelltext der Seite Geschichte der Mathematik/Mathematik in Europa

=== Mathematik im 19.&nbsp;Jahrhundert ===
[[Datei:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|mini|[[Augustin-Louis Cauchy]]|255x255px]]
Ab dem 19.&nbsp;Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. [[Augustin-Louis Cauchy]] begründete die <math>\varepsilon</math>-Definition des [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertes]]. Außerdem legte er die Grundlagen der [[Funktionentheorie]]. Der enge Zusammenhang der Entwicklung von Physik und Mechanik und der Analysis des 18. Jahrhunderts blieb bestehen und viele Mathematiker waren gleichzeitig theoretische Physiker, was man damals also noch nicht trennte. Ein Beispiel für den Zusammenhang ist die Entwicklung der [[Fourieranalyse]] durch [[Joseph Fourier]]. Eines der zentralen Themen des 19. Jahrhunderts war die Untersuchung spezieller Funktionen, besonders [[Elliptische Funktion|Elliptischer Funktionen]] und deren Verallgemeinerungen (eine wichtige Rolle spielten hier [[Niels Henrik Abel]] und [[Carl Gustav Jacobi]]) und algebraische Geometrie von Kurven und Flächen mit Verbindungen zur Funktionentheorie (u. a. [[Bernhard Riemann]] mit seiner Idee der [[Riemannsche Fläche|Riemannschen Fläche]], [[Alfred Clebsch]], [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] und die italienische Schule bei algebraischen Flächen). Es wurden eine Fülle von Einzelresultaten auf den verschiedensten Gebieten entdeckt, deren Ordnung und strenge Begründung aber häufig erst im 20. Jahrhundert erfolgen konnte. Ein großes Beschäftigungsfeld von Mathematikern und Quelle für Entwicklungen in der Mathematik blieb wie im 18. Jahrhundert die [[Himmelsmechanik]].

Der jung in der Folge eines Duells getötete Franzose [[Évariste Galois]] verwendete in seiner [[Galoistheorie]] Methoden der [[Gruppentheorie]], um die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu untersuchen, was zum Beweis der allgemeinen Nichtauflösbarkeit von polynomialen Gleichungen (Grad 5 und höher) durch ''Radikale'' (Wurzeloperationen) führte. Dies wurde unabhängig von Niels Henrik Abel gezeigt. Auch mit Hilfe der Galoistheorie wurden einige der [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|klassischen Probleme der Antike]] als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels (das gelang allerdings auch [[Pierre Wantzel]] ohne Galoistheorie). Die Quadratur des Kreises wurde erst durch Beweis der Transzendenz von <math>\pi</math> durch [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinand Lindemann]] erledigt. Es entstanden neue Geometrien, insbesondere die [[Projektive Geometrie]] ([[Jean-Victor Poncelet]], [[Jakob Steiner]], [[Karl von Staudt]]) wurde stark ausgebaut und [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] ordnete diese und andere Geometrien mit Hilfe des Konzepts der Transformationsgruppe ([[Erlanger Programm]]).

Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] (zum Beispiel Galois, [[Arthur Cayley]], [[Camille Jordan]], [[Ferdinand Georg Frobenius]]), [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Ideal (Mathematik)|Idealen]] und [[Körper (Algebra)|Körpern]] (unter anderem Galois, endliche Körper werden nach Galois Galois-Körper genannt) formalisiert, wobei Algebraiker in Deutschland wie [[Richard Dedekind]], [[Leopold Kronecker]] eine wichtige Rolle spielten. Der Norweger [[Sophus Lie]] untersuchte die Eigenschaften von [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]. Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen [[Quantenfeldtheorie]]n beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen. Das Vektorkonzept entstand (unter anderem durch [[Hermann Grassmann]]) und das dazu konkurrierende Konzept der [[Quaternion]]en (durch [[William Rowan Hamilton]]), einem Beispiel der vielen neu entdeckten algebraischen Strukturen, sowie die moderne Theorie der [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] (Lineare Algebra).

[[Datei:Carl Friedrich Gauss.jpg|mini|links|[[Carl Friedrich Gauß]]|206x206px]]
[[Datei:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|miniatur|[[Bernhard Riemann]]|186x186px]]
In [[Göttingen]] wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, [[Carl Friedrich Gauß]] und [[Bernhard Riemann]]. Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die [[Differentialgeometrie]] mit dem Begriff der Krümmung und der weitgehenden Verallgemeinerung in höhere Dimensionen durch Riemann ([[Riemannsche Geometrie]]). Die [[Nichteuklidische Geometrie]] machte die Begrenztheit des jahrhundertelang gelehrten Euklidischen Axiomensystems deutlich und wurde durch [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] und [[János Bolyai]] begründet (ihre Existenz war auch Gauß bekannt, der aber nichts darüber veröffentlichte). Gauß legte mit seinen [[Disquisitiones Arithmeticae]] die Grundlagen der [[Algebraische Zahlentheorie|Algebraischen Zahlentheorie]] und bewies den [[Fundamentalsatz der Algebra]].

In Berlin begründete insbesondere [[Karl Weierstraß]] eine mathematische Schule der strengen Grundlegung der Analysis und der Begründung der Funktionentheorie auf Potenzreihen, während Riemann die geometrische Funktionentheorie begründete und dabei die Rolle der Topologie herausstellte. Die Schülerin von Weierstraß [[Sofja Wassiljewna Kowalewskaja]] war eine der ersten Frauen, die eine prominente Rolle in der Mathematik einnahmen, und die erste Professorin in Mathematik.

[[Georg Cantor]] überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der [[Mengenlehre]]. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts nahm [[Henri Poincaré]] eine führende Rolle in der Mathematik ein, unter anderem gelangen ihm wesentliche Fortschritte in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen, was ihn später zu einem Vorläufer der [[Chaostheorie]] machte.

Die neu gestiegenen Forderungen an die Strenge von Beweisen und Bemühungen um Axiomatisierung von Teilgebieten der Mathematik vertraten etwa [[Richard Dedekind]] bei den reellen Zahlen, [[Giuseppe Peano]] bei den natürlichen Zahlen und [[David Hilbert]] in der Geometrie. Nach Tausenden von Jahren erfuhr die [[Logik]] eine Runderneuerung. [[Gottlob Frege]] erfand die [[Prädikatenlogik]], die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit [[Aristoteles]]. Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der [[Grundlagenkrise der Mathematik]].

Frankreich hatte nach der Französischen Revolution einen großen Aufschwung in der Mathematik erlebt, Deutschland zog Anfang des Jahrhunderts mit der dominierenden Forschungspersönlichkeit von Gauß nach, der allerdings keine Schule bildete und wie Newton die Angewohnheit hatte, selbst wesentliche neue Entdeckungen nicht zu veröffentlichen. Das deutsche System der Forschungsseminare an den Universitäten bildete sich zuerst in Königsberg und war dann zentraler Bestandteil der Lehre in den mathematischen Zentren in Göttingen und Berlin und wirkte dann auch darüber hinaus zum Beispiel in die USA, für die Deutschland in der Mathematik prägend war. Auch in Italien nahm die Mathematik nach der Unabhängigkeit des Landes einen großen Aufschwung, besonders in der algebraischen Geometrie (italienische Schule von [[Francesco Severi (Mathematiker)|Francesco Severi]], [[Guido Castelnuovo]] und [[Federigo Enriques]]) und den Grundlagen der Mathematik (Peano). Großbritannien hatte insbesondere einen Wirkungsschwerpunkt in der theoretischen Physik, ihre mathematischen Schulen neigten aber immer wieder zu Sonderwegen, die sie von Kontinentaleuropa isolierten, so im hartnäckigen Festhalten am Newtonschen Stil der Analysis im 18. Jahrhundert und in der Betonung der Rolle der Quaternionen Ende des 19. Jahrhunderts. Der zuletzt in Göttingen neben Hilbert wirkende, gut vernetzte Felix Klein nahm gegen Ende des Jahrhunderts in Deutschland eine in vieler Hinsicht führende Stellung ein und organisierte ein [[Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften|Enzyklopädieprojekt]] der Mathematik und ihrer Anwendungen, das auch französische Mathematiker einschloss. Die Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 wirkte auf viele französische Mathematiker als Ansporn – wie auf anderen Gebieten auch – um einen vermeintlichen Rückstand zum aufstrebenden deutschen Reich aufzuholen, der zu einer neuen Blüte der französischen Mathematik führte.
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