Quelltext der Seite Logikäquivalenz

== Begriff ==
</div><p>Hier geht es nur um die logische Äquivalenz im Sinn der [https://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Logik klassischen, zweiwertigen Logik].</p><div class="mw-heading mw-heading3">
=== Definition ===
</div><p>Die logische Äquivalenz wird in zwei gleichwertigen definitorischen Grundformen definiert. Die Definition der logischen Äquivalenz erfolgt hier prototypisch für die aussagenlogische Äquivalenz. Daneben gibt es auch eine darauf aufbauende prädikatenlogische Äquivalenz.</p><div class="mw-heading mw-heading4">
==== Die logische Äquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen ====
</div><p>Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen, gleichwertig sind<sup id="cite_ref-2" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-2 <span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, die gleichen Wahrheitswerte-Eintragungen in einer Wahrheitstabelle haben<sup id="cite_ref-3" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-3 <span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, „wenn sie dieselben Wahrheitsfunktionen beinhalten, d.&nbsp;h. dieselben möglichen Werte ein- bzw. ausschließen.“<sup id="cite_ref-4" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-4 <span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, wenn der Werteverlauf ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheitstabelle Wahrheitstabelle]) der beiden Aussagen gleich ist.</p><p>Allgemeiner formuliert –&nbsp;d.&nbsp;h. nicht auf Aussagenlogik beschränkt&nbsp;– sind zwei Aussagen P und Q der klassischen, zweiwertigen Logik genau dann äquivalent, wenn beide Aussagen unter jeder möglichen [https://de.wikipedia.org/wiki/Interpretation_(Logik) Interpretation] denselben Wahrheitswert annehmen.</p><div class="mw-heading mw-heading4">
==== Die Logische Äquivalenz als allgemeingültiges Bikonditional ====
</div><p>Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Bikonditional Bikonditional] wahr<sup id="cite_ref-5" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-5 <span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, allgemeingültig<sup id="cite_ref-6" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-6 <span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Tautologie_(Logik) Tautologie]<sup id="cite_ref-7" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-7 <span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span>]</sup> ist.</p><p>Je nach Terminologie oder Präzision der Terminologie geht es dabei um die logische Äquivalenz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Aussageform Aussageformen]<sup id="cite_ref-8" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-8 <span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span>]</sup> oder [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aussageverbindung&action=edit&redlink=1 Aussageverbindungen]<sup id="cite_ref-9" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-9 <span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, von ''Sätzen''<sup id="cite_ref-10" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-10 <span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, von ''Teilsätzen''<sup id="cite_ref-11" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-11 <span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, ''Aussagen''<sup id="cite_ref-12" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-12 <span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>, ''(komplexen) Aussagen''<sup id="cite_ref-13" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-13 <span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span>]</sup> oder ''Ausdrücken''<sup id="cite_ref-14" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-14 <span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>.</p><div class="mw-heading mw-heading3">
=== Die Metasprachlichkeit der logischen Äquivalenz ===
</div><p>Der Begriff der logischen Äquivalenz ist [https://de.wikipedia.org/wiki/Metasprache metasprachlich] bzw. [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Metattheorie&action=edit&redlink=1 metatheoretisch]. Mit ihm wird eine (Meta-)Aussage über die Beziehung (Relation) zweier Ausdrücke der Objektsprache getroffen.</p><div class="mw-heading mw-heading3">
=== Abgrenzungen ===
</div><div class="mw-heading mw-heading4">
==== Materiale Äquivalenz (Bikonditional) ====
</div><p>Von der Äquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als [https://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik) Operator] ([https://de.wikipedia.org/wiki/Junktor Junktor], Konnektiv) der jeweiligen logischen [https://de.wikipedia.org/wiki/Objektsprache Objektsprache] unterschieden werden, das ebenfalls oft als Äquivalenz bezeichnet wird. Diese [https://de.wikipedia.org/wiki/Homonym Homonymie] ist insofern unglücklich, als sie dazu verleitet, ein objekt- und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen, und weil sie dazu zwingt, sehr genau darauf zu achten, was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort „Äquivalenz“ gemeint ist. Einzelheiten: [https://de.wikipedia.org/wiki/Bikonditional Bikonditional].</p><div class="mw-heading mw-heading4">
==== Definition ====
</div><p>„Alle Definitionen haben die Form von logisch wahren Äquivalenzen.“<sup id="cite_ref-15" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-15 <span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span>]</sup></p><div class="mw-heading mw-heading4">
==== Mathematische Gleichung ====
</div><p>Die Logische Äquivalenz beschreibt die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen, analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra. So sind zwei Aussagen A, B der klassischen [https://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik Aussagenlogik] genau dann logisch äquivalent, wenn der Werteverlauf ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheitstabelle Wahrheitstabelle]) der beiden Aussagen gleich ist.</p><p>„Die Funktion der Äquivalenzen in der Logik entspricht die Funktion der Gleichungen in der Mathematik.“<sup id="cite_ref-16" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-16 <span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>.</p><p>Beispiel für den Zusammenhang von logischer Äquivalenz und mathematischer Identität:</p><p>Für alle <span class="mwe-math-element">[[file:fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616|alt={\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }|55x18px]]</span> gilt <span class="mwe-math-element">[[file:b20a4efe100b55085c4927f08b32161ec31c398c|alt={\displaystyle (x=(a+b)^{2}\Leftrightarrow x=a^{2}+2ab+b^{2})\Rightarrow (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}}|457x22px]]</span></p><div class="mw-heading mw-heading3">
=== Schreib- und Sprechweisen ===
</div><p>Für „A äquivalent B“ wird in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Notation mathematischen Notation] häufig ein Doppelter Pfeil nach Links und rechts verwendet (⇔, Unicode-Zeichen U+21D4 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Unicodeblock_Pfeile Unicodeblock Pfeile])</p>
:<span class="mwe-math-element">[[file:ce08fffb4d36ba12921b8b3e06228887015b2b8e|alt={\displaystyle A\Leftrightarrow B}|51x15px]]</span>
<p>Man sagt</p>
*in der Mathematik:
**A ist äquivalent zu B
**A gilt genau dann, wenn B
**A gilt dann und nur dann, wenn B
*in der Logik:
**A ist logisch äquivalent zu B
**A ist werteverlaufsgleich mit B
**A ist logisch gleichwertig zu B
<p>Man schreibt auch</p>
*A gdw. B (genau dann, wenn)
*A iff. B (engl. ''if and only if'')
*A = B <sup id="cite_ref-17" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Logische_%C3%84quivalenz#cite_note-17 <span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span>]</sup>.
<p>Diese Schreib- und Sprechweise für die logische Äquivalenz ist abzugrenzen von der für das [https://de.wikipedia.org/wiki/Bikonditional Bikonditional]. Für die objektsprachliche Aussage „A genau dann wenn B“ (Bikonditional!) schreibt man in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Logik Logik] (unter anderem):</p>
:<span class="mwe-math-element">[[file:0b933daba3ef47ec3b4f3097ea6e741b85149707|alt={\displaystyle A\equiv B}|47x15px]]</span> oder <span class="mwe-math-element">[[file:936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa|alt={\displaystyle A\leftrightarrow B}|51x15px]]</span>
<div class="mw-heading mw-heading2">