Quelltext der Seite Huygens-Prinzip

=== Der Fall ''n'' = 1 ===
Nach der d’Alembertschen Lösungsformel gilt für <math>u = u(x,t)</math>:

: <math>
   u(x,t) = \tfrac 12 (\phi (x-t) + \phi (x+t)) + \tfrac12 \int_{x-t}^{x+t} \psi(s) \mathrm ds
</math>

Stören wir das Anfangsdatum <math> \phi </math> im Intervall <math>[a,b]</math>, dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt <math>x_0 \in [a,b]</math> die Störung zum Zeitpunkt <math> t=T > \max  (x_0 - a, b - x_0) </math> keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten <math> \phi (x-T) </math> und <math> \phi (x+T) </math> wurden nicht gestört. Für <math> \phi </math> gilt das huygenssche Prinzip.

Sei <math>\psi \neq 0</math> und man störe das Anfangsdatum <math>\psi</math> in <math>[a,b]</math>. Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen <math>u(x,T)</math> hat, denn man integriert über das „Störintervall“:

: <math> u(x,T) = \tfrac12 \int_{x-T}^{x+T} \psi(s) \mathrm ds = \tfrac12 \int_a^b \psi(s) \mathrm ds</math>

Fazit: Im Eindimensionalen gilt das huygenssche Prinzip im Allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum <math> \phi </math>.