Quelltext der Seite Ellipse (Eigenschaften)

=== Pol-Polare-Beziehung ===
Führt man [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2} = 1</math> beschrieben werden (s.&nbsp;o. Abschnitt [[#Gleichung|Gleichung]]). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion <math>f</math> je einem Punkt <math>P_0=(x_0,y_0)</math> die Gerade <math>\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2} = 1</math> zu. Bezüglich <math>f</math> heißt <math>P_0</math> '''Pol''', die zugeordnete Gerade '''Polare'''.
<math>f</math> ist eine [[Bijektion]]; die [[inverse Funktion]] bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt <math>(0,0)</math> ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu <math>(0,0)</math> keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als [[Normalenform]] mit dem zugehörigen Normalenvektor <math>\left(\tfrac{x_0}{a^2},\tfrac{y_0}{b^2}\right)</math> auffassen.

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man ''Pol-Polare-Beziehung'' oder einfach ''Polarität''. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] und [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]], siehe auch [[Pol und Polare]].
[[Datei:Ellipse-pol.svg|250px|mini|Ellipse: Pol-Polare-Beziehung]]

Zu Pol und Polare gelten folgende Lagebeziehungen:

* Der Brennpunkt <math>(e,0)</math> und die Leitlinie <math>x=\tfrac{a^2}{e}</math> sind polar zueinander. Da beide auch polar bezüglich des Scheitelkreises <math>x^2+y^2=a^2</math> sind, lässt sich die Leitlinie auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren (siehe hierzu auch [[Kreisspiegelung]]). '''(1)'''
* Genau dann, wenn der Pol außerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare zwei Punkte mit der Ellipse gemeinsam (s.&nbsp;Bild: <math>P_2,\ p_2</math>). '''(2)'''
* Genau dann, wenn der Pol auf der Ellipse liegt, hat die Polare genau einen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (= die Polare ist eine Tangente; s.&nbsp;Bild: <math>P_1,\ p_1</math>). '''(3)'''
* Genau dann, wenn der Pol innerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (s.&nbsp;Bild: <math>F_1,\ l_1</math>). '''(4)'''
* Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol <math>P</math> an die Ellipse (s. Bild: <math>P_2,\ p_2</math>). '''(5)'''
* Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole. '''(6)'''