Quelltext der Seite Mathematische Modellierung der Epidemiologie

=== Mortalität ===
Zur Beschreibung der Überlebenschancen eines durchschnittlichen Mitglieds der Bevölkerung gibt es zwei Standardannahmen: Bei der ''Typ-I-Sterblichkeit'' wird angenommen, dass die Sterblichkeitsrate <math> \mu (a) </math> bis zur durchschnittlichen Lebenserwartung <math>L</math> gleich null ist und dann abrupt auf Unendlich steigt. Die ''Typ-II-Sterblichkeit'' dagegen unterstellt, dass die Sterblichkeitsrate während des ganzen Lebens eines durchschnittlichen Wirts konstant und gleich dem Kehrwert der durchschnittlichen [[Lebenserwartung]] ist: <math> \mu (a) = \text{konst} = 1 / L </math>.

Die empirisch beobachtete Sterblichkeit liegt zwischen beiden Extremen, wobei nach Anderson und May entwickelte Länder eine Sterblichkeit zeigen, die näher am Typ I als am Typ II liegt, während die Überlebenskurve in den Entwicklungsländern auf „halben Wege“ zwischen Typ I und II zu liegen kommt.<ref>Roy M. Anderson, Robert M. May: ''Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control''. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 62.</ref> Ein Anwendungsbeispiel der beiden Mortalitätsmodelle stellt die Berechnung der [[Basisreproduktionszahl]] dar, das ist die Reproduktionszahl, die sich bei einem Gleichgewichtszustand von Neuinfektionen und Genesungen einstellt.<ref>Roy M. Anderson, Robert M. May: ''Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control''. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 69–71.</ref> Allgemein gilt in diesem Zustand, der durch <math> \Delta R = \Delta I </math> definiert ist, die folgende Beziehung:

:<math> R_0 = 1 / s^* </math>

Dabei ist <math> s^* </math> der oben definierte Anteil der Empfänglichen an der Gesamtbevölkerung im Gleichgewichtszustand <math> R_\text{eff} = 1 </math>. Per definitionem gilt:

:<math> s^* = S^* / N^* </math>

Für den Typ-I-Mortalitätstyp ergibt sich aus der Formel zur Überlebenswahrscheinlichkeit:

:<math> l(a) = 1 \quad\text{für}\quad a \le L</math>

:<math> l(a) = 0 \quad\text{für}\quad a > L</math>

und dementsprechend

:<math> N(a) = N(0) \quad\text{für}\quad a \le L</math>

:<math> N(a) = 0 \quad\text{für}\quad a > L</math>

Der Umfang der Bevölkerung ist im Rahmen dieses Mortalitätsmodells konstant und bleibt es auch im Gleichgewichtszustand:

:<math> N^* = N(0) L </math>

Die Zahl der Empfänglichen erhält man im Gleichgewichtszustand, indem man die Lösungsfunktion für <math>S</math> über alle Altersgruppen integriert, nachdem die spezifizierte Funktion der Überlebenswahrscheinlichkeit eingesetzt worden ist:

:<math>S^* = \int\limits_{0}^{\infty} S(a) \, da = N(0)\int\limits_{0}^{\infty} l(a) e^{-\lambda a } \, da = N(0) (1 - e^{-\lambda L}) /\lambda</math>

Einsetzen in die obige Formel für die Basisreproduktionszahl ergibt:

:<math> R_0 = \frac {\lambda L} {1-e^{-\lambda L}} \approx \lambda L</math>

Die Näherung gilt für <math> \lambda L \gg 1 </math>.

Bei Anwendung der Typ-II-Mortalität ist die Überlebenswahrscheinlichkeit

:<math>l(a) = \exp(-\mu a) </math>.

Für den Umfang der Bevölkerung ergibt sich:

:<math>N^* = N(0) / \mu </math>

Die Zahl der Empfänglichen ist im Gleichgewichtszustand:

:<math>S^* = \int\limits_{0}^{\infty} S(a) \, da = N(0)\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\lambda a - \mu a} \, da = N(0)/(\lambda + \mu)</math>

Bei Anwendung der allgemeinen Definition für die Basisreproduktionszahl folgt daraus:

:<math> R_0 = 1 + \lambda / \mu =1 + \lambda L </math>

Die Unterscheidung zwischen den beiden Mortalitätsmodellen führt also zu ähnlichen, aber nicht identischen Methoden zur Bestimmung der Basisreproduktionszahl. Außerdem ist sie für die Charakteristik dynamischer Modelle grundlegend.