Quelltext der Seite Fläche (Mathematik)

[[Fläche]] vgl. [[Ebene (Mathematik)]][[Datei:Sphere wireframe.svg|mini|Sphäre]]

Eine '''Fläche''' im anschaulichen Sinn ist eine [[2D|zweidimensionale]] Teilmenge des [[3D|dreidimensionalen]] [[Raum (Physik)|Raumes]], beispielsweise eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], eine zweidimensionale [[geometrische Figur]] oder die Begrenzungsfläche eines dreidimensionalen [[Körper (Geometrie)|Körpers]]. Eine Fläche kann somit sowohl [[Flache Mannigfaltigkeit|flach]] als auch [[Krümmung|gekrümmt]] sein.

Ein Maß für die Größe einer Fläche ist der [[Flächeninhalt]]. Umgangssprachlich wird der Flächeninhalt oftmals ebenfalls als „Fläche“ bezeichnet. Dieser Artikel behandelt das mathematische Objekt „Fläche“, nicht den Flächeninhalt.

Je nach [[Teilgebiet der Mathematik]] unterscheiden sich die genauen Definitionen einer Fläche. Gemeinsam haben alle Definitionen, dass die Fläche ein [[Dimension (Mathematik)|zweidimensionales]] Objekt ist.

== Elementargeometrie ==
{{Schaufenster
| Seite = Fläche (Ebene)
| Marke = Fläche (Ebene)
| modus = ignorieren
| link = 1
| linkpos = prefix
| inline = 1
}}[[Datei:Prav4bokjeh.png|mini|Oberfläche einer quadratischen Pyramide, abgewickelt als [[Netz (Geometrie)|Körpernetz]]]]

== Flächen im Raum ==
{{Schaufenster
| Seite = Fläche (Raum)
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| modus = ignorieren
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}}

== Flächen im Bereich der Topologie ==
{{Schaufenster
| Seite = Fläche (Topologie)
| Marke = Fläche (Topologie)
| modus = ignorieren
| link = 1
| linkpos = prefix
| inline = 1
}}

== Verallgemeinerungen ==
* Nimmt man in der Definition topologischer oder differenzierbarer Flächen noch die Halbebene <math>\{(x,y)\in\R^2: x\geq0\}</math> als Modell hinzu, erhält man den Begriff der Fläche mit Rand. Punkte der Fläche, die auf die Gerade <math>\{(x,y)\in\R^2: x = 0\}</math> abgebildet werden, werden Randpunkt genannt. Die abgeschlossene [[Einheitskreisscheibe]] in der Ebene ist beispielsweise eine differenzierbare Fläche mit Rand, das abgeschlossene Einheitsquadrat ist eine topologische Fläche mit Rand.
* Teilmengen von <math>\R^n</math>, die ähnliche Differenzierbarkeitseigenschaften wie reguläre Flächen haben, nennt man [[Untermannigfaltigkeit]]en. Untermannigfaltigkeiten der Dimension <math>n-1</math> nennt man [[Hyperfläche]]n.
* Höherdimensionale Analoga der abstrakten Flächen sind [[Topologische Mannigfaltigkeit|topologische Mannigfaltigkeiten]] und [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare Mannigfaltigkeiten]].
* Höherdimensionale Analoga der riemannschen Flächen sind [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexe Mannigfaltigkeiten]]. Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 nennt man [[komplexe Fläche]]n. Sie sind vierdimensionale reelle Mannigfaltigkeiten.

== Literatur ==
;Flächen im Raum
* Ethan D. Bloch: ''A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.'' Birkhäuser, Boston 1997.
* Wilhelm Klingenberg: ''A Course in Differential Geometry.'' Springer, New York 1978.
;Abstrakte Flächen mit riemannscher Metrik
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry.'' Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
;Riemannsche Flächen
* Hershel M. Farkas, Irwin Kra: ''Riemann Surfaces.'' Springer, New York 1980.
;Klassifikation topologischer Flächen
* William S. Massey: ''Algebraic Topology: An Introduction.'' Springer, Berlin 1967, ISBN 3-540-90271-6.
;Klassifikation differenzierbarer Flächen
* Morris W. Hirsch: ''Differential Topology.'' Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90148-5.

== Weblinks ==
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]
{{Commonscat|Surfaces|Fläche}}
* [https://3d-xplormath.org/ 3D-XplorMath: Programm das viele Flächen, implizite, explizite, minimale oder eigene Gleichungen, visualisiert]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Flache}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)| ]]