Quelltext der Seite Fläche (Topologie)

[[Fläche (Mathematik)#Flächen im Bereich der Topologie]]

{{SchaufensterBeginn|Fläche (Topologie)}}[[Datei:OblateSpheroid.PNG|mini|Ein [[Rotationsellipsoid]]]]
[[Datei:Klein_bottle.svg|mini|Die nicht orientierbare [[Kleinsche Flasche]]]]
In mathematischen Teilgebieten wie der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], der [[Differentialtopologie]], der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] oder der [[Funktionentheorie]] betrachtet man Flächen nicht mehr als Objekte, die in den [[dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raum]] eingebettet sind, vielmehr verzichtet man auf den umgebenden Raum und betrachtet nur die Fläche für sich. Man spricht von ''abstrakten'' Flächen oder von [[2-Mannigfaltigkeit|2-Mannigfaltigkeiten]].

=== Motivation ===
Sei <math>U\subseteq\R^2</math> eine offene Teilmenge und <math>\phi \colon U\to\R^3</math> eine reguläre Parametrisierung eines Flächenstücks <math>S=\phi(U)</math>. Man kann sich nun fragen, welche Daten man auf <math>U</math> vorgeben muss, um Aussagen über <math>S</math> zu treffen. Nach Definition ist für <math>u\in U</math> die Ableitung <math>d\phi(u)</math> ein Isomorphismus <math>\R^2\to T_{\phi(u)}S</math>. Die Länge von Tangentialvektoren kann man also in eine Bilinearform

: <math>g_u \colon \R^2\times\R^2\to\R,\ \ (v_1,v_2)\mapsto\langle d\phi(u) v_1,d\phi(u) v_2\rangle</math>

übersetzen, die hier [[erste Fundamentalform]], im allgemeinen Kontext aber [[riemannsche Metrik]] genannt wird. Die gramsche Determinante für <math>\phi</math> ist gleich der Determinante der Darstellungsmatrix von <math>g</math>, also enthält die riemannsche Metrik bereits die Information über Flächeninhalte und Integrale auf <math>S</math>. Die zweite Fundamentalform und damit die Hauptkrümmungen kann man jedoch nicht alleine an <math>g</math> ablesen, wie das folgende Beispiel eines Zylinderstücks zeigt:

: <math>\phi \colon U=(-\pi,\pi)\times\R\to\R^3,\ \ (u_1,u_2)\mapsto(\cos u_1,\sin u_1,u_2)</math>

Für jedes <math>u\in U</math> ist <math>g_u</math> das [[Standardskalarprodukt]], also kann die riemannsche Metrik nicht zwischen einem Zylinder und einer Ebene unterscheiden. Aber: Das [[Theorema egregium]] von [[Carl Friedrich Gauß]] besagt, dass die gaußsche Krümmung nur von der riemannschen Metrik abhängt.

Damit lässt sich der gaußsche Krümmungsbegriff auf Flächen übertragen, für die keine Einbettung in den euklidischen Raum bekannt ist oder auch nur existiert. Ein Beispiel ist die [[hyperbolische Ebene]], die über eine naheliegende riemannsche Metrik verfügt, mit der sie konstante negative Krümmung hat, aber nach einem Satz von [[David Hilbert]] keine isometrische Einbettung in den euklidischen Raum besitzt.<ref>David Hilbert, Über Flächen von constanter Gaußscher Krümmung, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 2, No. 1 (Jan., 1901), pp. 87–99</ref> (Isometrisch bedeutet hier, dass die Einbettung die vorgegebene Metrik induziert.)

Ein anderes Phänomen sind Flächen wie die reelle projektive Ebene, die überhaupt keine Einbettung in den euklidischen Raum erlauben, sondern lediglich Immersionen (z.&nbsp;B. als [[Boysche Fläche]]). Man kann sie zwar in höherdimensionale Räume einbetten, aber da man letztlich in Eigenschaften interessiert ist, die unabhängig von der Einbettung sind, ist es vorteilhaft, eine Sprache zu entwickeln, in der keine Einbettungen mehr vorkommen.

=== Definition ===
Im Bereich der Topologie wird der Begriff '''Fläche''' als Synonym für 2-dimensionale Mannigfaltigkeit verwendet. Das heißt, eine Fläche ist ein besonderer [[topologischer Raum]], eine zweidimensionale [[topologische Mannigfaltigkeit]]. Das ist per Definition ein [[Hausdorff-Raum]], der lokal [[Homöomorphismus|homöomorph]] zu <math>\R^2</math> ist. Die lokalen Homöomorphismen werden [[Atlas (Mathematik)|Karten]]<nowiki/>genannt, ihre Gesamtheit bildet einen Atlas. Da die Fläche lokal homöomorph zum zweidimensionalen Raum <math>\R^2</math> ist, definiert man, dass die Dimension der Fläche gerade zwei ist. Beispielsweise ist eine [[Sphäre (Mathematik)|Kugeloberfläche]] eine Fläche in Sinne der Topologie.

Eine [[Kompakter Raum|kompakte]] Fläche wird auch geschlossen genannt, wenn betont werden soll, dass es sich um eine Fläche ohne Rand handelt. Flächen mit Rand als spezielle [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Mannigfaltigkeiten mit Rand]] werden im Abschnitt [[Fläche (Mathematik)#Verallgemeinerungen|Verallgemeinerungen]] definiert.

=== Beispiele ===
[[Datei:Torus.svg|mini|Torus]]
Die einfachsten kompakten Flächen sind

* die 2-dimensionale [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]
* der 2-dimensionale [[Torus]].

[[Datei:Connected_sum.svg|mini|Zusammenhängende Summe]]
Weitere kompakte, orientierbare Flächen erhält man als zusammenhängende Summe von ''g'' Tori. (Die zusammenhängende Summe zweier Flächen wird gebildet, indem man aus beiden Flächen jeweils einen 2-Ball herausschneidet und die beiden 1-dimensionalen Randsphären verklebt.) Die Zahl ''g'' heißt das Geschlecht der Fläche.

Eine explizite Beschreibung der Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] ''g'' (als glatte [[algebraische Varietät]] und insbesondere 2-dimensionale Mannigfaltigkeit) ist zum Beispiel

: <math> S_g=\left\{(w,z)\in\Complex^2: w^2=(z-g)\ldots(z-1)z(z+1)\ldots(z+g)\right\}</math>.

Die [[Euler-Charakteristik]] der Fläche vom Geschlecht ''g'' ist ''2 − 2g''.

Die Sphäre trägt eine sphärische Metrik, der Torus flache Metriken, die Flächen vom Geschlecht mindestens 2 tragen [[Hyperbolische Mannigfaltigkeit|hyperbolische Metriken]]. Der [[Modulraum]] hyperbolischer Metriken auf einer gegebenen Fläche heißt [[Teichmüller-Raum]]<nowiki/>der Fläche.

=== Flächen mit zusätzlichen Strukturen ===
Die zuvor angeführten Flächen in der Topologie sind das Grundgerüst für die spezielleren Flächen, die in der Differentialtopologie, der riemannschen Geometrie oder der Funktionentheorie untersucht werden. In diesen mathematischen Teilgebieten wird die Fläche noch mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet.

Im Bereich der [[Differentialtopologie]] stattet man die topologische Fläche noch zusätzlich mit einer [[Differenzierbare Struktur|differenzierbaren Struktur]] aus, um Funktionen, die auf der Fläche definiert sind, differenzieren und um die Tangentialebene definieren zu können. Da die Fläche ja ohne umgebenden Raum definiert wurde, kann im Gegensatz zum vorigen Abschnitt die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierbarkeit]] der Fläche nicht mit Hilfe eines [[Normalenvektor|Normalenvektors]] definiert werden. Aus diesem Grund wird eine (äquivalente) Definition mittels Karten und Tangentialebene gewählt. Die Eigenschaft der Orientierbarkeit einer Fläche hängt also nicht vom umgebenden Raum ab.

In der Funktionentheorie ergänzt man die Fläche nicht um eine differenzierbare Struktur, sondern um eine [[komplexe Struktur]]. Solche Flächen werden [[Riemannsche Fläche|riemannsche Flächen]] genannt, und die komplexe Struktur ermöglicht es auf ihnen den Begriff der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] zu definieren. Im Bereich der riemannschen Flächen gibt zwei unterschiedliche Dimensionsbegriffe. Zum einen ist sie wieder ein Spezialfall der topologischen Fläche und hat damit die Dimension zwei, zum anderen betrachtet man in der Funktionentheorie meistens die [[komplexe Zahlenebene]] <math>\Complex \cong \R^2</math> und versteht die riemannschen Flächen als eine Verallgemeinerung dieser. In diesem Kontext hat die riemannsche Fläche die (komplexe) Dimension eins und wird daher auch als „komplexe Kurve“ interpretiert. Kompakte riemannsche Flächen sind [[Kurve (algebraische Geometrie)|projektive algebraische Kurven]], das heißt, sie lassen sich in einen [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Raum]] einbetten, so dass das Bild durch Polynomgleichungen beschrieben wird.

Auf einer differenzierbaren Fläche kann auch eine [[riemannsche Metrik]] gegeben sein, das ist ein [[Skalarprodukt]] auf jeder Tangentialebene, das differenzierbar vom Basispunkt abhängt. Jede reguläre Fläche im <math>\R^3</math> erhält über die Einschränkung des Standardskalarprodukts eine riemannsche Metrik. Eine riemannsche Metrik induziert auf orientierbaren Flächen eine [[konforme Struktur]], in der die Längenmessung verlorengeht, aber die Information über Winkel erhalten bleibt. Die 90°-Drehung auf den Tangentialräumen ist eine [[fastkomplexe Struktur]], und im Fall von Flächen ist jede fastkomplexe Struktur eine komplexe Struktur, das heißt jede Fläche mit einer riemannschen Metrik ist auf kanonische Weise eine riemannsche Fläche.

=== Klassifikation ===
[[Datei:Triple_torus_array.png|mini|Orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht 3]]
Der [[Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten|Klassifikationssatz]] gibt eine Liste von Flächen an, so dass jede geschlossene Fläche zu genau einer von ihnen homöomorph ist.

* Eine orientierbare Fläche ist homöomorph zur [[Verbundene Summe|verbundenen Summe]] von <math>g\ge0</math> [[Torus|Tori]]. Für <math>g=0</math> handelt es sich um die Sphäre, für <math>g=1</math> um den Torus. Die Zahl <math>g</math> ist das [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] der Fläche.
* Eine nicht orientierbare Fläche ist homöomorph zu einer verbundenen Summe von [[Projektive Ebene|projektiven Ebenen]].

Für geschlossene differenzierbare Flächen ergibt sich dieselbe Klassifikation: jede Fläche ist [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] zu genau einer der Flächen aus der Liste. Allgemein stimmen für geschlossene Flächen die Klassifikationen nach [[Homotopieäquivalenz]], [[Homöomorphie]], PL-Äquivalenz und [[Diffeomorphie]] alle überein.

Für riemannsche Flächen überträgt sich die Klassifikation nicht: Jede riemannsche Fläche ist orientierbar und eine orientierbare geschlossene Fläche kann wesentlich verschiedene komplexe Strukturen tragen.

* Für Geschlecht 0 gibt es nur eine riemannsche Fläche, die projektive Gerade oder [[riemannsche Zahlenkugel]].
* Für Geschlecht 1 sind die riemannschen Flächen (bis auf die Wahl eines Basispunkts) [[Elliptische Kurve|elliptische Kurven]] und durch ihre [[j-Invariante]] klassifiziert.
* Für Geschlecht <math>g>1</math> werden die riemannschen Flächen durch den [[Teichmüller-Raum]] parametrisiert, der selbst eine <math>(3g-3)</math>-dimensionale [[komplexe Mannigfaltigkeit]] ist.

Der [[Uniformisierungssatz]] besagt, dass es für die (nicht notwendigerweise kompakte) [[universelle Überlagerung]] einer riemannschen Fläche nur drei Möglichkeiten gibt (entsprechend der Unterscheidung <math>g=0,g=1,g>1</math>):

* die [[riemannsche Zahlenkugel]]
* die komplexe Zahlenebene
* die [[obere Halbebene]]

Geschlossene Flächen mit riemannscher Metrik sind für eine Klassifikation zu kompliziert. [[Einfach zusammenhängend|Einfach zusammenhängende]]Flächen mit konstanter Krümmung, die nicht notwendigerweise kompakt, aber vollständig sind, sind jedoch klassifizierbar: Durch Skalierung kann man sich auf die Krümmungen <math>+1,0,-1</math> beschränken. Dann gibt jeweils bis auf Isometrie jeweils nur eine derartige Fläche:

* <math>+1</math>: die Einheitssphäre
* <math>0</math>: die euklidische Ebene
* <math>-1</math>: die [[hyperbolische Ebene]]

Diese Aussage gilt analog für beliebige Dimensionen. Nach einem Satz von [[Jacques Hadamard]] ist auch jede einfach zusammenhängende vollständige Fläche nicht notwendigerweise konstanter, aber überall nichtpositiver Krümmung diffeomorph zur Ebene.

{{SchaufensterEnde|Fläche (Topologie)}}