Quelltext der Seite Geschichte der Mathematik/Mathematik in Europa

{{DISPLAYTITLE:Mathematik in Europa}}{{DEFAULTSORT:Europa}}[[Kategorie:Geschichte der Mathematik]] 
[[Kategorie:Mathematik der Europäer]]
{{SchaufensterBeginn|Mathematik in Europa}}

=== Mathematik im Mittelalter ===
Das [[Mittelalter]] als Epoche der europäischen Geschichte begann etwa mit dem [[Untergang des römischen Reiches|Ende des römischen Reiches]] und dauerte bis zur [[Renaissance]]. Die Geschichte dieser Zeit war bestimmt durch die [[Völkerwanderung]] und den Aufstieg des Christentums in Westeuropa. Der Niedergang des römischen Reiches führte zu einem Vakuum, das in Westeuropa erst durch den Aufstieg des [[Fränkisches Reich|Frankenreiches]] kompensiert wurde. Im Zuge der Gestaltung einer neuen politischen Ordnung durch die Franken kam es zu der sogenannten [[Karolingische Renaissance|karolingischen Renaissance]]. Das Wissen des Altertums wurde zunächst in Klöstern bewahrt. Klosterschulen wurden im späteren Mittelalter von Universitäten als Zentren der Gelehrsamkeit abgelöst. Eine wichtige Bereicherung der westeuropäischen Wissenschaft erfolgte, indem die arabische Überlieferung und Weiterentwicklung griechischer Mathematik, Medizin und Philosophie sowie die arabische Adaption indischer Mathematik und Ziffernschreibung auf dem Weg von Übersetzungen ins Lateinische im Westen bekannt wurden. Die Kontakte zu arabischen Gelehrten und deren Schriften ergaben sich einerseits als Folge der Kreuzzüge in den Vorderen Orient und andererseits durch die Kontakte mit den Arabern in Spanien und Sizilien, hinzu kamen Handelskontakte besonders der Italiener im Mittelmeerraum, denen zum Beispiel auch [[Leonardo da Pisa]] („Fibonacci“) einige seiner mathematischen Kenntnisse verdankte.

==== Aufstieg der Klosterschulen ====
[[Datei:Boethius.jpeg|mini|hochkant|Boëthius (mittelalterliche Illustration)]]
An der Grenze zwischen dem römischen Reich und dem beginnenden Neuen steht [[Boëthius]] (ca.&nbsp;480–524). Seine Einführung in die Arithmetik bildete die Grundlage für den Unterricht dieses Faches bis zum Ausgang des Mittelalters; ebenfalls einflussreich, wenn auch in geringerem Maße, war seine Einführung in die Geometrie. Im Jahre 781 berief [[Karl der Große]] den Gelehrten [[Alkuin]] von York (735–804) zum Leiter seiner Hofschule, der das Bildungswesen des Frankenreiches aufbauen sollte. Man nannte ihn auch den „Lehrer der Westfranken“. Im östlichen Frankenreich begründete ein Schüler Alkuins das Schulwesen, der aus Mainz stammende [[Rabanus Maurus]]. Mathematische Lehrinhalte wurden gemäß der Einteilung der [[Sieben Freie Künste|sieben freien Künste]] in den vier Fächern des [[Quadrivium]]s gelehrt:
* Arithmetik: Die Eigenschaften und Arten der Zahlen (z.&nbsp;B. gerade, ungerade, Primzahlen, Flächen- und Körperzahlen) sowie Proportionen und Zahlenverhältnisse, jeweils nach Boëthius, außerdem Grundkenntnisse über griechische und lateinische [[Zahlschrift]], Grundrechenarten, Fingerrechnen und im 11.–12.&nbsp;Jahrhundert [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Abakusrechnen]], seit dem 13.&nbsp;Jahrhundert auch schriftliches Rechnen mit arabischen Ziffern
* Geometrie: Elemente [[euklid]]ischer Geometrie, Mess- und Vermessungswesen, Geographie und z.&nbsp;T. auch Geschichte
* Astronomie: Grundkenntnisse der Ptolemäischen Astronomie und z.&nbsp;T. auch [[Astrologie]], seit dem 10.&nbsp;Jahrhundert Benutzung des [[Astrolabium|Astrolabs]], außerdem [[Komputistik]] zur Berechnung des Ostertermins und der beweglichen Feste des Kirchenjahres
* Musik: Harmonielehre nach den Zahlenverhältnissen der antiken [[Kirchentonarten]]
Bekannt sind folgende in Klöstern entstandenen Rechenbücher: Aufgaben zur Schärfung des Geistes Jugendlicher (um&nbsp;800) (früher [[Alkuin]] von York zugeschrieben), die Aufgaben aus den ''Annales Stadenses'' (Kloster Stade) (um&nbsp;1180) und die Practica des ''Algorismus Ratisbonensis'' (Kloster Emmeram Regensburg) (um&nbsp;1450).

==== Berechnung des Ostertermins ====
Die Berechnung des Termins für das [[Osterfest]], des wichtigsten Festes des [[Christentum]]s, spielte im Mittelalter eine große Rolle für die Weiterentwicklung der Mathematik. Karl der Große verfügte, dass sich in jedem Kloster ein Mönch mit der [[Komputistik]] zu befassen hatte. Dadurch sollte das Wissen um die Berechnung des [[Osterdatum]]s sichergestellt werden. Die genaue Berechnung des Termines und die Entwicklung des modernen [[Kalender]]s wurde durch diese Mönche weiterentwickelt, die Grundlagen übernahm das Mittelalter von [[Dionysius Exiguus]] (ca.&nbsp;470 bis ca.&nbsp;540) und [[Beda Venerabilis|Beda dem Ehrwürdigen]] (ca.&nbsp;673–735). Im Jahre&nbsp;1171 publizierte [[Reinher von Paderborn]] eine verbesserte Methode zur Berechnung des Osterdatums.

==== Universitäten ====
Die frühmittelalterlichen [[Klosterschule]]n wurden erst im weiteren Verlauf des Mittelalters ergänzt durch die [[Domschule|Kathedralschulen]], die Schulen der
[[Bettelorden]] und die Universitäten. Sie waren deshalb zunächst die einzigen Träger des antiken Kulturerbes, indem sie für die Abschrift und Verbreitung der antiken Werke sorgten. Die Abschrift, Kommentierung und kompilierende Aufbereitung des Lehrguts blieb lange Zeit die einzige Form der Auseinandersetzung mit den Themen der Mathematik. Erst im [[Hochmittelalter]] entwickelte sich die in Ansätzen kritischere Methode der [[Scholastik]], mit der Lehrmeinungen in ihrem pro und contra auf Widersprüche überprüft und diese nach Möglichkeit in Übereinstimmung mit den als grundlegend erachteten Standpunkten der kirchlichen und antiken Autoritäten aufgelöst wurden.

Diese Methode wurde ab dem 12.&nbsp;Jahrhundert auf die Darstellungen der antiken Wissenschaft angewendet, insbesondere die des Aristoteles. Im 12.&nbsp;Jahrhundert wurden die Universitäten in [[Sorbonne|Paris]] und [[University of Oxford|Oxford]] zum europäischen Zentrum der wissenschaftlichen Aktivitäten. [[Robert Grosseteste]] (1168–1253) und sein Schüler [[Roger Bacon]] (1214–1292) entwarfen ein neues Wissenschaftsparadigma. Nicht die Berufung auf kirchliche oder antike Autoritäten, sondern das Experiment sollte die Bewertung der Korrektheit maßgeblich bestimmen. Papst [[Clemens&nbsp;IV.]] forderte Roger Bacon im Jahre&nbsp;1266 auf, ihm seine Ansichten und Vorschläge zur Behebung der Missstände in der Wissenschaft mitzuteilen. Bacon verfasste als Antwort mehrere Bücher, darunter sein ''Opus Maius''. Bacon wies auf die Bedeutung der Mathematik als Schlüssel zur Wissenschaft hin; er befasste sich insbesondere mit der Geometrie angewendet auf die Optik. Unglücklicherweise starb der Papst, bevor ihn das Buch erreichte. Ein weiterer wichtiger Beitrag Bacons betrifft die Kalenderreform, die er einforderte, die allerdings dann erst im Jahre&nbsp;1582 als [[Gregorianischer Kalender#Gregorianische Kalenderreform|Gregorianische Kalenderreform]] durchgeführt wurde.

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Robert Grosseteste.jpg|[[Robert Grosseteste]]
Roger Bacon.jpeg|[[Roger Bacon]]
Oresme.jpg|[[Nikolaus von Oresme]]
Wilhelm von Ockham.jpeg|[[Wilhelm von Ockham]]
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Eine wichtige methodische Entwicklung in der Wissenschaft war die Quantifizierung von Qualitäten als Schlüssel für die quantitative Beschreibung von Vorgängen. [[Nikolaus von Oresme]] (1323–1382) war einer der ersten, die sich weitergehend auch mit der Veränderung der Intensitäten beschäftigten. Oresme untersuchte verschiedene Formen der Bewegung. Er entwickelte eine Art funktionale Beschreibung, indem er Geschwindigkeit gegen Zeit auftrug. Er klassifizierte die unterschiedlichen Formen der Bewegungen und suchte nach funktionalen Zusammenhängen.

[[Datei:Nikolaus von Kues.jpg|mini|Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)|289x289px]]
Oresme, aber auch [[Thomas Bradwardine]] (1295–1349), [[Wilhelm von Ockham]] (1288–1348), [[Johannes Buridan]] (ca.&nbsp;1300 bis ca.&nbsp;1361) und andere Gelehrte des [[Merton College]] untersuchten die funktionale Beschreibung der Zusammenhänge von Geschwindigkeit, Kraft, Ort, kurzum: sie beschäftigten sich mit [[Kinetik (Technische Mechanik)|Kinetik]]. Es wurden auch methodisch wichtige Fortschritte erzielt. Grosseteste formulierte das Prinzip der Uniformität der Natur, demzufolge Körper gleicher Beschaffenheit sich unter gleichen Bedingungen auf gleiche Weise verhalten. Hier wird deutlich, dass schon damals den Gelehrten bewusst war, dass die Umstände, unter denen bestimmtes Verhalten betrachtet wird, zu kontrollieren sind, wenn Vergleiche angestellt werden sollen. Weiterhin formulierte Grosseteste das Prinzip der Ökonomie der Beschreibung, nach dem unter gleichen Umständen diejenige Argumentation vorzuziehen ist, die zum vollständigen Beweis weniger Fragen zu beantworten oder weniger Annahmen erfordert. William Ockham war einer der größten Logiker der damaligen Zeit, berühmt ist [[Ockhams Rasiermesser]], ein Grundsatz, der besagt, dass eine Theorie immer so wenig Annahmen und Begrifflichkeiten wie möglich enthalten soll.

Die Gelehrten der damaligen Zeit waren oft auch Theologen. Die Beschäftigung mit geistlichen Fragen wie z.&nbsp;B. der Allmacht Gottes führte sie zu Fragen in Bezug auf das Unendliche. In diesem Zusammenhang ist [[Nikolaus von Kues]] (Nikolaus Cusanus) (1401–1464) zu nennen, der als einer der ersten, noch vor [[Galileo Galilei|Galilei]] oder [[Giordano Bruno]], die Unendlichkeit der Welt beschrieb. Sein Prinzip der ''[[coincidentia oppositorum]]'' zeugt von einer tiefgehenden philosophischen Beschäftigung mit dem Thema Unendlichkeit.

==== Praktische Mathematik ====
Gegen Ende des Mittelalters entstanden die Kathedralen Europas, deren Bau ganz neue Anforderungen an die Beherrschung der Statik stellte und zu technologischen Höchstleistungen auf diesem Gebiet herausforderte. In diesem Zusammenhang wurden auch immer wieder geometrische Probleme behandelt. Ein wichtiges Lehrbuch, das die Architektur behandelt, ist das [[Bauhütte]]n&shy;buch von [[Villard de Honnecourt]].

Im Bereich der Vermessungsgeometrie wurden während des gesamten Mittelalters stetige Fortschritte erzielt, besonders zu nennen sind hier im 11.&nbsp;Jahrhundert die Geometrie der [[Geodät]]en zurückgehend auf ein Buch des [[Boëthius]], im 12.&nbsp;Jahrhundert die eher konventionelle ''Geometria practica'' von [[Hugo von St.&nbsp;Victor]] (1096–1141). Im 13.&nbsp;Jahrhundert wurde von [[Levi ben Gershon]] (1288–1344) ein neues Vermessungsgerät beschrieben, der sogenannte [[Jakobsstab]].

==== Beginn der Geldwirtschaft ====
[[Datei:Fibonacci.jpeg|mini|hochkant=0.6|links|Leonardo da Pisa (Fibonacci), Fantasieporträt]]
Mit dem Beginn einer Wirtschaft, die nicht auf Warentausch, sondern auf Geld basiert, entstanden neue Anwendungsgebiete der Mathematik.
Dies gilt insbesondere für Italien, das zur damaligen Zeit ein Umschlagplatz für Waren von und nach Europa war, und dessen damals führende Rolle im Finanz- und Bankwesen sich noch heute in der Verwendung von Wörtern wie „Konto“, „brutto“ und „netto“ auswirkt. In diesem Zusammenhang ist besonders Leonardo da Pisa, genannt [[Fibonacci]], und sein ''[[Leonardo Fibonacci#Der Inhalt des Liber abbaci|Liber abbaci]]'' zu nennen, der nichts mit dem [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Abacus]] als Rechenbrett zu tun hat, sondern gemäß einem zu dieser Zeit in Italien aufkommenden Sprachgebrauch das Wort abacus oder „abbacco“ als Synonym für Mathematik und Rechnen verwendet. In der Mathematik Fibonaccis vollzog sich eine für das Mittelalter singuläre Synthese aus kaufmännischem Rechnen, traditioneller griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Methoden der arabischen und (arabisch vermittelten) indischen Mathematik. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen [[Rechenbuch|Rechenbücher]], die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14.&nbsp;Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.
{{Absatz}}

=== Mathematik der frühen Neuzeit ===
Arabische Mathematik kam über Spanien, wo im Zuge der [[Reconquista]] die [[Mauren]] aus Europa vertrieben wurden, und über Handelsbeziehungen nach Europa und ihre Mathematik beeinflusste in der Folge die europäische grundlegend. Begriffe wie [[Algebra]], [[Algorithmus]] sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück. In der Renaissance wurden die antiken Klassiker und andere Werke durch weite Verbreitung über den Buchdruck allgemein zugänglich.<ref>Siehe bei [[Thomas de Padova]]: ''Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand.'' Hanser, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3.</ref> Die Kunst der [[Renaissance]] führte zur Entwicklung der [[Perspektive]] (u.&nbsp;a. [[Albrecht Dürer]], [[Filippo Brunelleschi]], [[Leon Battista Alberti]], [[Piero della Francesca]]) und [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] und die damit zusammenhängende projektive Geometrie ([[Gérard Desargues]]) hatte ebenfalls im Architekturwesen ihren Ursprung. Die Entdeckungsreisen führten zu Entwicklungen in [[Kartographie]] und Navigation (das lange akute [[Längengradproblem]]) und die Landvermessung ([[Geodäsie]]) war für die Entwicklung der Territorialstaaten von Bedeutung. Praktische Erfordernisse von Ingenieuren (nicht zuletzt militärischer Art) wie [[Simon Stevin]] (Dezimalbrüche) und Astronomen führten zu Verbesserungen der Rechentechnik, insbesondere durch Erfindung der [[Logarithmus|Logarithmen]] ([[John Napier]], [[Jost Bürgi]]).

In Deutschland erklärte der [[Rechenmeister]] [[Adam Ries|Adam Ries(e)]] – bekannt aus [[Liste geflügelter Worte/N#Nach Adam Riese|einem verbreiteten Sprichwort]] – seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär. Im Jahr 1544 wurde in Nürnberg ''Arithmetica integra'', eine Zusammenfassung der damals bekannten Arithmetik und Algebra von [[Michael Stifel]], gedruckt.<ref>Vgl. [[Joseph Ehrenfried Hofmann]]: ''Michael Stifel (1487?–1567). Leben, Wirken und Bedeutung für die Mathematik seiner Zeit'' (= ''[[Sudhoffs Archiv]].'' Beiheft 9). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1968, ISBN 3-515-00293-6.</ref> In Frankreich entdeckte [[René Descartes]], dass man Geometrie, die bis dahin nach [[Euklid]] gelehrt wurde, auch algebraisch beschreiben kann und umgekehrt algebraische Gleichungen geometrisch deuten kann ([[Analytische Geometrie]]) nach Einführung eines [[Koordinatensystem]]s. Ein Briefwechsel zwischen [[Blaise Pascal]] und [[Pierre de Fermat]] im Jahr&nbsp;1654 über Probleme von Glücksspielen gilt als Geburt der klassischen [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
{{Siehe auch|Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung}}

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Adam Ries.jpeg|[[Adam Ries|Adam Ries(e)]]
Michael Stifel.jpeg|[[Michael Stifel]]
Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|[[René Descartes]]
Blaise pascal.jpg|[[Blaise Pascal]]
Pierre de Fermat.jpg|[[Pierre de Fermat]]
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Blaise Pascal war auch einer der Begründer der [[Kombinatorik]] ([[Binomialkoeffizient]]en, [[Pascalsches Dreieck]]) und baute eine der ersten Rechenmaschinen. [[François Viète]] verwendete systematisch [[Parameter (Mathematik)|Variablen]] (Unbekannte) in Gleichungen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat, der hauptberuflich Richter war, lieferte wichtige Resultate zur [[Variationsrechnung]] und in der Zahlentheorie (Lösung von algebraischen Gleichungen in den ganzen Zahlen, sogenannte [[Diophantische Gleichung|Diophantische Probleme]]), insbesondere den „[[Kleiner fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satz]]“ und formulierte den „[[Großer Fermatscher Satz|großen Fermatschen Satz]]“. Er behauptete, dass die Gleichung <math> x^n + y^n = z^n </math> keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls <math> n \geq 3</math>. Am Rand seiner Ausgabe der ''Arithmetica'' von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. Jahrhundertelang suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis. Der Beweis des Satzes gelang erst Jahrhunderte später (1995) mit Fermat nicht zugänglichen Methoden (siehe unten). In Italien fanden [[Gerolamo Cardano|Cardano]] und [[Nicolo Tartaglia|Tartaglia]] die algebraische Formel für die Lösungen der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]], [[Lodovico Ferrari|Ferrari]] der Gleichung 4. Grades. Die Suche nach weiteren Lösungsformeln höherer Gleichungen fand erst durch die [[Galoistheorie]] im 19. Jahrhundert ein Ende.

=== Entwicklung der Infinitesimalrechnung ===
{{Hauptartikel|Geschichte der Analysis}}[[Datei:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|mini|hochkant=0.6|[[Isaac Newton]]]]
[[Datei:Christoph Bernhard Francke - Bildnis des Philosophen Leibniz (ca. 1695).jpg|mini|hochkant=0.6|links|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]]]]

Das Problem, Tangenten an Kurven ([[Differentialrechnung]]) und Flächen unter Kurven ([[Integralrechnung]]) zu bestimmen, beschäftigte viele Mathematiker des 17. Jahrhunderts, mit wichtigen Beiträgen zum Beispiel von [[Bonaventura Cavalieri]], [[Johannes Kepler]], [[Gilles de Roberval]], [[Pierre de Fermat]], [[Evangelista Torricelli]], René Descartes, [[Isaac Barrow]] (mit Einfluss auf Newton) und [[Christian Huygens]] (der besonders Leibniz beeinflusste).<ref>[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html Calculus History, McTutor]{{Toter Link |datum=2025-10 |url= http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html}}</ref>

Unabhängig voneinander entwickelten [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die [[Infinitesimalrechnung]] und damit den Begriff der [[Differentialrechnung|Ableitung]] und des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung über den [[Fundamentalsatz der Analysis]]. Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte Newton hauptsächlich über Geschwindigkeiten ''(Fluxionen)''. Leibniz gab eine elegantere Formulierung des [[Infinitesimalrechnung|Infinitesimalkalküls]] und begründete die Bezeichnung <math>\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> sowie das [[Integralzeichen]] <math>\textstyle \int</math>. Zwischen den beiden Mathematikern und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit,<ref>Moritz Cantor: ''Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik.'' Band 3, 1901, S. 285–328 ([http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/19848 Digitale Ausgabe] Univ. Heidelberg, 2014).</ref><ref>Thomas Sonar: ''Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton''. Springer Verlag, Berlin 2016.</ref> der sich auch zu einem Gegensatz kontinentaleuropäischer und englischer Mathematik zuspitzte. Der vielseitig, aber eher philosophisch interessierte Leibniz kam zwar in Hinsicht auf mathematische Fähigkeiten nicht an den in persönlicher Hinsicht sehr schwierigen und streitbaren Newton heran (Leibniz hatte zuvor in Briefwechsel mit Newton gestanden, der das so sah, dass er ihm auf diese Weise wesentliche eigene Ergebnisse zukommen ließ, die Newton nicht veröffentlicht hatte, aber unter ausgewählten Mathematikern zirkulieren ließ), erhielt aber Unterstützung durch kontinentaleuropäische Mathematiker, besonders den begabten Mathematikern der Familie [[Bernoulli (Familie)|Bernoulli]] aus der Schweiz.

Gleichzeitig legte [[Isaac Newton]] die Grundlagen der [[Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]] und [[Physik#Theoretische Physik|theoretischen Physik]] in seinem berühmten Hauptwerk ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]''. Er verwendete darin zwar nicht die Sprache der Analysis, sondern formulierte seine Sätze im klassischen geometrischen Stil, den Zeitgenossen war aber klar, dass er sie mit Hilfe der Analysis gewonnen hatte und in dieser Sprache wurden die theoretische Physik und Mechanik dann auch im 18. Jahrhundert ausgebaut.

Von Leibniz wiederum stammen auch Ideen zu einer universalen Algebra, [[Determinante]]n, [[Dualsystem|Binärzahlen]] und eine [[Rechenmaschine]].

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=== Mathematik im 18. Jahrhundert ===
Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden weiter entwickelt, auch wenn die Anforderungen an mathematische Strenge damals noch sehr gering waren, was einige Philosophen wie zum Beispiel [[George Berkeley]] scharf kritisierten. Einer der produktivsten Mathematiker jener Zeit war der Schweizer [[Leonhard Euler]]. Ein Großteil der heute verwendeten „modernen“ Symbolik geht auf Euler zurück. Neben seinen Beiträgen zur Analysis führte er, neben vielen anderen Verbesserungen in der Notation, als erster das Symbol&nbsp;'''i''' als eine Lösung der Gleichung x<sup>2</sup> = −1 ein. Die Vorgeschichte der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ging bis auf Cardano und andere Renaissance-Mathematiker zurück, diese Erweiterung des Zahlbereichs bereitete aber noch lange der Vorstellungskraft der meisten Mathematiker Schwierigkeiten und ihren wirklichen Durchbruch in der Mathematik erzielten sie erst im 19. Jahrhundert, nachdem auch eine geometrische Interpretation als zweidimensionale Vektoren entdeckt wurde ([[Caspar Wessel]] 1799, [[Jean-Robert Argand]], Gauß). Von Euler stammen auch zahlreiche Anwendungen der Mathematik in der Physik und Mechanik.

Außerdem spekulierte Euler darüber, wie eine ''Analysis situs'' aussehen könne, der Beschreibung von Lagebeziehungen von Objekten ohne Verwendung einer Metrik (Längen- und Winkelmessung). Diese Idee wurde später zum Theoriegebäude der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des [[Königsberger Brückenproblem]]s und sein [[Polyedersatz]]. Ein weiterer fundamentaler Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der [[Zahlentheorie]], geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von [[Zeta-Funktion]] und [[Primzahl]]en, die [[Bernhard Riemann]] im 19. Jahrhundert zu einer Grundlage der analytischen Zahlentheorie machte, entdeckte Euler als erster. Weitere Beiträge zur Analysis der Zeit und ihrer Anwendung stammten von den [[Bernoulli (Familie)|Bernoullis]] (insbesondere [[Johann I Bernoulli]], [[Daniel Bernoulli]]), [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] und [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|D’Alembert]], insbesondere dem Ausbau und der Anwendung der Variationsrechnung auf die Lösung vieler Probleme der Mechanik. Ein Zentrum der Entwicklung war Frankreich und Paris, wo nach der Französischen Revolution und unter Napoleon die Mathematik in neu gegründeten Ingenieursschulen (besonders der [[École polytechnique]]) einen großen Aufschwung nahm. Mathematiker wie [[Jakob I Bernoulli]] am Anfang des Jahrhunderts, [[Abraham de Moivre]], Laplace und [[Thomas Bayes]] in England bauten die [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] aus.

Lagrange leistete wichtige Beiträge zur Algebra (quadratische Formen, Gleichungstheorie) und Zahlentheorie, [[Adrien-Marie Legendre]] zu Analysis (Elliptische Funktionen u.&nbsp;a.) und zur Zahlentheorie und [[Gaspard Monge]] zur Darstellenden Geometrie.

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Leonhard Euler.jpg|[[Leonhard Euler]]
Johann Bernoulli.jpg|[[Johann I Bernoulli]]
Jakob Bernoulli.jpeg|[[Jakob I Bernoulli]]
Joseph Fourier.jpg|[[Jean Baptiste Joseph Fourier]]
Joseph-Louis Lagrange.jpeg|[[Joseph-Louis Lagrange]]
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=== Mathematik im 19.&nbsp;Jahrhundert ===
[[Datei:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|mini|[[Augustin-Louis Cauchy]]|255x255px]]
Ab dem 19.&nbsp;Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. [[Augustin-Louis Cauchy]] begründete die <math>\varepsilon</math>-Definition des [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertes]]. Außerdem legte er die Grundlagen der [[Funktionentheorie]]. Der enge Zusammenhang der Entwicklung von Physik und Mechanik und der Analysis des 18. Jahrhunderts blieb bestehen und viele Mathematiker waren gleichzeitig theoretische Physiker, was man damals also noch nicht trennte. Ein Beispiel für den Zusammenhang ist die Entwicklung der [[Fourieranalyse]] durch [[Joseph Fourier]]. Eines der zentralen Themen des 19. Jahrhunderts war die Untersuchung spezieller Funktionen, besonders [[Elliptische Funktion|Elliptischer Funktionen]] und deren Verallgemeinerungen (eine wichtige Rolle spielten hier [[Niels Henrik Abel]] und [[Carl Gustav Jacobi]]) und algebraische Geometrie von Kurven und Flächen mit Verbindungen zur Funktionentheorie (u. a. [[Bernhard Riemann]] mit seiner Idee der [[Riemannsche Fläche|Riemannschen Fläche]], [[Alfred Clebsch]], [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] und die italienische Schule bei algebraischen Flächen). Es wurden eine Fülle von Einzelresultaten auf den verschiedensten Gebieten entdeckt, deren Ordnung und strenge Begründung aber häufig erst im 20. Jahrhundert erfolgen konnte. Ein großes Beschäftigungsfeld von Mathematikern und Quelle für Entwicklungen in der Mathematik blieb wie im 18. Jahrhundert die [[Himmelsmechanik]].

Der jung in der Folge eines Duells getötete Franzose [[Évariste Galois]] verwendete in seiner [[Galoistheorie]] Methoden der [[Gruppentheorie]], um die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu untersuchen, was zum Beweis der allgemeinen Nichtauflösbarkeit von polynomialen Gleichungen (Grad 5 und höher) durch ''Radikale'' (Wurzeloperationen) führte. Dies wurde unabhängig von Niels Henrik Abel gezeigt. Auch mit Hilfe der Galoistheorie wurden einige der [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|klassischen Probleme der Antike]] als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels (das gelang allerdings auch [[Pierre Wantzel]] ohne Galoistheorie). Die Quadratur des Kreises wurde erst durch Beweis der Transzendenz von <math>\pi</math> durch [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinand Lindemann]] erledigt. Es entstanden neue Geometrien, insbesondere die [[Projektive Geometrie]] ([[Jean-Victor Poncelet]], [[Jakob Steiner]], [[Karl von Staudt]]) wurde stark ausgebaut und [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] ordnete diese und andere Geometrien mit Hilfe des Konzepts der Transformationsgruppe ([[Erlanger Programm]]).

Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] (zum Beispiel Galois, [[Arthur Cayley]], [[Camille Jordan]], [[Ferdinand Georg Frobenius]]), [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Ideal (Mathematik)|Idealen]] und [[Körper (Algebra)|Körpern]] (unter anderem Galois, endliche Körper werden nach Galois Galois-Körper genannt) formalisiert, wobei Algebraiker in Deutschland wie [[Richard Dedekind]], [[Leopold Kronecker]] eine wichtige Rolle spielten. Der Norweger [[Sophus Lie]] untersuchte die Eigenschaften von [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]. Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen [[Quantenfeldtheorie]]n beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen. Das Vektorkonzept entstand (unter anderem durch [[Hermann Grassmann]]) und das dazu konkurrierende Konzept der [[Quaternion]]en (durch [[William Rowan Hamilton]]), einem Beispiel der vielen neu entdeckten algebraischen Strukturen, sowie die moderne Theorie der [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] (Lineare Algebra).

[[Datei:Carl Friedrich Gauss.jpg|mini|links|[[Carl Friedrich Gauß]]|206x206px]]
[[Datei:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|miniatur|[[Bernhard Riemann]]|186x186px]]
In [[Göttingen]] wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, [[Carl Friedrich Gauß]] und [[Bernhard Riemann]]. Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die [[Differentialgeometrie]] mit dem Begriff der Krümmung und der weitgehenden Verallgemeinerung in höhere Dimensionen durch Riemann ([[Riemannsche Geometrie]]). Die [[Nichteuklidische Geometrie]] machte die Begrenztheit des jahrhundertelang gelehrten Euklidischen Axiomensystems deutlich und wurde durch [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] und [[János Bolyai]] begründet (ihre Existenz war auch Gauß bekannt, der aber nichts darüber veröffentlichte). Gauß legte mit seinen [[Disquisitiones Arithmeticae]] die Grundlagen der [[Algebraische Zahlentheorie|Algebraischen Zahlentheorie]] und bewies den [[Fundamentalsatz der Algebra]].

In Berlin begründete insbesondere [[Karl Weierstraß]] eine mathematische Schule der strengen Grundlegung der Analysis und der Begründung der Funktionentheorie auf Potenzreihen, während Riemann die geometrische Funktionentheorie begründete und dabei die Rolle der Topologie herausstellte. Die Schülerin von Weierstraß [[Sofja Wassiljewna Kowalewskaja]] war eine der ersten Frauen, die eine prominente Rolle in der Mathematik einnahmen, und die erste Professorin in Mathematik.

[[Georg Cantor]] überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der [[Mengenlehre]]. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts nahm [[Henri Poincaré]] eine führende Rolle in der Mathematik ein, unter anderem gelangen ihm wesentliche Fortschritte in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen, was ihn später zu einem Vorläufer der [[Chaostheorie]] machte.

Die neu gestiegenen Forderungen an die Strenge von Beweisen und Bemühungen um Axiomatisierung von Teilgebieten der Mathematik vertraten etwa [[Richard Dedekind]] bei den reellen Zahlen, [[Giuseppe Peano]] bei den natürlichen Zahlen und [[David Hilbert]] in der Geometrie. Nach Tausenden von Jahren erfuhr die [[Logik]] eine Runderneuerung. [[Gottlob Frege]] erfand die [[Prädikatenlogik]], die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit [[Aristoteles]]. Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der [[Grundlagenkrise der Mathematik]].

Frankreich hatte nach der Französischen Revolution einen großen Aufschwung in der Mathematik erlebt, Deutschland zog Anfang des Jahrhunderts mit der dominierenden Forschungspersönlichkeit von Gauß nach, der allerdings keine Schule bildete und wie Newton die Angewohnheit hatte, selbst wesentliche neue Entdeckungen nicht zu veröffentlichen. Das deutsche System der Forschungsseminare an den Universitäten bildete sich zuerst in Königsberg und war dann zentraler Bestandteil der Lehre in den mathematischen Zentren in Göttingen und Berlin und wirkte dann auch darüber hinaus zum Beispiel in die USA, für die Deutschland in der Mathematik prägend war. Auch in Italien nahm die Mathematik nach der Unabhängigkeit des Landes einen großen Aufschwung, besonders in der algebraischen Geometrie (italienische Schule von [[Francesco Severi (Mathematiker)|Francesco Severi]], [[Guido Castelnuovo]] und [[Federigo Enriques]]) und den Grundlagen der Mathematik (Peano). Großbritannien hatte insbesondere einen Wirkungsschwerpunkt in der theoretischen Physik, ihre mathematischen Schulen neigten aber immer wieder zu Sonderwegen, die sie von Kontinentaleuropa isolierten, so im hartnäckigen Festhalten am Newtonschen Stil der Analysis im 18. Jahrhundert und in der Betonung der Rolle der Quaternionen Ende des 19. Jahrhunderts. Der zuletzt in Göttingen neben Hilbert wirkende, gut vernetzte Felix Klein nahm gegen Ende des Jahrhunderts in Deutschland eine in vieler Hinsicht führende Stellung ein und organisierte ein [[Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften|Enzyklopädieprojekt]] der Mathematik und ihrer Anwendungen, das auch französische Mathematiker einschloss. Die Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 wirkte auf viele französische Mathematiker als Ansporn – wie auf anderen Gebieten auch – um einen vermeintlichen Rückstand zum aufstrebenden deutschen Reich aufzuholen, der zu einer neuen Blüte der französischen Mathematik führte.
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