Quelltext der Seite Parität (Mathematik)

{{Dieser Artikel|befasst sich mit der Parität von Zahlen, für die Parität von Permutationen siehe [[Vorzeichen (Permutation)]].}}
[[Datei:Parity of 5 and 6 Cuisenaire rods.png|mini|[[Cuisenaire-Stäbchen]] zur Veranschaulichung der [[Teilbarkeit]] von fünf und sechs durch zwei]]
Eine [[ganze Zahl]] heißt '''gerade''', wenn sie ohne Rest durch [[zwei]] [[Teilbarkeit|teilbar]] ist; andernfalls heißt sie '''ungerade'''. Die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der ganzen Zahlen wird dadurch in zwei [[Mächtigkeit (Mathematik)|gleichmächtige]] [[disjunkt]]e [[Teilmenge]]n [[Partition (Mengenlehre)|zerlegt]]. Diese '''Parität''' (von [[latein]]isch ''paritas'' „Gleichheit, gleich stark“) ist bei vielen Fragestellungen eine hilfreiche [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] und zählt zu den wichtigen Hilfsmitteln in der [[Elementare Zahlentheorie|elementaren Zahlentheorie]].

== Gerade und ungerade Zahlen ==
=== Definition ===
Eine [[Natürliche Zahl|natürliche]] oder ganze Zahl heißt ''gerade'', wenn sie durch zwei teilbar ist, ansonsten ''ungerade''. Gerade Zahlen werden durch <math>\pm 2k</math> charakterisiert, ungerade Zahlen durch <math>\pm 2k+1</math> für beliebiges <math>k\in \N_0</math>. Dementsprechend wird die [[Null]] als gerade angesehen.

Das heißt, ungerade Zahlen hinterlassen bei [[Division (Mathematik)|Division]] durch 2 stets einen [[Division mit Rest|Rest]] von 1, gerade Zahlen den Rest 0. Sie werden also durch ihre [[prime Restklasse]] [[modulo]] [[Zwei]] charakterisiert. Da <math>(-1)^0=1</math> und <math>(-1)^1=-1</math> gilt, wird die Parität manchmal auch mit positivem oder negativem Vorzeichen symbolisiert, ''siehe auch: [[Paritätsbit]]''. Allerdings ist es falsch, das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von [[Positive und negative Zahlen|positiven und negativen Zahlen]] als Paritätseinteilung zu verstehen.

=== Rechenregeln ===
Die Rechenregeln für Paritäten folgen den Gesetzen des [[Restklassenkörper]]s mit den zwei Elementen Null und Eins. Diese stehen dabei für die entsprechenden Reste [[modulo]] 2 und damit für gerade oder ungerade. Insbesondere erhält [[Quadratzahl|Quadrieren]] die Parität.

{|
|-----
|
''Addition:''
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|-----
| + || '''''0''''' || '''''1'''''
|-----
| '''''0''''' || ''0'' || ''1''
|-----
| '''''1''''' || ''1'' || ''0''
|}
|width="75" | ||
''Multiplikation:''
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|-----
| * || '''''0''''' || '''''1'''''
|-----
| '''''0''''' || ''0'' || ''0''
|-----
| '''''1''''' || ''0'' || ''1''
|}
|}

Im [[Dezimalsystem|Dezimal-]], [[Dualsystem|Binär-]] und allgemein in jedem [[Stellenwertsystem]] mit gerader Basis erkennt man die Parität daran, ob die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

=== Bemerkungen ===
* Die [[Hausnummer]]n in vielen europäischen Städten laufen wechselseitig, so dass gerade und ungerade Nummern je auf einer Straßenseite liegen ([[Hausnummer#Orientierungsnummerierung|Orientierungsnummerierung]]). Die Idee beruht auf der einfacheren Fortführung der Nummerierung bei einer späteren Verlängerung der Straße.
* In vielen europäischen Ländern haben die Nord-Süd-Autobahnen eine ungerade Nummer und die West-Ost-Autobahnen eine gerade.
* Die geraden Zahlen bilden ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] im [[Ringtheorie|Ring]] der ganzen Zahlen, die ungeraden tun dies nicht. Die geraden Zahlen sind die {{OEIS|A005843}}, die ungeraden sind die {{OEIS|A005408}}.
* Im [[Englische Sprache|Englischen]] wird die Zahl 2 manchmal als „the oddest prime“ bezeichnet. Dies ist ein [[Wortspiel]] mit den Bedeutungen ''merkwürdig'' und ''ungerade'' des Wortes ''odd'', denn die [[Primzahl]] 2 ist eine besondere oder merkwürdige (''odd'') Primzahl, da sie als einzige nicht ungerade (''odd'') ist.
* Eine natürliche Zahl <math>n \geq 1</math> kann stets eindeutig als [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] einer (geraden) [[Zweierpotenz]] und einer ungeraden Zahl <math>u</math> geschrieben werden: <math>n= 2^s \cdot u</math>, wobei <math>s \geq 0</math> und <math>u \geq 1</math>
* Jede bisher bekannte [[vollkommene Zahl]] ist gerade. Ob ungerade vollkommene Zahlen überhaupt existieren, ist noch unbekannt.
* [[Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2]] beruht zum großen Teil auf Paritätsvergleichen.
* Wenn man für <math>g</math> eine gerade und für <math>u</math> eine ungerade Zahl einsetzt, gilt <math>(-1)^g=1</math> und <math>(-1)^u=-1</math>.

== Verallgemeinerungen ==
Das Konzept der Parität wird in vielen Bereichen der [[Mathematik]] auch allgemeiner angewandt:

* [[Leonhard Euler|Eulers]] Leistung bei der Lösung des [[Königsberger Brückenproblem]]s liegt in dem abstrakten Ansatz: Hat man erstmal verstanden, wie ein Stadtteil mit Wegen als [[Graphentheorie|Graph]] aufgefasst werden kann, so erkennt man leicht, dass ein [[Eulertour|geschlossener Rundgang]] über alle Wege nur dann existieren kann, wenn an jedem Punkt eine gerade Anzahl von Linien abgeht – denn jeden Punkt, den man verlässt, muss man über einen anderen Weg erreicht haben. Beim Königsberger Problem war dies nicht der Fall; ein geschlossener Weg ist dort nicht möglich. Auch dies zählt zu den klassischen Paritätsargumenten.
* Der Beweis der Unlösbarkeit des originalen [[15-Puzzle]]s wird mit Hilfe einer Parität geführt, die letztendlich auf der [[Vorzeichen (Permutation)|Parität]] von [[Permutation]]en beruht. Mit ihr kann angegeben werden, inwieweit zwei Steine vertauscht sind oder nicht. Der gleiche Ansatz schließt bei dem [[Zauberwürfel]] alle Stellungen aus, bei denen nur zwei Kantensteine oder nur zwei Ecksteine vertauscht wären, bzw. nur ein Kantenstein oder ein Eckstein gedreht ist.
* Die partielle Unterteilung einer Menge von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] in [[gerade und ungerade Funktionen]] kann nur mit Einschränkungen als Parität dienen.
* Die Parität der Ordnung von [[Nullstelle|Null-]] und [[Polstelle]]n liefert einige Informationen, so kommt es bei ungeraden Null- oder Polstellen von [[Reelle Zahl|reellwertigen]] Funktionen stets zu einem [[Vorzeichenwechsel]].
* Um die Parität von anderen mathematischen Objekten angeben zu können, muss mindestens eine sinnvolle [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] existieren, die jedem dieser Objekte eine ganze Zahl zuordnet. Insbesondere muss [[Division mit Rest]] möglich sein, für eine beliebige [[reelle Zahl]] lässt sich beispielsweise keine Parität angeben.

== Siehe auch ==
* [[Boolesche Algebra]] – eine spezielle algebraische Struktur.
* [[Gerade und Ungerade]] – ein einfaches Glücksspiel.
* [[Kongruenz (Zahlentheorie)]]

== Literatur ==
* {{Zedler Online|10|Gerade Zahl|1053|1054}}
* Günter Scheja, Uwe Storch: ''Lehrbuch der Algebra''. Band 1. Vieweg+Teubner Verlag, 1994, ISBN 3-519-12203-0.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Parity |title=Parity}}

{{SORTIERUNG:Paritat}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]