Quelltext der Seite Pauli-Prinzip

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Das '''Pauli-Prinzip''' (auch '''Pauli-Verbot''' oder '''Paulisches Ausschließungsprinzip''') ist ein [[physikalisches Gesetz]], das sich in der [[Quantenphysik]] auswirkt. Es wurde 1925 von [[Wolfgang Pauli]] zur quantentheoretischen Erklärung des [[Elektronenkonfiguration|Aufbaus der Atome]] formuliert und besagte in seiner ursprünglichen Fassung, dass je zwei [[Elektron]]en in einem Atom nicht in allen [[Quantenzahl]]en übereinstimmen können. In der modernen Formulierung besagt das Pauli-Prinzip, dass die [[Wellenfunktion]] eines Quantensystems in Bezug auf Vertauschung von identischen [[Fermion]]en [[Quantenstatistik|antisymmetrisch]] ist. Da auch die [[Quark (Physik)|Quarks]] als Bausteine von [[Proton]]en und [[Neutron]]en zu den Fermionen zählen, gilt das Pauli-Prinzip für die gesamte Materie im allgemein verstandenen Sinne: Identische Fermionen „schließen sich gegenseitig aus“, können also nicht zur selben Zeit am selben Ort (Raumzeitpunkt) existieren. Nur so lässt sich der differenzierte Aufbau der Materie mit Atomen und Molekülen verstehen.<ref name="römpp">{{RömppOnline |Name=Pauli-Prinzip |Abruf=2014-12-28|ID=RD-16-00555}}</ref> Das Pauli-Prinzip bestimmt demnach nicht nur den Aufbau des [[Atom]]s (z.&nbsp;B. im [[Schalenmodell (Atomphysik)|Schalenmodell der Atomhülle]] und des [[Schalenmodell (Kernphysik)|Atomkerns]]), sondern auch den größerer Strukturen. Eine Folge ist der Widerstand, den [[kondensierte Materie]] weiterer Kompression entgegensetzt.<ref name="spektrum">[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/pauli-prinzip/10966? ''Pauli-Prinzip''.] In: ''Lexikon der Physik'', Spektrum.de, abgerufen am 28. Dezember 2014.</ref>

Das Pauli-Prinzip ist nicht zu verwechseln mit dem [[Pauli-Effekt]].

== Vereinfachte Darstellung ==
In der Quantenmechanik sind identische Teilchen ''[[Ununterscheidbare Teilchen|ununterscheidbar]]''. Das bedeutet, dass etwa der Verlauf eines Experiments oder ganz allgemein die Entwicklung eines physikalischen Systems sich nicht ändern, wenn zwei identische Teilchen vertauscht werden. In der Quantentheorie hängen die Messwerte, die ein System erzeugt, vom [[Betragsquadrat]] der Gesamt-Wellenfunktion des Systems ab. Dieses Betragsquadrat muss also nach der Vertauschung zweier identischer Teilchen gleich bleiben – was in diesem Fall bedeutet, dass sich durch die Vertauschung nur der [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Phasenanteil]] der Wellenfunktion ändern darf. In einer Welt mit drei Raumdimensionen kann dieser Phasenfaktor nur <math>+1</math> oder <math>-1</math> sein. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion unter Vertauschung gleich bleibt, heißen [[Boson]]en, Teilchen mit einem Vorzeichenwechsel in der Wellenfunktion heißen [[Fermion]]en. Der Vorzeichenwechsel wird als ''[[Antisymmetrische Funktion|Antisymmetrie]] der Wellenfunktion bezüglich Teilchenvertauschung'' bezeichnet.<ref>Peter W. Atkins: ''Quanten - Begriffe und Konzepte für Chemiker''. VCH, ISBN 3-527-28423-0</ref>

In seiner speziellen und zuerst beobachteten Form besagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung im [[Orbitalmodell]] notwendig sind, übereinstimmen. Wenn zwei Elektronen beispielsweise gleiche Haupt-, Neben- und magnetische Quantenzahlen haben, müssen sie sich in der vierten Quantenzahl, in diesem Fall der Spin-Quantenzahl, unterscheiden. Da diese nur die Werte <math>-\tfrac 1 2</math> und <math>+\tfrac 1 2</math> annehmen kann, können sich in einem einzigen [[Atomorbital]] maximal zwei Elektronen aufhalten. Diese Tatsache bestimmt maßgeblich den Aufbau der chemischen Elemente (siehe [[Periodensystem]]).

Als Berechnungsbeispiel kann die Lösung der [[Schrödingergleichung]] für das einfachste vom Pauli-Prinzip „betroffene“ Atom, das [[Heliumatom]], dienen.

== Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip) ==
=== Formulierung ===
Die [[Wellenfunktion|Gesamtwellenfunktion]] <math>\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2; \dots)</math> eines Systems von <math>n</math> identischen [[Fermion]]en muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung ''P'' zweier Teilchen sein:
:<math>\psi(\vec r_1,s_1;\ldots;\vec r_n,s_n)=-(P \psi)(\vec r_1, s_1;\ldots;\vec r_n,s_n)\,\,.</math>

Dabei ist <math>\vec r_i</math> der Ort, <math>s_i</math> der [[Spin]] des <math>i</math>-ten Fermions und <math>P</math> jeder [[Permutation]]soperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z.&nbsp;B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:
:<math>(P\psi)(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2;\dots) :=\psi (\vec r_2,s_2;\vec r_1,s_1;\dots)\,\,.</math>

=== Anschauliche Deutung ===
Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion
:<math>\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2)=-\psi(\vec r_2,s_2;\vec r_1,s_1).</math>
Für <math>(\vec r_1,s_1)=(\vec r_2,s_2)</math> ergibt sich daraus <math>\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1)=-\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1)</math>, d.&nbsp;h. <math>\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1)=0</math>. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort <math>\vec r_1</math> mit demselben Spin <math>s_1</math> findet, null sein.

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z.&nbsp;B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne [[Spin-Bahn-Kopplung]] stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion <math>\psi</math> als Produkt von Ortswellenfunktion <math>\phi</math> und Spinwellenfunktion <math>\chi</math> darstellbar, also
: <math>\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2)=\phi(\vec r_1,\vec r_2)\chi(s_1,s_2).</math>
Wegen der Antisymmetrie ist dann <math>\phi(\vec r_2,\vec r_1)\chi(s_2,s_1)=-\phi(\vec r_1,\vec r_2)\chi(s_1,s_2)</math>. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also <math>\chi(s_1,s_2) =\chi(s_2,s_1)</math>, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion <math>\phi</math>. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen <math>\phi</math> oder <math>\chi</math> äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist.
Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand <math>s</math>, dann ist <math>\chi(s_1,s_2)=\delta_{ss_1}\delta_{ss_2}</math> symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

=== Gültigkeit ===
In der Natur kommen Teilchen mit [[halbzahlig]]em Spin ([[Fermion]]en) und Teilchen mit ganzzahligem Spin ([[Boson]]en) vor. Das [[Spin-Statistik-Theorem]] liefert die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin der [[Fermi-Dirac-Statistik]] folgen, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin der [[Bose-Einstein-Statistik]] folgen.

Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt für alle [[Teilchen (Physik)|Teilchen]] mit halbzahligem Spin und nur für diese. Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen ''nicht''. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zum [[Bose-Einstein-Kondensat]].

=== Permutations- und Drehverhalten ===
Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen [[Spinor]]en. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von <math>(-1)^{2s}=\mp 1</math>, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (<math>s</math> ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (<math>s</math> halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen&nbsp;1 zum Ort&nbsp;2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen&nbsp;2 zum Ort&nbsp;1 auf dem unteren Halbkreis).

== Konsequenzen ==
Das Pauli-Prinzip führt zur [[Austauschwechselwirkung]] und erklärt die Spinordnung in [[Atom]]en ([[Hundsche Regeln]]) und [[Festkörper]]n ([[Magnetismus]]).

In der Astrophysik wird durch das Pauli-Prinzip erklärt, dass alte Sterne mit Ausnahme der [[Schwarzes Loch|Schwarzen Löcher]] –&nbsp;zum Beispiel [[Weißer Zwerg|Weiße Zwerge]] oder [[Neutronenstern]]e&nbsp;– nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Die Fermionen erzeugen einen Gegendruck, den [[Entartungsdruck]], der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt.

Bei Streuprozessen zweier identischer Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei verschiedene, aber von außen nicht unterscheidbare Möglichkeiten. Dies muss bei der theoretischen Berechnung von [[Wirkungsquerschnitt]] und [[Streutheorie|Streuwellenfunktion]] berücksichtigt werden.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Atomphysik|Quantenphysik}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenphysik|Pauliprinzip]]
[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Kernphysik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]