Quelltext der Seite Polynom

[[poly-|poly]][[-nom]] eigtl. [[poly-]]''[[nominal]]'' "mehr-namig"

Das Wort ''Polynom'' bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. [[πολύ]] ''[[polý]]'' „viel“ und όνομα ''[[ónoma|onoma]]'' „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf [[Elemente (Euklid)|Euklids Elemente]]. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe <math>a+b</math> ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo [[onomátōn]]): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung ''Polynom'' geht auf [[François Viète|Viëta]] zurück: In seiner ''Isagoge'' (1591) verwendet er den Ausdruck ''polynomia magnitudo'' für eine mehrgliedrige Größe.<ref>cf. Barth, Federle, Haller: ''Algebra 1.'' Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“</ref>
----[325] '''Polynom'''<ref>Quelle: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 325.

Permalink: <nowiki>http://www.zeno.org/nid/20010663223</nowiki>

Lizenz: Gemeinfrei Faksimiles: 325 Kategorien: Lexikalischer Artikel</ref> (v. gr.), eine vieltheilige Größe, eine aus mehren Gliedern durch Addition u. Subtraction zusammengesetzte Buchstabengröße. Daher '''Polynomischer Lehrsatz''', die analytische Formel, welche die Entwickelung einer Potenz eines Polynoms in einzelne Glieder darstellt, welche letztere in Producten der Theile des Polynoms mit Polynomalcoësficienten bestehen (s.d.). Der Polynom ist entweder ein bloßes Aggregat von Theilen (auch von subtractiven), ohne ein Gesetz der Folge, wie die Reihe

a, b, c, d, e, f etc.

od. die Theile sind nach den Potenzen einer in ihnen als Factor enthaltenen gemeinschaftlichen Größe geordnet, auf ähnliche Art, wie die Theile einer Zahl in der dekadischen Fortschreitung, als in der Reihe

a, bz, cz<sup>2</sup>, dz<sup>3</sup>, ez<sup>4</sup>, fz<sup>5</sup> etc.

od. allgemeiner

az<sup>n,</sup>bz<sup>n + r,</sup>cz<sup>n + 2r,</sup>dz<sup>n + 3r</sup> etc.

wo a, b, c, d etc. bestimmte Größen sind, z aber unbestimmt u. veränderlich gelassen wird. Die Potenz leitet man entweder aus dem Binomischen Lehrsatze (s.d.) her, od. gründet sie unmittetbar auf die Multiplication gleicher Factoren u. die Combinationslehre. Leibnitz erfand die erste Form des P-n L-s; I. Bernouilli, Moivre, Cheyne, Colsen, bes. Euler, haben mehre Formen aufgestellt; bes. aber hat sich Hindenburg um denselben verdient gemacht. Vgl. C. F. Hindenburg, Sammlung combinatorisch-analytischer Abhandlungen, Lpz. 1796 u. 1800, 2 Sammlungen.
----Ein '''Polynom''' ist ein [[Algebra|algebraischer]] [[Term]], der sich als Summe von Vielfachen von [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] einer [[Variable (Mathematik)|Variablen]] bzw. [[Unbestimmte]]n darstellen lässt:
:<math>
P(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_nx^n , \quad n \in \N_0
</math>
oder kurz mit dem [[Summenzeichen]]:
:<math>
P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i, \quad n \in \N_0.
</math>
Dabei ist <math>\textstyle \sum</math> das Summenzeichen, die Zahlen <math>a_i</math> sind die Koeffizienten (das können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigen [[Ring (Algebra)|Ring]] sein) und <math>x</math> ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind [[natürliche Zahl]]en. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen [[Formale Potenzreihe|formale Potenzreihen]].

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige [[Liste spezieller Polynome|spezielle Polynome]].

In der [[Elementare Algebra|elementaren Algebra]] identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in <math>x</math> (einer [[Polynomfunktion]]). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines [[Polynomring]]s. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als [[ganzrationale Funktion]] bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: ''Leitkoeffizient,'' ''Normieren'' eines Polynoms und ''Absolutglied''.

== Polynome in der elementaren Algebra ==
[[Datei:Polynomialdeg5.svg|mini|Graph einer Polynomfunktion 5. Grades]]

{{Hauptartikel|Polynomfunktion}}
Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.

=== Definition ===
In der [[Elementare Algebra|elementaren Algebra]] ist eine ''Polynomfunktion'' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>P</math>, die durch einen Ausdruck der Form
:<math>P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n </math>

mit <math>n \in \N_0</math> gegeben ist, wobei als [[Definitionsbereich]] jede beliebige {{nowrap|<math>R</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]]}} in Frage kommt, wenn <math>R</math> der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen]], der [[Reelle Zahlen|reellen]] oder der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]. Die <math>a_i</math> stammen aus einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math>, zum Beispiel einem [[Körper (Algebra)|Körper]] oder einem [[Restklassenring]], und werden ''[[Koeffizient]]en'' genannt.

* Alle [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] sind [[natürliche Zahl]]en.
{{Anker|Leitkoeffizient}}
* Als [[Grad (Polynom)|Grad]] des Polynoms wird der höchste [[Exponent (Mathematik)|Exponent]] <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> bezeichnet, für den der Koeffizient <math>a_i</math> des [[Monom]]s <math>a_i x^i</math> nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt '''Leitkoeffizient''' (auch: ''führender Koeffizient''). (Die Schreibweise <math>\deg f</math> für den Grad des Polynoms <math>f</math> ist vom englischen Begriff ''{{lang|en|degree}}'' abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise <math>\mathrm{grad}\,f</math> oder <math>\mathrm{Grad}\,f</math>.)
* Das '''reverse Polynom''' zu <math>\textstyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i; \; a_0, a_n \neq 0</math> ist <math>\textstyle P_\text{rev}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n-i}x^i = a_n + a_{n-1}x+ a_{n-2}x^2 + \dotsb + a_1x^{n-1} + a_0x^n </math>.<ref>[https://www3.math.tu-berlin.de/algebra/teaching/15-ws/algebra1/exercise-11.pdf math.tu-berlin.de] Prof. Bürgisser / Dr. Lairez / P. Breiding, TU Berlin, Institut für Mathematik, Fakultät II, Algebra I, WS 2015/2016, Blatt 11, Aufgabe 2, Bemerkung, abgerufen am 8. April 2023</ref>
* Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen (aber endlichen) Grades ist ein [[Vektorraum]], der sich nicht offensichtlich mittels [[Vektor#Geometrie|geometrischer Vorstellungen]] veranschaulichen lässt.
* Für das '''Nullpolynom''', bei dem alle <math>a_i</math> Null sind, wird der Grad als <math>-\infty</math> definiert.<ref>Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe [[Division mit Rest#Polynome|Division mit Rest]].</ref>
* Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom ''normiert'' oder auch ''monisch''.
* Sind die Koeffizienten [[Teilerfremdheit|teilerfremd]], bzw. ist der [[Inhalt (Polynom)|Inhalt]] 1, dann heißt das Polynom ''primitiv.''

Der Koeffizient <math>a_0</math> heißt ''Absolutglied.'' <math>a_1x</math> wird als ''lineares Glied'' bezeichnet, <math>a_2x^2</math> als ''quadratisches Glied'' und <math>a_3x^3</math> als ''kubisches.''

=== Einfaches Beispiel ===
Durch

:<math>P(x) := 9x^3 + x^2 + 7x - 3{,}8</math>

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist <math>3</math>). In diesem Beispiel ist <math>9</math> der ''Leitkoeffizient'' (als Faktor vor der höchsten Potenz von <math>x</math>), die weiteren Koeffizienten lauten <math>1, 7</math> und <math>-3{,}8.</math>

=== Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen ===

Polynome des Grades
* 0 werden ''[[konstante Funktion]]en'' genannt (z.&nbsp;B. <math> P(x) = -1 </math>).
* 1 werden ''[[lineare Funktion]]en'' oder genauer ''affin lineare Funktionen'' genannt (z.&nbsp;B. <math> P(x) = 3x + 5 </math>).
* 2 werden ''[[quadratische Funktion]]en'' genannt (z.&nbsp;B. <math> P(x) = -3x^2-4x + 1 </math>).
* 3 werden ''[[kubische Funktion]]en'' genannt (z.&nbsp;B. <math> P(x) = 4x^3-2x^2+7x + 2 </math>).
* 4 werden ''[[Polynom 4. Grades|quartische Funktionen]]'' genannt (z.&nbsp;B. <math> P(x) = 6x^4-x^3+4x^2+2x+2 </math>).

{{Anker|Nullstelle}} <!-- wegen Verweis von „Wurzel“ -->
=== Nullstellen ===
Als ''[[Nullstelle]]n'' einer Polynomfunktion oder ''Wurzeln'' bzw. ''[[Lösung (Mathematik)|Lösungen]]'' einer Polynomgleichung werden jene Werte von <math>x</math> bezeichnet, für die der Funktionswert <math>P(x)</math> null ist, das heißt, die die Gleichung <math>P(x)=0</math> erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einem [[Integritätsring]]) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Weiterhin besagt der [[Fundamentalsatz der Algebra]], dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mit [[Komplexe Zahl|komplexen]] Koeffizienten) vom Grad <math>n \ge 1</math> mindestens eine [[Komplexe Zahlen|komplexe]] Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau <math>n</math> Nullstellen ([[Polynomdivision]]), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer ''Vielfachheit'' gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle <math>x=2</math> der Polynomfunktion <math>(x-2)^2</math> eine ''doppelte''. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] von [[Linearfaktor]]en zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper <math>K</math> eine [[Algebraische Erweiterung|algebraische Körpererweiterung]] <math>L</math> finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in <math>K</math> als Polynome über <math>L</math> in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man <math>L</math> den [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] von <math>K</math>.

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch die [[pq-Formel]] für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von [[Wurzelzeichen]] exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage des [[Satz von Abel-Ruffini|Satzes von Abel-Ruffini]].

== Polynome in der abstrakten Algebra ==
{{Hauptartikel|Polynomring}}

=== Definition ===
In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes <math>R[X]</math>. Dieser wiederum ist die [[Adjunktion (Algebra)|Erweiterung]] des Koeffizientenringes <math>R</math> durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element <math>X</math>. Damit enthält <math>R[X]</math> die Potenzen <math>X^n</math> (<math>n\in\N</math>) und deren Linearkombinationen <math>\textstyle a_0+\sum_{k=1}^n a_k X^k</math> mit <math>a_k\in R</math>. Dies sind auch schon alle Elemente, d.&nbsp;h., jedes Polynom ist eindeutig durch die [[Folge (Mathematik)|Folge]]
:<math>(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)\in R\times R\times R\times\dots</math>
seiner Koeffizienten charakterisiert.

=== Konstruktion ===
Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings <math>R[X]</math> durch die Menge der endlichen Folgen in <math>R\times R\times R\times\dots</math> konstruiert werden. Dazu wird auf <math>R[X]</math> eine Addition „<math>+</math>“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „<math>\cdot</math>“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also <math>a=(a_n)_{n\in \N_0}</math> und <math>b=(b_n)_{n\in \N_0}</math>, so ist
:<math>a+b:=(a_n+b_n)_{n\in \N_0}</math>
und
:<math> a\cdot b:=\left(\sum_{i=0}^{n} a_ib_{n-i}\right)_{n\in \N_0}=\left(\sum_{i+j=n} a_ib_j\right)_{n\in \N_0},</math>
<math>R[X]</math> mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der [[Polynomring]] (in einer Unbestimmten) über <math>R</math>.

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge <math>X:=(0,1,0,0,\dotsc)</math>, so dass <math>X^2=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc)</math>, <math>X^3=X^2\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc)</math> etc., so kann jede Folge <math>(a_0,a_1,a_2,\dotsc)\in R[X]</math> wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als
:<math>(a_0,a_1,a_2,\dotsc)
= a_0 + a_1\cdot X + a_2\cdot X^2 + \dotsb = a_0+\sum_{n\in\N_{>0}} a_n\cdot X^n.</math>

=== Zusammenhang mit der analytischen Definition ===
Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl <math>n\in \N_0</math> existiert, so dass <math>a_i=0</math> für alle <math>i>n</math> gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom <math>f\in R[X]</math> über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als <math>f=a_0 + a_1\cdot X + \dotsb + a_n\cdot X^n</math>. Dabei ist <math>f</math> jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes <math>R[X]</math>) und <math>X</math> ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge <math>(0,1,0,0,\dotsc)</math>. Man kann jedoch <math>f</math> als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d.&nbsp;h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten [[Satz über den Einsetzungshomomorphismus|Einsetzungshomomorphismus]].

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise <math>R</math> der [[Restklassenring]] <math>\mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}</math>, so induzieren die Polynome <math>f,g \in (\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]</math>
:<math>f=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X</math>
und
: das Nullpolynom <math>g=0</math>
beide die [[Nullabbildung]] <math>0\in \operatorname{Abb}\left(\mathbb Z/3\mathbb Z,\mathbb Z/3\mathbb Z\right)</math>, das heißt: <math>f(x)=g(x)=\bar 0=0(x)</math> für alle <math>x\in\mathbb Z/3\mathbb Z.</math>

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen [[Integritätsring]] ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in <math>R</math> bildet einen Ring ([[Unterring]] des [[Funktionenring]]s), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-[[Homomorphismus]] von <math>R[X]</math> in den Ring der Polynomfunktionen, dessen [[Kern (Algebra)|Kern]] die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

== Verallgemeinerungen ==
=== {{Anker|multivariates Polynom}} Polynome in mehreren Unbestimmten ===
Allgemein versteht man jede Summe von [[Monom]]en der Form <math>a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math> als [[multivariat]]es Polynom (in mehreren Unbestimmten):
:<math>P(X_1, \dotsc, X_n) = \sum_{i_1,\dotsc,i_n}a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math>
: <small>Lies: ''„Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“''</small>

Durch eine [[Monomordnung]] ist es möglich, die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie ''Leitkoeffizient'' zu verallgemeinern.

Die Größe <math>i_1+\dotsb+i_n</math> heißt der ''Totalgrad'' eines Monoms <math>X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math>. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es [[Homogenes Polynom|homogen]]. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der ''Grad des Polynoms.''

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades ist<ref name="Kunz">Ernst Kunz: ''Einführung in die algebraische Geometrie.'' S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.</ref>

: [[Binomialkoeffizient|<math>\binom{n+k-1}{k},</math>]]
: <small>Lies: ''[[Binomialkoeffizient|„n + k − 1 über k“]]'' oder ''[[Binomialkoeffizient|„k aus n + k − 1“]]''</small>
wobei <math>n</math> die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und <math>k</math> der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades <math>0</math> bis <math>k</math>, erhält man für die Anzahl der ''möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades'':
: [[Binomialkoeffizient|<math>\binom{n+k}{k}</math>]]
: <small>Lies: ''[[Binomialkoeffizient|„n + k über k“]]'' oder ''[[Binomialkoeffizient|„k aus n + k“]]''</small>

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom [[Symmetrisches Polynom|symmetrisch]]. Gemeint ist, dass das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den <math>n</math> Unbestimmten <math>X_1, \dotsc, X_n</math>über dem Ring <math>R</math> bilden einen Polynomring, geschrieben als <math>R[X_1, \dotsc, X_n]</math>.

=== Formale Potenzreihen ===
Geht man zu [[Unendliche Reihe|unendlichen Reihen]] der Form
:<math>f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>
: <small>Lies: ''„f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“''</small>
über, erhält man [[formale Potenzreihe]]n.

=== Laurent-Polynome und Laurent-Reihen ===
Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein [[Laurent-Polynom]]. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale [[Laurent-Reihe]]n betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form
:<math> f = \sum_{i=-N}^\infty a_i X^i.</math><br /><small>Lies: ''„f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“''</small>

=== Posynomialfunktionen ===
Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der [[Posynomialfunktion]].

== Literatur ==
* Albrecht Beutelspacher: ''Lineare Algebra.'' 8. Auflage, ISBN 978-3-658-02413-0, {{DOI|10.1007/978-3-658-02413-0}}
* Michael Holz & Detlef Wille: ''Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2'', ISBN 978-3-923923-42-7
* Gerd Fischer: ''Lehrbuch der Algebra'', ISBN 978-3-658-02221-1, {{DOI|10.1007/978-3-658-02221-1}}

== Weblinks ==
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]
{{Wiktionary}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/nullstellen.htm Java-Applet] zur Berechnung der (auch komplexen) Nullstellen von Polynomen maximal 24. Grades (nach dem [[Newton-Verfahren]])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polynom| ]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]