Quelltext der Seite Rotation (Physik)

[[Rotation]] ([[Physik]]) vergl. [[Translationsbewegung]]

== Parameter der Rotation ==
Eine endliche Rotation ist eindeutig durch die Angabe eines Fixpunkts und eines Vektors charakterisiert, der parallel zur Rotationsachse liegt und durch seine Länge den Drehwinkel angibt. Im Falle einer fortschreitenden Rotationsbewegung ist dieser Vektor die Winkelgeschwindigkeit. Die Rotation um einen bestimmten Punkt eines festgehaltenen Bezugssystems kann daher durch die drei Komponenten des zugehörigen Vektors beschrieben werden. Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der drei [[Eulerwinkel]].


'''Rotation''', auch '''Rotationsbewegung''', '''Drehung''', '''Drehbewegung''' oder '''Gyralbewegung''', ist in der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] eine [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] um eine [[Rotationsachse]]. Der Begriff Rotation wird sowohl für eine einmalige Drehung um einen bestimmten [[Winkel]] gebraucht als auch für eine fortlaufende Bewegung mit einer bestimmten [[Winkelgeschwindigkeit]]. Die Rotationsachse kann, muss aber nicht durch den [[Massenmittelpunkt|Massenmittelpunkt/Schwerpunkt]] des Körpers gehen. Wenn die Rotationsachse durch den [[Massenmittelpunkt]] des Körpers verläuft, nennt man sie auch '''[[Eigenrotation]]'''. Ein weiterer Spezialfall der Rotation eines Körpers ist die [[gleichmäßige Kreisbewegung]].

Der Begriff gehört in der [[Physik]] zu den Teilgebieten [[Mechanik]] und [[Kinematik]]. In der [[Astronomie]] tritt er unter anderem im Zusammenhang mit den Veränderungen der [[Erdrotation]] und den Bewegungen von anderen Objekten wie von [[Sternrotation|Sternen]] bis hin zu [[Galaxie]]n auf. Anwendungen aus dem Alltag und Beispiele, die oft zur anschaulichen Erklärung der mit der Rotation verbundenen Erscheinungen genutzt werden, sind der [[Kreisel]] und das [[Karussell]].

Bei der Rotation bleiben alle Punkte der Rotationsachse an ihrem Ort ([[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]]), während alle anderen Punkte sich in festem Abstand von der Achse auf einem senkrecht zur Achse liegenden Kreis um denselben Winkel bzw. mit derselben Winkelgeschwindigkeit um sie herum bewegen. Daher bleiben auch die Längen der Verbindungslinien je zweier Punkte des Objekts und die Winkel dazwischen gleich.
[[Datei:3 rotating rings.gif|mini|Rotierende Ringe]]

== Parameter der Rotation ==
Eine endliche Rotation ist eindeutig durch die Angabe eines Fixpunkts und eines Vektors charakterisiert, der parallel zur Rotationsachse liegt und durch seine Länge den Drehwinkel angibt. Im Falle einer fortschreitenden Rotationsbewegung ist dieser Vektor die Winkelgeschwindigkeit. Die Rotation um einen bestimmten Punkt eines festgehaltenen Bezugssystems kann daher durch die drei Komponenten des zugehörigen Vektors beschrieben werden. Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der drei [[Eulerwinkel]].

== Vergleich mit der Translationsbewegung ==
Die folgende Tabelle vergleicht die charakteristischen [[Physikalische Größe|Größen]] und die [[Bewegungsgleichung]]en bei einer ''[[Translationsbewegung]]'' mit jenen bei einer ''Rotationsbewegung''. Aufgrund der Analogien lässt sich jeder Satz über die Translation durch Ersetzen der entsprechenden Größen in einen Satz über die Rotation umwandeln.<ref>Hans Schmiedel, Johannes Süss: ''Physik für technische Berufe.'' 16., verb. Auflage. Büchner, Hamburg 1963, {{DNB|453769446}}, S.&nbsp;74.</ref>

{| class="wikitable"
! class="hintergrundfarbe6" width="50%" | Translationsbewegung
! class="hintergrundfarbe6" width="50%" | Rotationsbewegung
|-
| [[Ortsvektor]]: <math>\vec r</math>
| Drehwinkel <math>\varphi</math> bzw. [[Drehmatrix]]: <math>A</math>
|-
| [[Geschwindigkeit]]: <math>\vec v=\dot{\vec r}</math>{{FN|(1)}}
| [[Winkelgeschwindigkeit]]: <math>\vec \omega = \dot\psi \vec{\mathbf{u}}_1
      +\dot\theta \vec{\mathbf{u}}_2
      +\dot\phi \vec{\mathbf{u}}_3</math>{{FN|(3)}}
|-
| [[Beschleunigung]]: <math>\vec a=\dot{\vec v}=\ddot{\vec r}</math>
| [[Winkelbeschleunigung]]: <math>\vec\alpha=\dot{\vec\omega}</math>
|-
| [[Masse (Physik)|Masse]]: <math>\ m</math> ([[Skalar (Physik)|Skalar]])
| [[Trägheitstensor]]: <math>\mathbf{ \Theta}</math> ([[Tensor]] zweiter Stufe, in Sonderfällen Skalar <math>I</math>){{FN|(2)}}
|-
| [[Kraft]]: <math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>
| [[Drehmoment]]: <math>\vec M =\vec r \times \vec F</math>
|-
| [[Impuls (Mechanik)|Impuls]]: <math>\vec p = m \, \vec v</math>
| [[Drehimpuls]]{{FN|(2)}}: <math>\vec L = \mathbf{\Theta} \vec\omega</math>
|-
| Antrieb (linear) / [[Kraftstoß]]: <math>\Delta \vec{p} = \int \vec{F} \mathrm{d} t</math>
| Antrieb (Rotation) / [[Drehstoß]]: <math>\Delta \vec{L} = \int \vec M \mathrm{dt}</math>
|-
| [[Kinetische Energie]]: <math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \, \vec{v}^2 \equiv \frac{1}{2} \vec{v}\cdot\vec{p}</math>
| [[Rotationsenergie]]: <math>E_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} \vec\omega\cdot\mathbf{\Theta} \vec\omega</math>
|-
| [[Arbeit (Physik)|Arbeit]]: <math>W=\int \vec F \cdot \mathrm d \vec s = \int \vec F \cdot \vec v \ \mathrm dt </math>
| Arbeit bei Drehbewegung (Dreharbeit): <math>W=\int \vec M \cdot \mathrm d \vec \varphi =\int \vec M \cdot \vec \omega \ \mathrm d t</math>
|-
| [[Leistung (Physik)|Leistung]]: <math>P = \dot{W} = \vec F \cdot \frac{\mathrm d \vec s}{\mathrm d t} = \vec F \cdot \vec v</math>
| Leistung bei Drehbewegung (Drehleistung): <math>P = \dot{W} = \vec M \cdot \vec \omega</math>
|-
| class="hintergrundfarbe8" align="center" colspan="2" | [[Bewegungsgleichung]]en
|-
| Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft (''[[Zweites newtonsches Gesetz|Impulssatz]]''):
<math>\dot{\vec p} = \vec F</math>
| Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft (''[[Drallsatz]]''):
<math>\dot{\vec L} = \vec M</math>
|-
|Im Falle konstanter Masse <math>m</math> (''[[Zweites newtonsches Axiom]]''):
<math>m \, \vec a = \vec F</math>
|Im Falle konstanten [[Trägheitsmoment]]s <math>I</math>:{{FN|(2)}}
<math>I \vec\alpha = \vec M</math>
|}
{{FNBox|
{{FNZ|(1)|Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren zeitliche Änderung ([[Differentialrechnung|Ableitung]] <math>\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}</math>) handelt. Der Punkt zwischen zwei Vektoren bedeutet das Skalarprodukt.}}
{{FNZ|(2)|Im Allgemeinen zeigen <math>\vec\omega</math> und <math>\vec L = \mathbf{\Theta} \vec\omega</math> nicht in die gleiche Richtung (ein rotierender Körper „eiert“ oder zeigt [[Unwucht]]), daher ist das [[Trägheitsmoment]] im Allgemeinen nicht konstant. Das Äquivalent zur Masse der Translationsbewegung ist daher ein [[Tensor]] 2.&nbsp;Stufe – der [[Trägheitstensor]]. Ein konstantes Trägheitsmoment tritt genau dann auf, wenn der Körper um eine seiner [[Hauptträgheitsachse]]n rotiert.}}
{{FNZ|(3)|Ausgedrückt in den Ableitungen der [[Eulersche Winkel|Eulerwinkel]]. <math>\vec{\mathbf{u}}_i</math> Drehachsen (Einheitsvektoren).}}
}}

== Rotation starrer Körper ==
{{Hauptartikel| Kreiseltheorie}}
Um die Orientierung eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] im Raum eindeutig zu beschreiben, sind drei skalare (Winkel-)Angaben notwendig. Zwei davon geben nur die Richtung seiner Rotationsachse an, die dritte, wie weit der Körper um diese Achse gedreht wurde.

Bei der Rotationsbewegung eines [[starrer Körper|starren Körpes]] gibt es bei freier Drehbewegung mindestens zwei stabile Drehachsen (Moment-freie Achse) durch den Massenmittelpunkt: die Hauptträgheitsachse mit dem kleinsten oder dem größten Trägheitsmoment ist stabil. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden, ist die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment in einem labilen Zustand, weil kleinste Störungen zu starken Torkelbewegungen führen (siehe z.&nbsp;B. [[Dschanibekow-Effekt]]).

Versucht man, einen starren Körper um eine andere Achse rotieren zu lassen als eine seiner Hauptträgheitsachsen, so entstehen Momente, die ihn dazu bringen wollen, seine momentane Rotationsachse zu verändern. Wird die Achse nicht durch Lager, die [[Drehmoment]]e auf sie ausüben, festgehalten, gerät der Körper ins Taumeln.

Bei einer kräftefreien freien Rotation bleibt der Drehimpuls erhalten, der im Allgemeinen nicht [[Kollinearität| kollinear]] mit der Winkelgeschwindigkeit ist. Somit ändert sich dann laufend die Drehachse, was [[umgangssprachlich]] als „Torkeln“ oder „Eiern“ bezeichnet wird, technisch und wissenschaftlich – je nach Art der Achsenbewegung – als ''Taumeln'' der [[Rotationsachse]] oder als ''[[Taumelfehler|sekundärer]] Achsfehler'', ''[[Präzession]]'' oder ''[[Nutation (Physik)|Nutation]]''.

Unabhängig von anderen Einflüssen ist jeder Kreisel quasi-integrabel, bei dem entweder sehr wenig oder sehr viel Energie (im Vergleich zur potentiellen Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt) in der Rotation steckt. Die chaotischsten Bewegungen bei den nicht integrablen Typen treten unabhängig von der Form dann auf, wenn die kinetische Energie des Kreisels gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen. Die genauere Behandlung erfolgt mit Hilfe der [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|eulerschen Kreiselgleichungen]], für nähere Erklärungen siehe den Hauptartikel oder dort.

In den folgenden Spezialfällen lassen sich die eulerschen Kreiselgleichungen analytisch lösen. Die [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] des Systems, insbesondere die Winkelgeschwindigkeiten, haben hier einen periodischen Verlauf.

=== Fall von Euler ===
Der Fall von [[Leonhard Euler|Euler]] beschreibt einen Kreisel, der genau in seinem [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] aufgehängt ist. Unabhängig von der Form des Kreisels ist der Fall [[integrabel]], da es mehr [[Erhaltungsgröße]]n als [[Freiheitsgrad]]e gibt: die [[Energie]] und die [[Drehimpuls]]e bezüglich aller drei Raumrichtungen im Inertialsystem.

Ist die [[Masse (Physik)|Masse]] des rotierenden Körpers rings um die [[Drehung]]sachse [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] verteilt, so wirken auf die Achse keinerlei aus der Rotation entspringende [[Kraft|Kräfte]], da ja die Schwungkraft ([[Zentrifuge|Zentrifugalkraft]]) eines jeden Massenteilchens durch eine gleiche und entgegengesetzte aufgehoben wird; eine solche Achse wird eine freie Achse oder Hauptträgheitsachse genannt. Erfolgt die Drehung jedoch nicht um eine freie Achse, dann entstehen – auch im symmetrischen Körper – Momente von Zentrifugalkräften die im [[Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)| dynamischen Gleichgewicht]] mit Momenten der [[Euler-Kraft| Euler-Kräfte]] sind, die Ausdruck der Bewegung der Drehachse sind.

Der eulersche Kreisel findet z.&nbsp;B. in [[Kreiselkompass]]en und [[gyroskop]]ischen Steuersystemen technische Anwendung.

=== Fall von Lagrange ===
Im Fall von [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] wird die Übereinstimmung der Trägheitsmomente bezüglich zweier Hauptachsen angenommen. Dies wird beispielsweise von [[Radialsymmetrie|radialsymmetrischen]] Körpern erfüllt. In diesem Fall gibt es drei physikalische Erhaltungsgrößen: die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls bezüglich der z-Achse (in Richtung des Kraftfeldes). Relativ zum rotierenden Körper ändert sich laufend die Richtung des Kraftfeldes, aber der Richtungsvektor hat immer dieselbe Länge: Dies definiert eine vierte, rein geometrische Erhaltungsgröße, die bei der Beschreibung der Bewegung im Kraftfeld auftritt.

Da jedes um eine freie Achse rotierende Massenteilchen der [[Trägheit]] folgend in seiner zur Achse senkrechten Drehungsebene zu verharren strebt, muss auch die freie Achse selbst die Tendenz zeigen, ihre [[Richtung]] im Raum zu bewahren und wird so einer [[Kraft]], die sie aus dieser Richtung bringen will, einen umso größeren [[Trägheitskraft|Widerstand]] entgegensetzen, je größer das [[Trägheitsmoment]] und die [[Winkelgeschwindigkeit]] des rotierenden Körpers sind. Daher kommt es, dass ein hinlänglich rasch rotierender [[Kreisel]] nicht umfällt, selbst wenn seine Achse schief steht, wie auch [[Rad|Räder]], [[Münze]]n etc. nicht umfallen, wenn man sie auf ihrem Rand [[rollen]] oder um den [[Lotrichtung|vertikalen]] [[Durchmesser]] „tanzen“ lässt.

Die Wirkung der störenden Kraft auf den Kreisel äußert sich vielmehr dadurch, dass dessen Achse in einer zur Richtung der störenden Kraft senkrechten Richtung ausweicht und in langsamer Bewegung die Oberfläche eines [[Kegel (Geometrie)|Kegels]] beschreibt, ohne dass die Achse ihre Neigung gegen die horizontale Ebene ändert. Diese Bewegung wird als ''[[Nutation (Physik)| Nutation]]'' bezeichnet.

Der Fall von Lagrange wird durch einen typischen [[Spielzeugkreisel]] realisiert, wenn man dessen Aufsetzpunkt am Boden fixiert. Auch die Räder von [[Fahrrad|Fahrrädern]] und [[Motorrad|Motorrädern]] verhalten sich wie Kreisel im Schwerefeld und dienen neben der Spurführung des Fahrzeugs durch ihr Bestreben, den Drehimpuls dem Moment der [[Gewichtskraft]] anzugleichen, zur Stabilisierung des Fahrzeugs. Siehe hierzu auch: [[Fahrradfahren]].

=== Fall von Kowalewskaja ===
Der [[Kowalewskaja-Kreisel]], benannt nach [[Sofja Kowalewskaja]], hat bezüglich zweier seiner Hauptachsen gleiche Trägheitsmomente und ein genau halb so großes bezüglich der dritten Hauptachse. Die physikalischen Erhaltungsgrößen sind die Energie, der Gesamtdrehimpuls und ein komplexer mathematischer Ausdruck, für den es keine allgemeinverständliche Entsprechung gibt.

=== Fall von Goryachew-Chaplygin ===
Der Fall von [[Dmitri Nikanorowitsch Gorjatschew]] (Goryachev) und [[Sergei Alexejewitsch Tschaplygin|Tschaplygin]] (Chaplygin)<ref>A. I. Bobenko, V. B. Kuznetsov: ''Lax representation and new formulae for the Goryachev-Chaplygin top.'' In: ''[[Journal of Physics#Journal of Physics A|Journal of Physics A: Mathematical and General]].'' Vol. 21, Nr. 9, [[doi:10.1088/0305-4470/21/9/016]] (theoretische Untersuchung des Falls von Goryachew-Chaplygin).</ref> ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles, der statt halb so großem dritten Trägheitsmoment ein ein viertel so großes fordert. In diesem Fall gibt es allerdings nur dann eine dritte physikalische Erhaltungsgröße, wenn der Drehimpuls in Richtung des Kraftfeldes anfänglich verschwindet. Diese Drehimpulskomponente ist eine Erhaltungsgröße und in diesem Fall daher dauerhaft null.

== Siehe auch ==
* [[Rotierende Bewegung in lebenden Systemen]]

== Literatur ==
* Peter Brosche, Helmut Lenhardt: ''Die Polbewegung aus den Beobachtungen von F.&nbsp;W. Bessel 1842–1844.'' In: ''[[zfv – Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement]]'' Hrsg.: [[Deutscher Verein für Vermessungswesen|DVW e.&nbsp;V.]], 136. Jg., Heft 6/2011. Wißner-Verlag, Augsburg 2011, {{ISSN|1618-8950}}, S.&nbsp;329–337 (über Erdrotation; [https://geodaesie.info/images/zfv/136-jahrgang-2011/downloads/zfv_2011_6_Brosche_Lenhardt.pdf geodaesie.info] [PDF; 1,5&nbsp;MB]).
* Peter Brosche, Helmut Lenhardt: ''Die Polbewegung aus den Beobachtungen von F.&nbsp;W. Bessel 1842–1844. Korrekturen und Ergänzungen zu zfv 6/2011, 136. Jg., S. 329–337.'' In: ''zfv – Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement.'' 137. Jg., Heft 4/2012, {{ISSN|1618-8950}}, S.&nbsp;329–337 ([https://geodaesie.info/images/zfv/137-jahrgang-2012/downloads/zfv_2012_4_Brosche_Lenhardt_ERG.pdf geodaesie.info] [PDF; 126&nbsp;kB]).

== Weblinks ==
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]
{{Wiktionary|Rotation}}
{{Wiktionary|rotieren}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kinematik]]

[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]