Quelltext der Seite Stellenwertsystem

Ein '''Stellenwertsystem''', '''Positionssystem''' oder '''polyadisches Zahlensystem''' ist ein [[Zahlensystem]], dessen [[Zahlzeichen]] aus [[Ziffer]]n besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreiteten [[Dezimalsystem|Zehnersystem]] bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert {{nowrap|1 {{·}} 100}} zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert {{nowrap|2 {{·}} 10}} sowie für die Ziffer „7“ der Wert {{nowrap|7 {{·}} 1}}. Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihren [[Ziffernwert]], tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.

Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus <math>b</math> Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit dem Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl <math>b=10</math>. Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern der ''Stelle'' oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor <math>b</math> höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihren ''Stellenwert''; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor&nbsp;<math>b</math>. Damit ergibt sich der Wert&nbsp;<math>Z</math> einer dreistelligen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] aus ihren drei Ziffernwerten <math>a_2</math>, <math>a_1</math> und <math>a_0</math> zu
:<math>Z=a_2\cdot b^2 +a_1\cdot b^1 +a_0\cdot b^0</math>.

Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellen [[logarithmisch]] von der Größe der dargestellten Zahl ab&nbsp;– im Unterschied zu [[Additionssystem]]en, bei denen dieser Zusammenhang ([[Asymptotische Analyse|asymptotisch]] zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer) [[Proportionalität|linear]] ist.

[[Datei:Binary clock.svg|mini|Eine [[Zeitangabe]] mit [[Leuchtdiode]]n: Jede Diode zeigt den Wert einer Ziffer des [[Dualsystem]]s. Jede Spalte zeigt mit dem Zahl&shy;zeichen einer Dualzahl den Wert einer Ziffer des [[Dezimalsystem]]s. Zusam&shy;men zeigen sie in der Zeit&shy;unter&shy;teilung gemäß dem [[Sexagesimalsystem]] eine [[Uhrzeit]].]]

== Geschichte ==
Zahlensysteme sind schon vor Jahrtausenden entstanden. Entwicklungen in verschiedenen Kulturkreisen hatten dasselbe Ziel, [[Zahl]]en durch eine [[Zahlschrift]] festhalten zu können. Ein frühes Stellenwertsystem ist aus [[Babylonische Mathematik|Babylon]] bekannt. Diese hatte den Nachteil, dass eine Uneindeutigkeit entstehen konnte, wenn in einem Zahlzeichen eine Stelle leer blieb. Sehr viel später wurde zu deren Kennzeichnung ein Lückenfüller oder Platzhalter in das Zahlzeichen eingefügt, der aber nicht als numerischer Bestandteil galt. Durch die sich in Indien bis ins 7. Jahrhundert n.&nbsp;Chr. hinziehende „Entdeckung“ der Zahl null und durch die Einführung eines Schriftzeichens für diese als vollwertige Ziffer, mit dem auch gerechnet werden konnte, kam die indische Mathematik in die Lage, ein Stellenwertsystem in Form des Dezimalsystems zu schaffen, wie es inzwischen weltweit übernommenen worden ist.<ref>Thomas Westermann: ''Mathematik für Ingenieure: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch''. 7. Auflage. Springer Vieweg, 2015, S.&nbsp;5.</ref><ref>Hadwig Dorsch, Ehrhard Behrends: ''Wie die Ausstellung Mathema entstand'' in ''Ist Mathematik die Sprache der Natur? Von der Keilschrift bis zu den Grenzen der Erkenntnis''. Spektrum der Wissenschaft, 2013.</ref> „Zweifellos ist die Null eine der genialsten Erfindungen der Menschheit.“<ref>Albrecht Beutelspacher: ''Kleines Mathematikum''. 3. Auflage. Verlag C. H. Beck, 2010, S.&nbsp;38.</ref>

Erst mit der Einführung der Null ist das Stellensystem so leistungsfähig geworden, wie es heute als selbstverständlich erachtet wird, mit dem nicht nur Zahlen dargestellt werden können, sondern auch einfach gerechnet werden kann. Über Arabien kam diese Kenntnis im 13.&nbsp;Jahrhundert durch [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] nach Europa und erst im 16.&nbsp;Jahrhundert verbreitete [[Adam Ries]] mit seinen Rechenbüchern das Stellenwertsystem und das schriftliche Rechnen im deutschsprachigen Raum.<ref>Friedhelm Padberg, Andreas Büchter: ''Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik''. 2. Auflage. Springer, 2015, S.&nbsp;24.</ref> Die Erfindung des [[Dezimalbruch]]s durch [[Giovanni Bianchini]]<ref>{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=Decimal fractional numeration and the decimal point in 15th-century Italy |Sammelwerk=Historia Mathematica |Datum=2024-02-17 |ISSN=0315-0860 |DOI=10.1016/j.hm.2024.01.001 |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086024000016 |Abruf=2024-03-11}}</ref> gegen Mitte des 15. Jahrhunderts und sein Wiederaufgreifen durch [[Simon Stevin]] und [[Christophorus Clavius]] gegen Ende des 16. Jahrhunderts hat das numerische Rechnen weiter perfektioniert.
{{Siehe auch|Zahlzeichen#Geschichte|titel1=Geschichte der Zahlzeichen}}

== Grundbegriffe ==
[[Zahl]]en werden durch Wörter oder mittels einer [[Zahlschrift]] durch [[Zahlzeichen]] dargestellt. Diese sind aus [[Ziffer]]n und gegebenenfalls [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] oder [[Trennzeichen]] zusammengesetzt. Das Besondere an einem Stellenwertsystem liegt in seinem Aufbau auf Stellen, wobei jede Stelle eine Ziffer enthält, und zu jeder Stelle gehört ein eigener Stellenwert. Der Zahlenwert ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

=== Basis ===
Die ''Basis'' oder ''Grundzahl'' <math>b</math> des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis der [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] von <math>b</math>, die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis <math>b</math> nennt man auch ''{{nowrap|<math>b</math>-adisches}} Zahlensystem'' (nicht zu verwechseln mit [[p-adische Zahl|{{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen]]). Jede ganze Zahl <math>b\geq2</math> eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.<ref>{{Internetquelle |autor=Guido Walz |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/stellenwertsystem/9992 |titel=Stellenwertsystem |werk=Lexikon der Mathematik |hrsg=Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH |datum=2017 |abruf=2023-08-03}}</ref> (Bei <math>b=1</math> hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertsystems widerspräche.<ref>Der Fall <math>b=1</math> bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, sodass als Unterscheidungsmerkmal zwischen zwei Darstellungen nur ihre Länge in Frage kommt. Das führt im besten Fall zum [[Unärsystem]], einem nicht so mächtigen Darstellungssystem, welches nicht als Stellenwertsystem gilt, da der Stellenwert einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.</ref>) Die gängigsten Basen sind:<ref>DIN 1333, ''Zahlenangaben'', 1992, Kap. 8.</ref>
* <math>b=\;2</math> :&nbsp;das in der [[Digitaltechnik]] verwendete [[Dualsystem]] (auch Binärsystem genannt)
* <math>b=10</math>: unser vertrautes [[Dezimalsystem]]
* <math>b=16</math>: das in der [[Datenverarbeitung]] wichtige [[Hexadezimalsystem]].
Weitere in der Praxis verwendete {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Zahlensysteme finden sich im Abschnitt [[#Gebräuchliche Basen|Gebräuchliche Basen]].

=== Ziffernvorrat ===
Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau <math>b</math> verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert <math>\in \{0, 1, \ldots , b-1\}</math>.<ref name="D1333" /><ref name="bala">Interessant sind auch Ziffernsysteme mit negativen Ziffernwerten, insbesondere die [[#Balancierte Stellenwertsysteme|balancierten Stellenwertsysteme]]. Eher exotisch sind die Systeme von David W. Matula (zitiert nach [[#Knuth1]] {{nowrap|S. 210f}}).<br />Alle enthalten jedoch die Null, da sonst die Null selbst nicht darstellbar ist und eine abgebrochene Darstellung sich um mehr als den kleinsten Stellenwert von der genauen Zahl unterscheidet.</ref> Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein ''Ziffernwert'' zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

* Im Dualsystem werden die beiden Ziffern '''0''' und '''1''' verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
* Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''' und '''9''' verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet.
* Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''', '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', '''E''' und '''F''' verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet.
Ist die Basis noch größer, kann es zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem kommen. So werden im babylonischen [[Sexagesimalsystem]] mit <math>b=60</math> statt 60 verschiedener Ziffern die Dezimalzahlen von 1 bis 59 wie Ziffern benutzt. (Die Ziffer '''0''' war zur Blütezeit des Sexagesimalsystems noch nicht erfunden; für ein „Nichts“ wurde nichts geschrieben.)&nbsp;– [[IP-Adresse]]n im IPv4-Format umfassen 4&nbsp;Stellen zur Basis <math>b=256</math>; statt Ziffern werden ihrem Wert entsprechende Dezimalzahlen von 0 bis 255 geschrieben und durch einen Punkt getrennt, beispielsweise 192.0.2.42.&nbsp;– Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung [[Base64]] gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der [[Elektronik]] oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit '''0''' und '''1''' beschrieben, sondern es werden stattdessen '''H''' und '''L''' (für „High“- und „Low“-[[Logikpegel]]) verwendet (selten '''O''' und '''L''' für „On“ und „Low“&nbsp;– „Ein“ und „Aus“).

=== Stelle und Stellenwert ===
Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine ''Stelle''.<ref name="D1333">[[DIN 1333]], ''Zahlenangaben'', 1992, Kap. 10.1</ref> Jeder Stelle wird ein ''Stellenwert'' zugewiesen, der einer [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.<ref>Eine solche Notation mit von links nach rechts absteigender Wertigkeit ist in der Datenverarbeitung im Format [[Byte-Reihenfolge|Big-Endian]] beibehalten worden.</ref> Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

* Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist <math>10^0 = 1</math>.
* Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist <math>10^1 = 10</math>.
* Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist <math>10^2 = 100</math>, und so weiter.

Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die {{nowrap|<math>i</math>-te}} Stelle gerade den Stellenwert <math>b^i</math>. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

== Darstellungen verschiedener Zahlenarten ==
=== Darstellung natürlicher Zahlen ===
[[Natürliche Zahl]]en werden in der {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form
:<math>\mathbf{a}_n \ldots \mathbf{a}_2 \mathbf{a}_1 \mathbf{a}_0</math>
dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert <math>Z</math>
:<math>Z=\sum_{i=0}^n a_i \cdot b^i = a_0 \cdot b^0 + a_1 \cdot b^1 + a_2 \cdot b^2 + \dotsb + a_n \cdot b^n</math>
zugeordnet, wobei <math>a_i</math> der der Ziffer <math>\mathbf{a}_i</math> zugewiesene Ziffernwert ist.

Der Wert <math>n</math> der Ziffernfolge gehört zum [[Laufindex]] der höchstwertigen Stelle, auf der <math>a_i>0</math> ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert <math>Z</math> ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer '''0'''&nbsp;=&nbsp;0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender '''0''' verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar [[Bijektivität|eineindeutig]] ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert <math>Z</math> ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also '''0'''), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge '''694''' im Dezimalsystem (<math>b=10</math>). Sie steht für:
:<math>4 \cdot 10^0 + 9 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^2 = 694.</math>

Die Ziffernfolge '''2B6''' im Hexadezimalsystem (<math>b=16</math>) steht für <math>a_0 +a_1 \cdot b +a_2 \cdot b^2</math>. Bei einer Zuordnung der Werte der Hexadezimalziffern auf Werte von Dezimalzahlen <math>a_0</math> = '''6''' = 6; <math>a_1</math> = '''B''' = 11; <math>a_2</math> = '''2''' = 2 und bei weiterer Rechnung im Dezimalsystem entspricht die Folge '''2B6''' dem Wert der Dezimalzahl
:<math>6 +11 \cdot 16 +2 \cdot 16^2 = 6 + 176 + 512 = 694.</math>

Entsprechend entspricht die Ziffernfolge '''1010110110''' im Dualsystem (<math>b=2</math>) dem Wert der Dezimalzahl
:<math>0 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^6 +1\cdot 2^7 +0\cdot 2^8 +1\cdot 2^9 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128 + 512 = 694.</math>

=== Darstellung ganzer Zahlen ===
In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein [[Minuszeichen]] ('''–''') beigefügt, das den Zahlzeichen ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als [[vorzeichenbehaftete Null]] in der Form +0, −0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als [[Inkrement und Dekrement|Inkrement]] kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein [[Pluszeichen]] ('''+''') vorangestellt.

=== Darstellung rationaler Zahlen ===
Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.

Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das [[Dezimaltrennzeichen|Komma]] »''','''«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt »'''.'''« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit <math>b^{-i}</math> multipliziert, wobei <math>i</math> die Position hinter dem Komma angibt.
Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8&nbsp;=&nbsp;1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge '''1,011''' dargestellt. In der Tat ist
:<math>1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} = 1 + 0/2 + 1/4 + 1/8 = 1+3/8.</math>

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele [[Rationale Zahl|rationale Zahlen]] {{nowrap|<math>b</math>-adisch}} darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber [[Periodische Folge|periodisch]] ist. Gewöhnlich wird diese '''Periode''' durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5&nbsp;=&nbsp;0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge '''0,2''' hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:
: '''0,00110011…'''<sub>2</sub> = '''0,{{Oberstrich|0011}}'''<sub>2</sub>.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge '''0,1''' im [[Ternärsystem|3-adischen (ternären) System]] die rationale Zahl 1·3<sup>−1</sup>&nbsp;=&nbsp;1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge '''0,333…''' = '''0,{{Oberstrich|3}}'''<sub>dez</sub> entspricht.

Unter der Voraussetzung, dass '''0''' eine Ziffer ist und dass es zu jeder ganzen Zahl eine Ziffer gibt, deren Wert zu ihr <math>\text{mod }b</math> [[modulo|kongruent]] ist<ref name="bala"/> (was bei Standardziffersystemen stets der Fall ist), gilt allgemein, dass ein [[Bruchrechnung|Bruch]] genau dann eine endliche {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung hat, wenn nach dem [[Kürzen]] alle [[Primfaktor]]en seines Nenners auch Primfaktoren von <math>b =: p_1^{\nu_1} \cdots p_k^{\nu_k}</math> (bei <math>p_1, \ldots ,p_k \in \mathbb P</math> und <math>\nu_1, \ldots ,\nu_k \in \N</math>) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der [[gekürzter Bruch|gekürzte Nenner]] also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein [[Dezimalbruch]] im engeren Sinne oder wird durch [[Erweitern]] zu einem solchen.)

{{Anker|endlDarst}}
Die endlichen Darstellungen [[Bewertungstheorie#S-ganze Zahlen|bilden]] den [[Ring (Algebra)|Ring]]
: <math> \Z_S := \{x \in \Q \mid \exists i \in \N_0: x b^i \in \Z \} = \Z b^{\Z}</math>,
wobei <math> S := \{ p_1, \ldots, p_k \} \subset \mathbb P</math> für die Menge der Primfaktoren von <math>b</math> steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner '''nur''' Primteiler <math> p_i \in S </math>. Für jedes nichtleere <math>S</math> liegt der Unterring <math> \Z_S </math> von <math>\Q</math> (wie <math>\Q</math> selbst) [[Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math> \Z_{S} </math> approximieren.<ref>Im Fall <math>S=\{p\}</math> für ein <math>p \in \mathbb P</math> ist <math>\Z_{\{p\}}</math> nicht mit dem [[Diskreter Bewertungsring|diskreten Bewertungsring]] <math>\Z_{(p)} = \Z_{S'}</math> mit <math>S':=\mathbb P \setminus \{p\}</math> zu verwechseln, der auch dicht liegt in <math>\Q</math>, dessen eingeprägte Bewertung aber zur völlig anderen [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]], nämlich den [[Stellenwertsystem#p-adische Zahlen|''p''-adischen Zahlen]] <math>\Z_p</math> führt.</ref>

{{Anker|abbrechendeDarstellungen}}Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen '''1''', '''1,0''', '''1,000''' im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen '''01''', '''0001''' mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken.
Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung '''1,000…''' = '''1,{{Oberstrich|0}}''' und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung '''0,999…''' = '''0,{{Oberstrich|9}}''' (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel [[0,999…]].<ref>Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis <math>b\in\;\Z\setminus \{-1,0,1\}</math> und jedem „vernünftigen“ Ziffernsystem auf. Für <math>b > 0</math> siehe den Abschnitt [[#Lexikographische Ordnung]], für <math>b < 0</math> den Abschnitt [[#Negative Basen]], jeweils mit Beispielen für Zahlen mit mehrfacher Darstellung.</ref>

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, sodass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z.&nbsp;B. bei der [[Z-Kurve]] gefordert, die <math>Z \, \colon \R^2 \to \R^1</math> [[Injektivität|injektiv]] abbildet und bei der zwei {{nowrap|<math>b</math>-Ziffernfolgen}} alternierend in eine gepresst werden. Die [[Unstetigkeitsstelle]]n der Funktion <math>Z</math> sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung haben.<ref>Ganz ähnlich verhält es sich bei der [[Hilbert-Kurve]].</ref>

{{Anker|Periodenlänge}}Die {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung eines gekürzten Bruchs <math>q=:z/(m \cdot n)</math> mit <math>z\in\Z, m=p_1^{\mu_1} \cdots p_k^{\mu_k} </math> und <math>n\in\N</math> [[teilerfremd]] zur Basis <math>b</math> hat für <math>n=1</math> die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist <math>b</math> ein Element der [[Prime Restklassengruppe|primen Restklasse]] <math>[b]\in \Z_n^*</math>, sodass <math>b^{\varphi(n)} \equiv 1 \text{ mod }n</math> ist (mit <math>\varphi</math> als der [[Eulersche φ-Funktion|eulerschen φ-Funktion]]). Die {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Periodenlänge des gekürzten Bruchs <math>q</math> ist dann der kleinste Exponent <math>\operatorname{ord}_n(b):=e>0</math>, für den <math>n</math> ein Teiler von <math>b^e-1</math> ist.
(S.&nbsp;a. den Abschnitt [[#Algorithmus für rationale Zahlen|Algorithmus für rationale Zahlen]] und den Artikel [[Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung]].)

=== Darstellung reeller Zahlen ===
Die Darstellung [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch ''b''-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die ''b''-adische Entwicklung einer [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahl]] (wie [[Kreiszahl|π]] oder <math>\sqrt{2}</math>) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und <math>\sqrt{2}</math> geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen [[überabzählbar]], die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur [[Abzählbare Menge|abzählbar]] ist.<ref>Ihr [[Lebesgue-Maß|Maß]] ist 0 und damit auch der Zahlen mit mehrfacher Darstellung.</ref>

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der ''b''-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) ''b''-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.
{{Siehe auch|Liste der Zahlenarten}}

== Formeln ==
=== Berechnung eines Ziffernwertes ===
Die niederwertigste (letzte) Ziffer der {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} Darstellung einer natürlichen Zahl <math>Z=\sum_{i=0}^n a_i \cdot b^i</math> ist der [[Division mit Rest|Rest]] von <math>Z</math> bei Division durch <math>b</math>. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

: <math>a_0 =Z-b\left\lfloor\frac Zb\right\rfloor</math>

gegeben; dabei bezeichnet <math>\lfloor \cdots \rfloor</math> die [[Gaußklammer]]. Allgemeiner ist die durch die letzten <math>i</math> Ziffern von <math>Z</math> gebildete Zahl der Rest von <math>Z</math> bei Division durch <math>b^i</math>. Die Ziffer <math>a_i</math> an der <math>i</math>-ten Stelle ergibt sich zu

: <math>a_i = \left\lfloor\frac Z{b^i}\right\rfloor-b\left\lfloor\frac Z{b^{i+1}}\right\rfloor .</math>

Nimmt man negative Werte von <math>i</math> hinzu, mit denen sich Nachkommastellen ergeben, dann gilt für positiv [[reelle Zahl]]en <math>Z = \sum_{i=-\infty}^n a_i \cdot b^i</math> die vorstehende Gleichung auch hierfür.

=== Algorithmus für rationale Zahlen ===
Für rationales <math>0 < x = p/q < 1 </math> (und eine Basis <math>b \in \N_{>1} </math>) lässt sich die obige Formel in den folgenden [[Algorithmus]] einbetten:
<syntaxhighlight lang="MuPad" highlight="9,10">
function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = bp − z*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  pl = pos - occurs[p]; // die Periodenlänge (0 < pl < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function
</syntaxhighlight>
Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest <math>p' </math> der Division [[modulo]] des Nenners <math>q </math>.
Die Gaußklammer <code>floor</code> bewirkt, dass
: <math>b p/q - 1 \; \; < \; \; z = \lfloor b p/q \rfloor \; \; \le \; \; b p/q .</math>
Daraus folgt <math>b p - q < z q \; \implies \; p' := b p - z q < q</math> und <math>z q \le b p \; \implies \; 0 \le b p - z q =: p' , </math> zusammengenommen <math>0 \le p' < q . </math>
Da somit alle Reste <math>p </math> ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als <math>q </math> sind, es also nur <math>q </math> viele verschiedene von ihnen gibt,
müssen sie sich in der {{nowrap|<code>while</code>-Schleife}} wiederholen.
Die Wiederkehr eines Restes <math>p </math> wird über die Existenz des [[Assoziatives Datenfeld|assoziativen Datenfeldes]] <code>occurs[p]</code> festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlänge {{nowrap|[[#Periodenlänge|siehe oben]].)}}

=== Berechnung der Stellenzahl ===
Die Anzahl <math>m</math> der Ziffern der {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} Darstellung einer natürlichen Zahl <math>Z \in \N_0</math> ist

: <math>m =
\begin{cases}
  1 & \text{wenn } Z = 0,\\
  \lfloor \log_b{Z} \rfloor + 1 \ & \text{wenn } Z \geq 1.
\end{cases}</math>

=== Hinzufügen einer Ziffer ===
* Hängt man an die {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung einer natürlichen Zahl <math>Z</math> ganz rechts eine Ziffer <math>a</math> an, ohne dass die Zahl den Charakter einer natürlichen Zahl verlieren soll, so erhält man die {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung der Zahl <math>Z \cdot b + a</math>.
* Alternativ kann die angefügte Ziffer hinter dem Trennzeichen auf die erste [[Nachkommastelle]] gelangen, und man erhält die Zahl <math>Z+ a\cdot b^{-1}</math>.
* Stellt man die Ziffer <math>a</math> hingegen ganz links <math>Z</math> voran, so erhält man die {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung der Zahl <math>a \cdot b^{n+1} + Z</math>.

== Gebräuchliche Basen ==
{| class="wikitable sortable toptextcells"
! Basis !! System !! class="unsortable"|Beschreibung
|-
! 10 || style="text-align:left"|[[Dezimalsystem]]
| Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist das ''Dezimalsystem'' (Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern '''0''' bis '''9'''. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker [[Al-Chwarizmi|Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi]] verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne [[Null]]. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Zur Speicherung von Dezimalziffern im Computer dient der [[BCD-Code]].
|-
! 2 || style="text-align:left"|[[Dualsystem]]<br>Binärsystem
| Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] mit der Dyadik das ''Dualsystem (binäres Zahlensystem)'' ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern '''0''' und '''1'''. Dieses wird vor allem in der [[Informationstechnik]] verwendet, da deren [[Logik]] allein auf [[Bit]]s, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.
|-
! 16 || style="text-align:left"|[[Hexadezimalsystem]]<br>Sedezimalsystem
| Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft das ''Hexadezimal- oder Sedezimalsystem'' verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern '''0''', '''1''', …, '''9''', '''A''', '''B''', …, '''F''') arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da eine Stelle einer hexadezimalen Zahl genau vier Stellen (=&nbsp;ein [[Nibble]]) einer binären Zahl entspricht.
|-
! 8 || style="text-align:left"|[[Oktalsystem]]
| Das ''Oktalsystem'' zur Basis 8 (Ziffern '''0''' bis '''7''') fasst drei Binärstellen zusammen und kommt vorteilhaft ohne zusätzliche Ziffernzeichen aus. Das System findet u.&nbsp;a. Anwendung bei der Notation und Vergabe von [[Unix-Dateirechte#Oktalnotation|Unix-Dateirechten.]]
|-
! 64 || style="text-align:left"|[[Base64]]
| Ebenfalls Verwendung findet die Basis 64 bei ''Base64'' (mit ungewohnter Symbolreihenfolge); die Basis 62 mit den Ziffern '''0''' bis '''9''', '''A''' bis '''Z''' und '''a''' bis '''z'''; sowie gelegentlich die Basis 32 bei [[Base32]] mit den Ziffern '''0''' bis '''9''' und '''a''' bis '''v'''.
|-
! 1 || style="text-align:left"|[[Unärsystem]]
| Ab ca. 1100 v.&nbsp;Chr. wurden im indo-chinesischen Raum [[Abakus (Rechentafel)|Rechentafeln]] benutzt, denen ein ''Unärsystem'' zugrunde liegt. Zur besseren Überschaubarkeit wird gerne zu Fünfer-Blöcken gebündelt. Davon unabhängig liegt hier allerdings ein [[Additionssystem]] und kein Stellenwertsystem vor.
|-
! 20 || style="text-align:left"|[[Vigesimalsystem]]
| Das ''Vigesimalsystem'' verwendet 20 als Basis. Es dürfte entstanden sein, weil zum Zählen neben den Fingern auch die Zehen benutzt wurden, und war u.&nbsp;a. in fast allen mesoamerikanischen Kulturen gebräuchlich. Das am weitesten entwickelte System dieser Art wurde von den [[Maya]] in der Klassischen Periode für astronomische Berechnungen sowie zur Darstellung von Kalenderdaten verwendet. Es handelte sich um ein Stellenwertsystem »mit einem Sprung«, weil an der zweiten Stelle nur die Ziffern von '''1''' bis '''18''' auftreten, um so als dritten Stellenwert 360 (annähernde Länge des Sonnenjahres) zu erreichen. Die Maya kannten die [[Null]] und benutzten sie auch in ihren [[Maya-Kalender|Kalendern]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Hans Wußing]] |Titel=6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise |Band=1. ''Von den Anfängen bis Leibniz und Newton'' |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-77189-0 |Seiten=26ff, 30}}</ref>
|-
! 4 || style="text-align:left"|[[Quaternärsystem]]
| Mündliche [[Zahlwortsysteme]] mit der Basiszahl 4 sind äußerst selten. Bekannt ist  eine Papua-Sprache. Sprachliche Spuren eines solchen Systems gibt es auch in anderen Sprachen.
|-
! 12 || style="text-align:left"|[[Duodezimalsystem]]
| Das ''Duodezimalsystem'' hat als Basis die 12. Sein Vorteil liegt in der großen Anzahl von Teilern.
Die Einteilung und die Gruppierung in 12 ist zwar kulturell sehr weit verbreitet und zeigt sich etwa in den  12 Monaten pro Jahr, 12 [[Tierkreiszeichen]], 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie und der Einteilung alter [[Maßeinheit]]en (z.&nbsp;B. bei [[Angloamerikanisches Maßsystem|Zoll und Fuß]]).  Trotzdem gibt nur wenige Kulturen, von denen ein Gebrauch des Duodezimalsystems bekannt ist.
|-
! 60 || style="text-align:left"|[[Sexagesimalsystem]]
|  Die [[Geschichte der Mathematik|Babylonier]] benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (''Sexagesimalsystem''; siehe auch [[Geschichte von Maßen und Gewichten]]).
|-
! 5 || style="text-align:left"|[[Quinärsystem]]
|Bündelungen mit der Zahl 5 sind in der Umgangskultur weit verbreitet. Mündliche [[Zahlwortsysteme]] mit der Basiszahl 5 sind selten. Bekannte Vertreter sind Sprachen aus Südamerika und Ozeanien.<ref>Gisa Eysen: „Untersuchungen zu Strukturen von Zahlwortsystemen.“ Verlag Dr. Kovač, Hamburg 2008, ISBN 978-3-8300-4062-0, S. 174.</ref>
Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya ente, 15 = tozumba-ente, 20 = caesea ente.<ref>Levi Leonard Conant: [http://www.gutenberg.org/etext/16449 ''The Number Concept''.] Etext, [[Project Gutenberg]] (englisch)</ref>
|-
! 6 || style="text-align:left"|[[Senärsystem]]
| Mündliche [[Zahlwortsysteme]] mit der Basiszahl 6 sind äußerst selten. Bekannt sind eine westafrikanische und eine Papua-Sprache. Sprachliche Spuren eines solchen Systems gibt es auch in anderen Sprachen. Vermutlich liegen dem das Zählen mit Fingern und Hand zu Grunde.
|-
|}

== Konvertierungen ==
Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix <math>_b</math> der Basis <math>b</math> des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix <sub>10</sub> standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auch <sub>dez</sub> oder <sub>dec</sub>. Die Suffixe <sub>2</sub> oder <sub>b</sub> kennzeichnen binär und <sub>16</sub> oder <sub>h</sub> hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz <math>\{ 0, 1, \ldots, b-1 \}</math> angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.

Es gibt zwei wesentliche Varianten
* die iterierte [[Division mit Rest|euklidische Division]], die bei den Stellen niedriger Signifikanz beginnt, und
* die Auswertung des Ziffern-Polynoms bspw. in einer Art des [[Horner-Schema#Umwandlung zwischen verschiedenen Zahlensystemen|Horner-Schemas]]. Die kleinste Anzahl von Multiplikationen wird benötigt, wenn man bei der höchstwertigen Stelle beginnt.
Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.

=== Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12 ===
Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im [[Zwölfersystem]].

Dazu dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Ziffernwerte zur Basis 12. Dabei liefert der erste Rest den Ziffernwert zum niedrigsten Stellenwert der gesuchten neuen Darstellung (in diesem Fall zum Stellenwert 12<sup>0</sup>), der zweite Rest liefert den Ziffernwert zum zweitniedrigsten Stellenwert (hier 12<sup>1</sup>) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

* 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12<sup>0</sup> im Ergebnis)
* {{0}}392 geteilt durch 12 ergibt {{0}}32 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12<sup>1</sup> im Ergebnis)
* {{0|00}}32 geteilt durch 12 ergibt {{0|00}}2 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12<sup>2</sup> im Ergebnis)
* {{0|000}}2 geteilt durch 12 ergibt {{0|00}}0 Rest 2 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12<sup>3</sup> im Ergebnis)

Alternativ wird mit der Ziffer zum höchsten vorhandenen Stellenwert begonnen:
{|
| &nbsp;* || 4711 || geteilt durch 12<sup>3</sup>=1728 &nbsp; || ergibt 2 Rest 1255 (die 2 ist die Ziffer zum höchsten Stellenwert des Ergebnisses)
|-
| &nbsp;* || 1255 || geteilt durch 12<sup>2</sup>=144 || ergibt  8 Rest 103
|-
| &nbsp;* || style="text-align:right"| 103 || geteilt durch 12<sup>1</sup>=12 || ergibt 8 Rest 7
|-
| &nbsp;* || style="text-align:right"| 7 || geteilt durch 12<sup>0</sup>=1 || ergibt 7 Rest 0 (die 7 ist die Ziffer zum niedrigsten Stellenwert des Ergebnisses)
|}
Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich 2887<sub>12</sub>. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

=== Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10 ===
Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Dazu multipliziert man die Ziffern der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:
* Ziffer A mal <math>16^3</math> ergibt 40960
* Ziffer F mal <math>16^2</math> ergibt {{0}}3840
* Ziffer F mal <math>16^1</math> ergibt {{0|00}}240
* Ziffer E mal <math>16^0</math> ergibt {{0|000}}14
Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich <math>40\,960+3840+240+14=45\,054</math>.

Alternativ wird schrittweise mit der Basis 16 multipliziert und die jeweils nächste Ziffer hinzugenommen:
{|
| &nbsp;* || style="text-align:right"| A || ergibt || style="text-align:right"| 10
|-
| &nbsp;* || style="text-align:right"| 10{{·}}16+F || ergibt || style="text-align:right"| 175
|-
| &nbsp;* || style="text-align:right"|175{{·}}16+F || ergibt || style="text-align:right"| 2815
|-
| &nbsp;* || 2815{{·}}16+E || ergibt || {{FormatNum|45054|de}}
|}
Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

=== Beispiel 3: Nachkommastellen ===
Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

* 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0
* 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0
* 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0
* 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1
* 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1
* 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

== Balancierte Stellenwertsysteme ==
Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis <math>b\in\N</math> und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge <math>\{ -\tfrac{b-1}2,\dotsc,-1,0,1,\dotsc,\tfrac{b-1}2 \}</math>. Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z.&nbsp;B. im [[Ternärsystem#Balanciert|balancierten Ternärsystem]] eine Zahl durch die Ziffern '''<u>1</u>''', '''0''', und '''1''' dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:
* Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
* Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] an. Das System kommt also ohne ein separates Vorzeichen aus.
*Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.

Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu <math>\mathbf{t} := \tfrac{b-1}2 </math> die größte Ziffer und <math>\underline{\!\!\mathbf{t}\!\!} := -\mathbf{t} </math> die kleinste, dann ist bspw.
: <math>0{,}\overline{\mathbf{t}} \; = \; 1{,}\overline{\underline{\!\!\mathbf{t}\!\!}} \; = \; \frac12 .</math>

== Lexikographische Ordnung ==
Bei positiver Basis <math>b\in \N\!\setminus\!\!\{\!1\!\}</math> hängt die [[Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Ordnungsrelation]] der reellen Zahlen eng zusammen mit der [[Lexikographische Ordnung|lexikographischen Ordnung]] der diese Zahlen darstellenden {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} [[Zeichenkette]]n.<ref>Bei vor dem Trennzeichen gleich langen Zeichenketten entsprechen sich die Ordnungen exakt – auch bei gemischt negativen Ziffern; nicht jedoch bei einer Darstellung im [[Byte-Reihenfolge|kleinendigen (little-endian)]] Format und auch nicht bei negativen Basen.</ref> Genauer:
* Es gibt einen [[Ordnungshomomorphismus]] (eine ordnungserhaltende Abbildung) <math>\omega </math>, der die beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten auf {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Weise in ein reelles Intervall abbildet.
* Für ''kein'' {{nowrap|<math>b</math>-adisches}} System ist <math>\omega </math> [[Injektive Funktion|injektiv]].<ref>Gleichwohl injektiv, wenn [[Einschränkung|eingeschränkt]] auf die [[kleenesche Hülle]] <math>\Sigma^*</math> (Zeichenketten endlicher Länge).</ref>
* Welche reellen Zahlen mehrere Darstellungen (mehrere Urbilder) haben, hängt von den Ziffernwerten des zugehörigen Ziffernsystems <math>\Sigma </math> ab. Ihre Menge ist eine [[Teilmenge]] der rationalen Zahlen, hat also [[Abzählbare Menge|abzählbare]] Mächtigkeit. Sie liegt [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Bildintervall.<ref>[[#Petkovšek|Petkovšek]] p.&nbsp;408</ref>
{| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;"
|style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Herleitung''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
|-
|
Sei dazu <math>2\le b\in \N </math> und <math>\Sigma := \{z_1, z_2, \ldots, z_b \}</math> ein [[Ordnungsrelation#Strenge Totalordnung|streng totalgeordnetes]] [[Alphabet]] mit <math>z_k \prec z_{k+1} ,</math> dessen Ordnungsrelation mit <math>\prec </math> bezeichnet sei. Ferner seien <math>S,T \in \Sigma</math> zwei Zeichen mit <math>S \prec T</math>, dann ist lexikographisch
: <math>Ss \prec Tt</math>
für alle [[Zeichenkette]]n <math>s, t \in \Sigma^{\infty}</math> mit <math>\Sigma^{\infty}</math> als der Menge der beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten über <math>\Sigma</math> (einschließlich der [[Kleenesche und positive Hülle|kleeneschen Hülle]] <math>\Sigma^*</math> von <math>\Sigma</math>).

Die Zeichenketten können auch als {{nowrap|<math>b</math>-adische}} Darstellung aufgefasst werden, und zwar seien dazu die Werte
: <math>w \, \colon \Sigma \to \Z</math>
der Ziffern <math>z_k </math> lückenlos aufeinanderfolgend festgelegt, also
: <math>w(z_{k+1}) = w(z_k)+1</math>,
sodass <math>\Sigma</math> ein minimaler Ziffernvorrat für ein {{nowrap|<math>b</math>-adisches}} System und <math>w(z_b) = w(z_1)+b-1</math> ist. Wir beschränken uns auf Ziffernwerte, deren [[Betragsfunktion|Betrag]] nicht größer ist als die Basis, also <math>w \, \colon \Sigma \to [-b,+b]</math> (womit die wichtigsten in der Praxis vorkommenden Fälle abgedeckt sind).
Die Ziffern <math>S,T \in \Sigma</math> lassen sich so wählen, dass <math>w(S) = w(T) -1 </math> ist. Dies verträgt sich mit <math>S \prec T</math>, und die obige lexikographische Ungleichung bleibt gültig, auch wenn die Ketten <math>s := z_b z_b z_b \ldots</math> und <math>t := z_1 z_1 z_1 \ldots</math> ins Unendliche fortgesetzte Perioden haben.

Für die Auswertung der Zeichenketten entsprechend dem {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} System braucht man eine [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]]
: <math>\omega \, \colon \Sigma^{\infty} \to [-1,1] </math>
der Wertefunktion <math>w </math> mit <math>\omega(z) = w(z)/b \; \in [-1,1] </math> für <math>z \in \Sigma </math> und mit
: <math>\omega(x_1 x_2 x_3 \ldots) = \sum_{i=1}^{\infty} w(x_i) b^{-i} </math> .
In Bezug auf die [[Metrischer Raum|Metrik]] des gewöhnlichen [[Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Absolutbetrags konvergieren die [[Reihe (Mathematik)|Reihen]]
: <math>\omega(s) = \omega(z_b z_b z_b \ldots) = \sum_{i=1}^{\infty} w(z_b)b^{-i} = \frac{w(z_b)}{b-1}</math>
und
: <math>\omega(t) = \omega(z_1 z_1 z_1 \ldots) = \sum_{i=1}^{\infty} w(z_1)b^{-i} = \frac{w(z_1)}{b-1} </math> ,
und es ist
: <math>\omega(s) = \frac{w(z_b)}{b-1} = \frac{w(z_1)+b-1}{b-1} = \frac{w(z_1)}{b-1} +1 = \omega(t) +1 </math> .
Damit gilt zwar lexikographisch
: <math>Ss \prec Tt</math>
(und die Zeichenketten sind offensichtlich verschieden in <math>\Sigma^{\infty}</math>), sie werden aber auf dieselbe reelle Zahl
: <math>\omega(Ss) = (w(S)+\omega(s))/b = (w(T)-1+\omega(t)+1)/b = (w(T)+\omega(t))/b = \omega(Tt) \; \in [-1,1]</math>
abgebildet. Somit ist <math>\omega </math> nicht injektiv.

Schließt man bei den Ordnungsrelationen die Gleichheit mit ein, dann gilt
: <math>Ss \preceq Tt \quad \implies \quad \omega(Ss) \le \omega(Tt)</math>
und <math>\omega </math> ist ein [[Ordnungshomomorphismus]], der aber nicht [[bijektiv]] und also kein Ordnungs''iso''momorphismus ist.

Im Abschnitt [[#endlDarst|Darstellung rationaler Zahlen]] wurde <math> \Z b^{\Z} </math> als die Menge der reellen Zahlen mit ''endlicher'' Darstellung herausgearbeitet. Die Menge der reellen Zahlen mit ''mehrfacher'' Darstellung ist dann
: <math> \Z b^{\Z} + \frac{w(z_1)}{b-1} </math> ,
also bei <math>w(z_1) = 0</math> dieselbe wie die der endlichen Darstellungen; so bei vielen gebräuchlichen {{nowrap|<math>b</math>-adischen}} Systemen.
|}

== Verallgemeinerungen ==
=== Zahlensysteme mit gemischten Basen ===
Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

* alternierend ''a'' oder ''b'', wobei ''a'' und ''b'' zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind<ref>Wie oben bei den Zweierpotenzen kann eine solche Darstellung als „Sonderfall“ einer ''ab''-adischen aufgefasst werden.</ref>
* 2 oder 3, aber in der Reihenfolge, sodass <math>e^k</math> am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten ''k'' Basen
* als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt ([[Fakultätsbasiertes Zahlensystem|„Fakultätsbasis“]])
{{Anker|A003418}}
* die Primzahlen der Reihe nach oder jene (sich dann wiederholenden) Primzahlen, die mit jeder nächstgrößeren [[Primzahlpotenz]] auftreten (s.&nbsp;a. [[Proendliche Zahl#Darstellung als unendliche Reihe|Darstellung der proendlichen Zahlen mit mehreren Basen]])

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.<ref>Ist jeder Position eine eigene Ziffer (oder mehrere) zugeordnet, hat man im Ergebnis ein [[Additionssystem]].</ref>

==== Datumsformat als Zahlensystem mit gemischten Basen ====
{{Hauptartikel|Datumsformat}}

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

: [1-12] [1–31] [0–9]<sup>[2,4,*]</sup> [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]<sup>*</sup>

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.<ref>An Zyklen der realen Welt angelehnt sind dabei nur Tag, Monat und Jahr (deren [[Inkommensurabilität (Mathematik)|Inkommensurabilität]] mit einem beträchtlichen organisatorischen Aufwand (z.&nbsp;B. durch Einführung eines [[Schaltjahr|Schaltjahres]]) aufgefangen wird). Alle anderen Eigenwilligkeiten der Darstellung sind menschliche, mit einer außerordentlichen Beständigkeit behaftete Artefakte.</ref> Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

=== Nicht-natürliche Zahlen als Basis ===
Die Basis <math>b</math> muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

==== Negative Basen ====
Stellenwertsysteme mit negativen Basen <math>b \in \Z </math> mit <math>b \leq -2</math> kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen <math>-b \in \N</math> und <math>r := |b|</math> wird oft als ''Radix'' bezeichnet.
Sie werden häufig mit der Vorsilbe ''nega-'' gekennzeichnet, bspw. das ''negadezimal''e, ''negabinär''e, ''negaternär''e usw. Stellenwertsystem.

Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine, in manchen Fällen sogar zwei Stellen mehr, als im entsprechenden System mit positiver Basis, wie das Beispiel <math>999_{10} = 19019_{-10}</math> zeigt. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.

Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw. <math>\{0, 1, \ldots, -b\!-\!\!1\}</math>, dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei den [[#Lexikographische Ordnung|positiven Basen]] gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu
:<math>T:=0{{,}}\overline{01}_b =\sum_{i=1}^{\infty} b^{-2i} = \frac1{b^2-1} </math>
und <math>\mathbf{t}:= -b\!-\!\!1 </math> die größte Ziffer,
dann ist sowohl
:<math>0{,}\overline{0\mathbf{t}}_b=\mathbf{t}T=\frac{-b\!-\!\!1}{b^2-1}=\frac1{-b+1}</math>
als auch
:<math>1{,}\overline{\mathbf{t}0}_b = 1+\mathbf{t}bT = \frac{(b^2-1)+(-b\!-\!\!1)b}{b^2-1}= \frac1{-b+1}.</math>

==== Irrationale Basen ====
Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis <math>b\in \R \setminus \Z</math> die Minimalgröße des Ziffernsystems <math>\lceil|b|\rceil</math> (Betragsstriche und [[Gaußklammer]]n) sein.
Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.

Wird zum Beispiel der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] <math>\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> als Basis und <math>\left \{ 0, 1 \right \}</math> als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form <math>s+t \cdot \sqrt{5}</math> mit rationalen <math>s,t</math> dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.

Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist die [[Satz von Zeckendorf|Zeckendorf-Darstellung]], bei der allerdings nicht die Potenzen von <math>\Phi </math>, sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.

==== Nicht-reelle Basen ====
Das erste Zahlsystem, das eine [[komplexe Zahl]] ''nicht'' als zwei separate Ziffernfolgen –&nbsp;je eine für Real- und eine für Imaginärteil&nbsp;– darstellt, sondern eine komplexe Zahl als ''eine einzige'' Ziffernfolge, war das von [[Donald E. Knuth|D. Knuth]] 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System.<ref name="knuth1960">{{cite journal|title=An imaginary number system|journal=Communications of the ACM|volume=3|issue=4|date=April 1960|author=[[Donald Knuth]]}}</ref> Es hat <math>2\mathrm i</math> als Basis und '''0''', '''1''', '''2''', '''3''' als Ziffern. Dort ist bspw. <math>-1 = 103_{2\mathrm i}</math> und <math>\mathrm i = 10{,}2_{2\mathrm i}</math>.

Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet.<ref name="Khmelnik1">{{cite journal|last=Khmelnik|first=S.I. |title=Specialized digital computer for operations with complex numbers
|journal=Questions of Radio Electronics (in Russian)|volume=XII |issue=2 |year=1964}}</ref> Es hat <math>\mathrm i -1</math> als Basis und '''0''', '''1''' als Ziffern. Bspw. ist <math>-1 = 11101_{\mathrm i -1}</math> und <math>\mathrm i = 11_{\mathrm i -1}</math>.

=== ''p''-adische Zahlen ===
{{Hauptartikel|p-adische Zahl}}
Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der [[Grenzwert (Folge)#Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes|Konvergenz]] in Bezug auf die [[Metrischer Raum|Metrik]] des gewöhnlichen [[Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Absolutbetrags. Die [[Reihe (Mathematik)|unendlichen Reihen]] –&nbsp;die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten <math>\searrow -\!\infty</math>), konvergieren&nbsp;– sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] auch Metriken, die auf [[Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischen Betragsfunktionen]] basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen –&nbsp;die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten <math>\nearrow +\!\infty</math>), konvergieren&nbsp;– sind [[p-adische Zahl|''p''-adische Zahlen]].

Zwar stimmen ''endliche'' {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher) {{nowrap|<math>p=:b</math>-adischer}} Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:
# Die {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Darstellungen sind ''immer'' (umkehrbar) eindeutig.
# Ein [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht benötigt. Die Darstellung von <math>-1</math> als unendliche Summe ist {{nowrap|<math display="inline">-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i</math>.}}
# Ein {{nowrap|<math>p</math>-adischer}} [[Ring (Mathematik)|Ring]] kann nicht [[Angeordnete Gruppe|angeordnet]] werden.
# Ist <math>p</math> zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Ring <math>\Z_p</math> [[Nullteiler]] (die allesamt ''nicht''-abbrechende Darstellungen haben). Einzelheiten in [[Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]].
# Die ''nicht''-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.
# Alle [[Algorithmus|Algorithmen]] für die [[Grundrechenart]]en beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber <math>> -\!\infty</math>) und laufen wie die Potenzen und [[Übertrag|Überträge]] in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wenn die Rechnung abgebrochen wird, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.

== Weiterführende Texte ==
Der Artikel [[Teilbarkeit]] erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. Die [[Cantorsche Normalform]] verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem auf [[Ordinalzahl]]en.

Ein Beispiel zur Anwendung zeigt die [[Berlin-Uhr]].

== Literatur ==
* {{Anker|Knuth1}}{{Literatur |Autor=[[Donald Knuth]] |Titel=[[The Art of Computer Programming]] |Band=2 |Auflage=3 |Verlag=Addison-Wesley |Ort=Boston |Datum=1998 |ISBN=0-201-89684-2 |Kapitel=Positional Number Systems |Seiten=194–213 |Sprache=en}}
* {{Anker|Petkovšek}}{{Literatur |Autor=Marko Petkovšek |Titel=Ambiguous Numbers are Dense |Sammelwerk=American Mathematical Monthly |Band=97 |Nummer=5 |Datum=1990-05 |Seiten=408–411 |DOI=10.2307/2324393 |Sprache=en}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://welt-zeit-uhr.de/zahlensysteme/index.php Online-Umrechner] für verschiedene Zahlensysteme ([[JavaScript]])
* [http://umwandlung.bjoernj.de/ Umrechner für die Basen 2, 8, 10 und 16]
* [http://stellenwertsystem.hxg.at/ „Opas“ Stellenwertsystem des Tiroler Volksschullehrers Anton Haag]
* {{TIBAV |19902 |Linktext=Stellenwertsysteme (Teil 1) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19902}}
* {{TIBAV |19903 |Linktext=Stellenwertsysteme (Teil 2) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19903}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />
{{Navigationsleiste Stellenwertsysteme}}
{{Lesenswert|23. Januar 2006|12925200}}

[[Kategorie:Zahlensystem]]
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]