Quelltext der Seite metrischer Raum

[[metrisch]]-er [[Raum]]

Eine '''Metrik''' (auch '''Abstandsfunktion''') ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die je zwei [[Element (Mathematik)|Elementen]] (auch '''Punkte''' genannt) einer Menge (auch '''Raum''' genannt) einen [[Positive und negative Zahlen|nichtnegativen]] reellen Wert zuordnet. Dieser Wert wird (unter dieser Metrik) als ''Abstand'' der beiden Punkte voneinander bezeichnet. Unter einem '''metrischen Raum''' versteht man eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], auf der eine Metrik definiert ist.

Zu einer Menge kann es mehrere (nicht-äquivalente) Metriken geben.

== Formale Definition ==
Sei <math>X</math> eine beliebige Menge. Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>d\colon X\times X\to \mathbb{R}_0^{+}</math> heißt ''Metrik auf'' <math>X</math>, wenn für beliebige Elemente <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> von <math>X</math> die folgenden Eigenschaften gelten:<ref>{{Literatur| Autor=[[Rainer Wüst]]| Titel=Reelle Analysis und Lineare Algebra| Reihe=Mathematik für Physiker und Mathematiker| BandReihe=1| Auflage=2| Verlag=[[Wiley-Blackwell]]| Datum=2008| ISBN=978-3-52-761793-7| Seiten=394| Online=[https://www.google.de/books/edition/MATHEMATIK_f%C3%BCr_Physiker_und_Mathematike/N2YSVfwJ1hUC?gbpv=1&pg=PA394 Google Books]}}</ref>
{|
| (1) [[Positive Definitheit]]: || <math>d\left(x,y\right) \ge 0</math> &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp;  <math>d\left(x,y\right) = 0 \Longleftrightarrow x = y</math>,
|-
| (2) [[Symmetrische Funktion|Symmetrie]]: || <math>d\left(x,y\right) = d(y,x)</math>,
|-
| (3) [[Dreiecksungleichung]]: || <math>d\left(x,y\right) \leq d(x,z) + d(z,y)</math>.
|}

Übrigens kann die Forderung <math> d(x,y) \ge 0</math> weggelassen werden, denn sie folgt aus den anderen:
:{|
|-
|<math>0</math>|| style="width:12em" |  <math>= \frac{1}{2} d(x, x)</math>|| (1)
|-
| || <math>\leq \frac{1}{2}(d(x, y) + d(y, x))</math>|| (3)
|-
| || <math>= \frac{1}{2}(d(x, y) + d(x, y)) </math>|| (2)
|-
| || <math>= d(x, y).</math>
|}

== Grundbegriffe ==
<math>(X, d)</math> heißt metrischer Raum, wenn <math>d</math> eine Metrik auf <math>X</math> ist. Manche Autoren fordern zusätzlich, dass <math>X</math> eine [[Menge (Mathematik)#Nichtleere_Menge|nichtleere Menge]] sein soll. In der Praxis bezeichnet man zumeist <math>X</math> allein als den metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, dass in diesem Raum die Metrik <math>d</math> benutzt wird.

Eine [[Isometrie]] ist eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik – also die Abstände zwischen je zwei Punkten – erhält.

=== Durchmesser einer Untermenge in einem metrischen Raum ===
Eine Menge <math>A\subset X</math> wird beschränkt genannt, wenn die Größe
:<math>\sup\{d(x,y):x,y\in A\}</math>
endlich ist. Eine beschränkte Menge <math>A</math> hat <math>\operatorname{diam}(A):=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}</math> als endlichen Durchmesser.

== Verallgemeinerungen und Spezialisierungen ==
Durch Abschwächung, Weglassen oder Verschärfung von einer oder mehreren der Bedingungen (1) bis (3) ergeben sich verschiedene Verallgemeinerungen bzw. Spezialisierungen. Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen sind leider nicht für alle Gebiete der Mathematik, in denen sie verwendet werden, standardisiert. So wird speziell unter einer ''Semimetrik'' in der [[Funktionalanalysis]] etwas anderes verstanden als in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] (siehe unten).

=== Ultrametrik ===
{{Hauptartikel|Ultrametrik}}
Wird die Bedingung der Dreiecksungleichung dahingehend verschärft, dass der Abstand <math>d(x, y)</math> nicht länger sein darf als der längere der beiden Abstände <math>d(x, z)</math> und <math>d(z, y)</math> (mit beliebigem <math>z</math>), erhält man den Begriff der ''Ultrametrik''.

=== Pseudometrik ===
Wird auf die Bedingung <math>d\left(x,y\right) = 0 \Rightarrow x = y</math> verzichtet, so erhält man den Begriff der [[Pseudometrik]]. In der Funktionalanalysis wird hierfür auch die Bezeichnung Halbmetrik oder Semimetrik verwendet. In ''pseudometrischen Räumen'' können nichtidentische Punkte den Abstand 0 haben. Eine Pseudometrik ist positiv semidefinit, d.&nbsp;h. Abstände sind stets größer oder gleich 0.

=== Quasimetrik ===
Wird auf die Symmetrie verzichtet, erhält man den Begriff der Quasimetrik. Aus einer Quasimetrik <math>d'</math> lässt sich durch <math>d(x,y):= \tfrac{1}{2} ( d'(x,y) + d'(y,x) )</math> eine Metrik auf <math>X</math> erzeugen.

=== Pseudoquasimetrik ===
Verzichtet man auf beide in den zwei vorangegangenen Unterabschnitten erwähnten Bedingungen, erhält man den Begriff der Pseudoquasimetrik. Ein Raum mit Pseudoquasimetrik ist dasselbe wie eine (kleine) <math>(\R^+_0,\geq,+,0)</math>-[[angereicherte Kategorie]]. Lässt man darüber hinaus Abstände von <math>\infty</math> zu, mit den dafür naheliegenden Eigenschaften von <math>+</math> und <math>\geq</math>, erhält man "Lawvere metric spaces".<ref>{{nLab|metric+space|2=metric space}}</ref>

=== Nicht-archimedische Metriken ===
Wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt oder verschärft, dann erhält man nicht-archimedische Metriken. Ein Beispiel ist etwa <math>d(x,y) \leq K (d(x,z) + d(z,y))</math> für ein <math>K>1</math> oder die [[Ultrametrik]].

In der Topologie werden Metriken ohne Dreiecksungleichung manchmal auch als Semimetriken bezeichnet.

=== Prämetrik ===
Wird nur Nicht-Negativität und Bedingung (1) gefordert, dann spricht man von einer Prämetrik.
Auf <math>\R</math> ist zum Beispiel durch

: <math>d(x, y) = \begin{cases}
 1 & \text{falls } x > y \\
 |x-y| & \text{sonst }
\end{cases}</math>

eine solche Prämetrik definiert.

== Beispiele ==
=== Durch Normen erzeugte Metriken ===
Jede [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \|</math> auf einem [[Vektorraum]] <math>V</math> induziert durch die Festlegung

:<math>d(x, y) := \|x - y\|</math>

eine Metrik <math>d</math>. Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder [[Innenproduktraum]], [[Banachraum]] oder [[Hilbertraum]]) und jede Teilmenge davon ein metrischer Raum. 

In jeden [[Affiner Raum|affinen Raum]] <math>M</math> über einem normierten Vektorraum <math>V</math> erzeugt die Norm <math>\| \cdot \|</math> auf <math>V</math> eine Metrik <math>d</math> auf <math>M</math>, nämlich über die Norm des Verbindungsvektors vermöge

:<math>d(P, Q) := \|\overrightarrow{PQ}\|</math>. Somit ist jeder affine Raum über einem normierten Vektorraum ein metrischer Raum.

Eine Metrik, die aus einer [[P-Norm|''p''-Norm]] abgeleitet ist, heißt auch ''Minkowski-Metrik''. Wichtige Spezialfälle sind
* die ''[[Manhattan-Metrik]]'' zu <math>p = 1</math>
* die ''[[Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]]'' zu <math>p = 2</math>
* die ''[[Maximumsnorm|Maximum-Metrik]]'' zu <math>p = \infty</math>
Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich im Artikel [[Norm (Mathematik)]].

Aus einer ''p''-Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken der folgenden wichtigen Räume:
* der eindimensionale Raum der reellen oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit dem [[Betragsfunktion|absoluten Betrag]] als Norm (mit beliebigem <math>p</math>) und der dadurch gegebenen Betragsmetrik
::<math>d(x, y) := |x-y|</math>
* der [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] mit seiner durch den [[Satz des Pythagoras]] gegebenen euklidischen Metrik (zur [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] für <math>p = 2</math>)
::<math>d(x, y) := \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \dotsb + (x_n-y_n)^2}</math>

Als eine ''[[Fréchet-Metrik]]'' auf einem Vektorraum <math>V</math> wird gelegentlich eine Metrik

:<math>d(x, y) := \rho(x - y)</math>

bezeichnet, die von einer Funktion <math>\rho</math> induziert wird, welche die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist. Die Begriffsbildung kann auf affine Räume <math>M</math> über solchen Vektorräumen erweitert werden per

:<math>d(P, Q) := \rho(\overrightarrow{PQ})</math>.

Ein Raum mit einer Fréchet-Metrik ist ein [[Fréchet-Raum]], aber nicht jeder Fréchet-Raum hat eine Fréchet-Metrik.

=== Nicht durch Normen erzeugte Metriken ===
* Auf jeder Menge lässt sich eine [[Trivialität#Mathematik|triviale]] Metrik, die sogenannte gleichmäßig [[diskrete Metrik]] (die sogar eine Ultrametrik ist) definieren durch
*: <math>d(x,y) := \begin{cases}
 0 & \text{falls } x = y \\
 1 & \text{sonst }
\end{cases}</math>
:Sie induziert ''die diskrete Topologie''.

* Auf <math>\R</math> wird durch <math>\delta(x,y) := |\arctan(x)-\arctan(y)|\,</math> eine Metrik definiert. Bezüglich dieser Metrik ist <math>\R</math> nicht vollständig. So ist z.&nbsp;B. die Folge <math>(n)_{n\in \N}</math> eine <math>\delta</math>-[[Cauchy-Folge]], die nicht in <math>\R</math> konvergiert. Die von dieser Metrik erzeugte [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] stimmt zwar mit der Standardtopologie auf <math>\R</math> überein, aber die von den beiden Metriken induzierten [[Uniformer Raum|uniformen Strukturen]] sind offensichtlich verschieden.
* Im Allgemeinen nicht durch eine Norm induziert ist die [[riemannsche Metrik]], die aus einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] eine [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] macht. Beispiele dafür:
** die natürliche Metrik auf einer Kugeloberfläche, in der der [[Großkreis]] die kürzeste Verbindung ([[Geodäte]]) zwischen zwei Punkten ist;
** die uneigentliche Metrik im [[Minkowski-Raum]] <math>\R\times\R^3</math> der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]], in der ''[[Lichtkegel#Zeitartiger Differenzvektor|zeitähnliche]]'' Abstände durch [(Δt)<sup>2</sup> - (Δx/c)<sup>2</sup> - (Δy/c)<sup>2</sup> - (Δz/c)<sup>2</sup>]<sup>1/2</sup> und ''[[Lichtkegel#Raumartiger Differenzvektor|ortsähnliche]]'' Abstände durch [(Δx)<sup>2</sup> + (Δy)<sup>2</sup> + (Δz)<sup>2</sup> - (Δct)<sup>2</sup>]<sup>1/2</sup> gegeben sind;
** die von der Materieverteilung abhängige Verallgemeinerung dieser Metrik in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]].
* Die ''[[französische Eisenbahnmetrik]]'' ist ein beliebtes Übungsbeispiel für eine nicht durch eine Norm induzierte Metrik. Sie wird unter Bezugnahme auf einen ausgezeichneten Punkt <math>P</math> („[[Paris]]“) wie folgt definiert: Der Abstand zweier verschiedener Punkte, deren [[Verbindungsgerade]] durch <math>P</math> verläuft, ist ihr Abstand unter der gewöhnlichen euklidischen Metrik. Der Abstand zweier verschiedener Punkte, deren Verbindungsgerade nicht durch <math>P</math> verläuft, ist die Summe ihrer Abstände von <math>P</math>.
* Die [[Hausdorff-Metrik]] misst den Abstand zwischen ''[[Teilmenge]]n'', nicht ''Elementen'', eines metrischen Raums; man könnte sie als Metrik zweiten Grades bezeichnen, denn sie greift auf eine Metrik ersten Grades zwischen den Elementen des metrischen Raums zurück.
* Der [[Hamming-Abstand]] ist eine Metrik auf dem [[Codepoint|Coderaum]], die die Unterschiedlichkeit von (gleich langen) [[Zeichenkette]]n angibt.

== Erzeugte Topologie ==
Die [[Offene Menge#Offene Kugel|offenen Kugeln]] in einem metrischen Raum erzeugen (als [[Basis (Topologie)|Basis]]) eine [[Topologischer Raum|Topologie]], die von der Metrik induzierte Topologie.

Sind zwei metrische Räume <math>(M_1, d_1)</math> und <math>(M_2, d_2)</math> gegeben, dann heißen sie
*'''[[homöomorph]]''' (topologisch isomorph), wenn es einen Homöomorphismus (d.&nbsp;h. eine in beiden Richtungen [[Stetige Funktion|stetige Abbildung]]) zwischen ihnen gibt.
*'''[[Isometrie|isometrisch]]''', wenn es eine [[bijektiv]]e Isometrie zwischen ihnen gibt. Zwei isometrische Objekte im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] sind kongruent.<br />Ist <math>M_1 = M_2</math> und sind die Räume nicht isometrisch, dann gelten die Metriken <math>(M_1, d_1)</math> und <math>(M_1, d_2)</math> als nicht äquivalent. 
*'''[[Quasi-Isometrie|quasi-isometrisch]]''', wenn es eine Quasi-Isometrie zwischen ihnen gibt.

== Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen ==
{| class="float-right" style="text-align:center"
|+ '''Hierarchie topologischer<br /><span style="background:#DDDDFF;">Räume</span> und der zugehörigen <span style="background:#FFFF55;">Strukturen</span>'''
|-
|style="background-color:#DDDDFF" | [[Euklidischer Raum]] || style="width:3em;" |  <small>hat</small> || style="background-color:#FFFF55" | Skalarprodukt
|-
| <small>ist</small> || || <small>induziert</small>
|-
|style="background-color:#DDDDFF" | [[Normierter Raum]] || <small>hat</small> || style="background-color:#FFFF55" | Norm
|-
| <small>ist</small> || || <small>induziert</small>
|-
|style="background-color:#DDDDFF" | Metrischer Raum || <small>hat</small> || style="background-color:#FFFF55" | Metrik
|-
| <small>ist</small> || || <small>induziert</small>
|-
|style="background-color:#DDDDFF" | [[Uniformer Raum]] || <small>hat</small> || style="background-color:#FFFF55" | Uniforme Struktur
|-
| <small>ist</small> || || <small>induziert</small>
|-
|style="background-color:#DDDDFF" | [[Topologischer Raum]] || <small>hat</small> || style="background-color:#FFFF55" | Topologie
|}

Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale [[mathematische Struktur]]. Die globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]] von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen.

Der Begriff „[[topologischer Raum]]“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“:
Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]]). Jeder metrische Raum ist ein [[Hausdorff-Raum]].

Ein topologischer Raum heißt [[metrisierbar]], wenn er zu einem metrischen Raum [[homöomorph]] ist. Damit ist ein topologischer Raum ''(X,T)'' metrisierbar, wenn eine Metrik ''d'' auf ''X'' existiert, welche die Topologie ''T'' induziert.

Ein ''vollständiger metrischer Raum'' ist ein metrischer Raum, in dem jede [[Cauchy-Folge]] [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Siehe dazu den ausführlichen Artikel [[vollständiger Raum]]. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt [[Banachraum]]. Ein Banachraum, dessen Norm durch ein [[Skalarprodukt]] induziert ist, heißt [[Hilbertraum]].<br />Mangels struktureller Voraussetzungen lassen sich Cauchy-Folge und Vollständigkeit auf ''allgemeinen'' topologischen Räumen nicht definieren. Existiert wenigstens eine [[Uniformer Raum|uniforme Struktur]], dann gibt es [[Uniformer Raum#Vollständigkeit|Cauchy-Filter]] und die Möglichkeit der Vervollständigung, die jedem Cauchy-Filter einen Grenzwert zuordnet.

== Geschichte ==
Metrische Räume wurden 1906 von [[Maurice Fréchet]] in der Arbeit ''Sur quelques points du calcul fonctionnel'' erstmals verwendet.<ref>{{Literatur|Autor=[[Franz Lemmermeyer]]|Titel=Topologie|Sammelwerk=Lexikon der Mathematik|Auflage=1|Verlag=Spektrum Akademischer Verlag|Ort=Mannheim/Heidelberg|ISBN=978-3-8274-0439-8|Hrsg=Guido Walz|Datum=2000}}</ref> Der Begriff ''metrischer Raum'' wurde von [[Felix Hausdorff]] geprägt.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Otto Forster]] |Titel=Analysis 2: Differentialrechnung im R<sup>n</sup>, Gewöhnliche Differentialgleichungen |Auflage=11., erw. |Verlag=[[Springer Fachmedien Wiesbaden|Springer Spektrum]] |Ort=Wiesbaden |Datum=2017 |ISBN=978-3-658-19410-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung |Auflage=4., durchges. |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag|B.G. Teubner]] |Ort=Wiesbaden |Datum=2006 |ISBN=978-3-8351-0026-8}}
* Athanase Papadopoulos: ''Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature.'' [[European Mathematical Society]], Zürich 2004, ISBN 3-03719-010-8.
* {{Literatur |Autor=[[Boto von Querenburg]] |Titel=Mengentheoretische Topologie |Auflage=3., neu bearb. und erw. |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin/Heidelberg/New York |Datum=2001 |ISBN=978-3-540-67790-1 |DOI=10.1007/978-3-642-56860-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Metrischer Raum| ]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]