Quelltext der Seite pythagoräische Primzahl

In der [[Zahlentheorie]] ist eine '''pythagoräische Primzahl'''<ref>Zur Schreibweise: Im aktuellen ''Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden'' - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoräisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagor'''ä'''isch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.</ref> (vom englischen ''pythagorean prime'') eine [[Primzahl]] <math>p \in \mathbb N</math> der Form <math>p = 4n+1</math> mit <math>n \in \mathbb N</math> (nicht zu verwechseln mit [[Pythagoraszahl]]). Ist eine Primzahl keine pythagoräische Primzahl, so heißt sie '''nicht-pythagoräische Primzahl'''.

== Beispiele ==
* Die kleinsten pythagoräischen Primzahlen sind die folgenden:
: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, … ({{OEIS|A002144}})

== Eigenschaften ==
* Jede pythagoräische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden.
:: '''Beweis:'''
::: Der Beweis folgt direkt aus [[Zwei-Quadrate-Satz|Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten]]. Gelegentlich nennt man diesen Satz auch ''[[Albert Girard|Girard]]’s Theorem''.<ref>[[Leonard Eugene Dickson]]: ''History of the Theory of Numbers''. Volume II: ''Diophantine Analysis'', Chapter VI. Carnegie Institution of Washington, Publication No. 256, Vol. II, S. 228 (englisch); {{archive.org|historyoftheoryo02dickuoft|Blatt=228}}.</ref>
:: '''Beispiel:'''
::: <math>41=4^2+5^2</math>, <math>101=1^2+10^2</math>, …
* Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:
: Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoräische Primzahl.
:: '''Beweis:'''
::: Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:
::: Für das Quadrat einer geraden Zahl <math>n:=2k</math> mit <math>n, k \in \mathbb Z</math> gilt: <math>n^2=(2k)^2=4k^2 \equiv 0 \pmod 4</math>.
::: Für das Quadrat einer ungeraden Zahl <math>m:=2k+1</math> mit <math>m, k \in \mathbb Z</math> gilt: <math>m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod 4</math>.
::: Für ''ungerade'' Primzahlen <math>p \in \mathbb P</math> gilt: <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> (für pythagoräische Primzahlen) oder <math>p \equiv 3 \pmod 4</math> (für nicht-pythagoräische Primzahlen).
::: Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer <math> \equiv 0 \pmod 4</math>, <math> \equiv 1 \pmod 4</math> oder <math> \equiv 2 \pmod 4</math>, aber niemals <math>\equiv 3 \pmod 4</math>. Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur <math> \equiv 1 \pmod 4</math> übrig und das sind genau die pythagoräischen Primzahlen. <math>\Box</math>
* Für jede pythagoräische Primzahl <math>p \in \mathbb P</math> gibt es ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit [[Hypotenuse]]nlänge <math>\sqrt{p}</math>, welches ganzzahlige [[Kathete]]nlängen hat.<ref>{{Internetquelle |autor= [[John Stillwell]] |url=https://books.google.at/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA112&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |titel=Elements of Number Theory |hrsg=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |seiten=112 |datum=2003 |sprache=en |abruf=2018-06-28}}</ref>
 [[Datei:Squared right triangle.svg|mini|360px|Die pythagoräische Primzahl <math>p=5</math> und seine Quadratwurzel als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken und wie man aus dem kleinen Dreieck das große berechnen kann]]
:: '''Beweis:'''
::: Siehe [[Satz des Pythagoras]]
* Ist die Primzahl <math>p \in \mathbb P</math> die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist <math>p</math> eine pythagoräische Primzahl und größter Teil eines [[Pythagoreisches Tripel|pythagoräischen Tripels]].
* Es gibt unendlich viele pythagoräische Primzahlen.
:: '''Beweis:'''
::: Siehe [[Dirichletscher Primzahlsatz]]

== Das Primrennen zwischen 4n+1 und 4n+3 ==
Sei <math>x \in \mathbb N</math>. Dann gilt:
: Die Anzahl der pythagoräischen Primzahlen (der Form <math>4n+1</math>) bis <math>x</math> ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoräischen Primzahlen (der Form <math>4n+3</math>) bis <math>x</math>. Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoräischen Primzahlen bis <math>x</math> oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch ''Chebyshev’s bias'' und stammt vom [[Mathematiker]] [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]].<ref>{{MathWorld|id=ChebyshevBias|title=Chebyshev Bias}}</ref><ref>Michael Rubinstein, Peter Sarnak: ''Chebyshev’s bias''. In: ''[[Experimental Mathematics]]'', 1994, 3 (3), S. 173–197; [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.em/1048515870 projecteuclid.org] (PDF) abgerufen am 28. Juni 2018.</ref>

=== Beispiele ===
* Bis <math>x=600000</math> gibt es nur zwei Zahlen, unter denen ''mehr'' pythagoräische Primzahlen (der Form <math>4n+1</math>) als nicht-pythagoräische (ungerade) Primzahlen (der Form <math>4n+3</math>) existieren, nämlich <math>26861</math> und <math>26862</math>. Zwischen <math>26863</math> und <math>26878</math> sind es gleichviele und ab <math>26879</math> gibt es wieder mehr nicht-pythagoräische (ungerade) Primzahlen.
* Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ ''pythagoräische Primzahlen'' gegen ''nicht-pythagoräische (ungerade) Primzahlen'' stattfindet (auf Englisch ''Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader''):
: 3, 26861, 26879, 616841, 617039, 617269, 617471, 617521, 617587, 617689, 617723, 622813, 623387, 623401, 623851, 623933, 624031, 624097, 624191, 624241, 624259, 626929, 626963, 627353, 627391, 627449, 627511, 627733, 627919, 628013, 628427, 628937, 629371, … ({{OEIS|A007350}})

== Zusammenhang mit Gaußschen Primzahlen ==
Die [[Norm (Mathematik)#Normen auf endlichdimensionalen Vektorräumen|Norm]] einer [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahl]] der Form <math>x+ \mathrm i \cdot y</math> ist <math> \| x+ \mathrm i \cdot y \| = x^2+y^2</math>. Es gilt:
* Eine pythagoräische Primzahl (inklusive der Primzahl <math>p=2</math>) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoräische Primzahlen können das nicht.
* Eine pythagoräische Primzahl ist ''keine'' Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der [[Realteil]] <math>x</math> und der [[Imaginärteil]] <math>y</math> ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge <math>p</math>.
:: '''Beweis: '''
::: Es kann jede pythagoräische Primzahl <math>p=x^2+y^2</math> zerlegt werden in <math>p=x^2+y^2=(x+ \mathrm i \cdot y) \cdot (x- \mathrm i \cdot y)</math>.
* Vergleiche dazu auch die [[Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis]].

== Quadratische Reste ==
* Seien <math>p, q \in \mathbb P</math> zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei mindestens eine der beiden eine pythagoräische Primzahl sein soll. Dann gilt:<ref name="QuadRest">[https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/number/leit04.pdf math.uni-bielefeld.de] (PDF; 117&nbsp;kB) [[Universität Bielefeld]]</ref>
:: <math>p</math> ist [[quadratischer Rest]] modulo <math>q</math> genau dann, wenn <math>q</math> quadratischer Rest modulo <math>p</math> ist.
: Mit anderen Worten:
: Seien <math>p, q \in \mathbb P</math> mit <math>p >2, q>2, p \not= q</math> und <math>p \equiv 1 \pmod 4</math>. Dann gilt mit dem [[Legendre-Symbol]]:
:: <math>\left( \frac{p}{q} \right) = 1 \Longleftrightarrow \left( \frac{q}{p} \right) = 1</math>
: '''Beispiel:'''
:: Sei <math>p=37 \equiv 1 \pmod 4</math> und <math>q=47 \equiv 3 \pmod 4</math>. Dann ist <math>15^2 = 225 \equiv 37 \pmod {47}</math> und somit ist <math>37</math> quadratischer Rest modulo <math>47</math>. Umgekehrt ist <math>11^2 = 121 \equiv 84 \equiv 47 \equiv 10 \pmod {37}</math> und somit ist <math>47</math> quadratischer Rest modulo <math>37</math>.
* Seien <math>p, q \in \mathbb P</math> zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei ''beide'' nicht-pythagoräische Primzahlen sein sollen. Dann gilt:<ref name="QuadRest" />
:: <math>p</math> ist quadratischer Rest modulo <math>q</math> genau dann, wenn <math>q</math> ''kein'' quadratischer Rest modulo <math>p</math> ist.
: Mit anderen Worten:
: Seien <math>p, q \in \mathbb P</math> mit <math>p >2, q>2, p \not= q</math> und <math>p,q \equiv 3 \pmod 4</math>. Dann gilt:
:: <math>\left( \frac{p}{q} \right) = 1 \Longleftrightarrow \left( \frac{q}{p} \right) = -1</math>
: '''Beispiel:'''
:: Sei <math>p=47 \equiv 3 \pmod 4</math> und <math>q=43 \equiv 3 \pmod 4</math>. Dann ist <math>41^2 = 1681 \equiv 47 \equiv 4 \pmod {43}</math> und somit ist <math>47</math> quadratischer Rest modulo <math>43</math>. Umgekehrt gibt es aber kein <math>x</math> mit <math>x^2 \equiv 43 \pmod {47}</math> und somit ist <math>43</math> kein quadratischer Rest modulo <math>47</math>.

== Siehe auch ==
* [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]]

== Weblinks ==
[[Kategorie:Wikipedia.de Artikel]]
* {{Internetquelle
   |autor=Laurence Eaves
   |url=http://www.numberphile.com/videos/pythagorean_primes.html
   |titel=5, 13 and 137 are Pythagorean Primes
   |hrsg=Numberphile
   |abruf=2018-06-27}}
* {{PlanetMath |id=PythagoreanPrime |title=Pythagorean Prime}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Primzahlklassen}}

{{SORTIERUNG:Primzahl pythagoräische}}
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:pythagoräisch Auswahl]]