Sehnen-Bogen-Beweis

Der „Sehnen-Bogen-Beweis“ von [Nikolaus von Kues] (Cusanus) ist kein mathematischer Beweis im streng modernen Sinne, sondern ein philosophisch-geometrisches Gedankenexperiment, das auf die Unendlichkeit abzielt. Er findet sich unter anderem in seinen mathematischen Schriften wie De mathematica perfectione und De coniecturis.

Hier sind die Kernpunkte des Beweises:

• Grundidee (Annäherung): Cusanus betrachtet ein regelmäßiges Vieleck, das einem Kreis eingeschrieben ist. Je mehr Ecken () das Vieleck hat, desto mehr nähert sich der Umfang des Vielecks dem Kreisumfang an.
• Sehne und Bogen: Die Seite des Vielecks bildet eine Sehne (), die den zugehörigen Kreisbogen () verbindet. Cusanus argumentiert, dass mit steigender Eckenzahl () die Länge der Sehne gegen die Länge des Bogens konvergiert ().
• Der "Unendlichvieleck"-Beweis: Im „Unendlichvieleck“ (dem Kreis selbst) fallen Sehne und Bogen zusammen. Cusanus folgert daraus, dass die Unterscheidung zwischen gerader Linie (Sehne) und gekrümmter Linie (Bogen) im Unendlichen aufgehoben wird.
• Mathematische Intuition: Cusanus nutzt dies, um zu zeigen, dass sich das Verhältnis von Durchmesser und Umfang (die Kreiszahl ) durch die Betrachtung von Sehne und Bogen annähern lässt, da der Unterschied zwischen Bogen und Sehne gegen Null geht.
• Philosophischer Kontext: Dieser geometrische Ansatz dient ihm als Metapher für die theologische Erkenntnis: Die menschliche Vernunft ist ein Vieleck, das sich Gott (dem Kreis) durch "limes"-Bildung (Grenzwertbetrachtung) annähert, aber erst im „Unendlichen“ mit ihm identisch wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Cusanus die Identität von Sehne und Bogen im "Unendlichvieleck" postuliert, um eine geometrische Basis für seine Theorie des Coincidentia Oppositorum(Zusammenfall der Gegensätze) zu schaffen