„Linearität (Mathematik)“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 17. Oktober 2026, 10:52 Uhr

WP Linearität (von lat. līneāris ‚adjektivisch: Linien…‘)^[1] drückt eine Eigenschaft im Zusammenhang mit Linien aus. Der Begriff wird in der Mathematik hauptsächlich bei Räumen verwendet, in denen Geraden eine Rolle spielen, sowie bei strukturerhaltenen Abbildungen zwischen solchen Räumen. Weiterhin wird das Attribut Linearität auch in allgemeineren Situationen vergeben, in denen Objekte in einer Reihe angeordnet werden können, aber es sich nicht um Punkte einer Geraden im geometrischen Sinne handelt. Die folgende Zusammenstellung zeigt die wichtigsten Verwendungen:

die definierende Eigenschaft eines Vektorraums, man spricht auch von linearen Räumen.^[2]
die Eigenschaft einer Abbildung zwischen linearen Räumen, die eine lineare Struktur erhält, siehe lineare Abbildung.^[3]
die Eigenschaft einer geordneten Menge, dass je zwei Elemente vergleichbar sind, siehe lineare Ordnung.^[4]

Beachte: Der aus der Schulmathematik bekannte Begriff der linearen Funktion mit der Form $f (x) = m x + n$ ist für $n \neq 0$ keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, vielmehr handelt es sich dort um eine affine Abbildung.

Liste von Verwendungen

Viele weitere Verwendungen des Begriffs Linearität beziehen sich häufig, aber nicht ausschließlich, auf Situationen, in denen eine lineare Abbildung auftritt:

Bei der linearen Optimierung hat man es mit einer linearen Zielfunktion zu tun.
Die Linearität eines linearen Gleichungssystems $A x = b$ mit einer Matrix $A$ bezieht sich die auf Linearität der Abbildung $x \mapsto A x$ .
Die Linearität einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung oder einer linearen partiellen Differentialgleichung bezieht sich darauf, dass der zugehörige Differentialoperator linear ist.
Bei einer linearen Gruppendarstellung bezieht sich die Linearität darauf, dass die Gruppenelemente als lineare Abbildungen dargestellt werden.
Die Linearität in der linearen temporalen Logik bezieht sich auf die lineare Anordnung der Zeit.
Die Linearität bei einem linearen Graphen bezieht sich auf die Anordnung der Knoten, die alle auf einem Pfad liegen.
Die Linearität bei der linearen Regression bezieht sich auf den Umstand, dass die zu erklärende Zielgröße der Regressionsanalyse affin-linear von der Einflussgröße abhängt, siehe auch lineares Modell oder linearer Prädiktor für mehrere Einflussgrößen.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ līneāris. In: Latein-Deutsch Wörterbuch. PONS Langenscheidt, 2024, abgerufen am 30. November 2024.
↑ Silvia Barnert et al.: Vektorraum. In: Lexikon der Physik. Spektrum der Wissenschaft, 1998, abgerufen am 19. November 2024: „Vektorraum, linearer Raum, ein Raum über einem skalaren Körper, auch Vektorraum genannt, der durch die Verknüpfungen (Vektoraddition) und (Multiplikation mit Skalaren) definiert ist, ...“
↑ Guido Walz: Linearität. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Eigenschaft von Operatoren bzw. Abbildungen.“
↑ Guido Walz: Ordnungsrelation. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Man spricht bei (M, ≤) genau dann von einer linearen, konnexen, totalen oder vollständigen Ordnungsrelation und bezeichnet M als linear, konnex, total oder vollständig geordnet, wenn für alle a, b ∈ M gilt, daß a ≤ b oder b ≤ a. Beispiele für lineare Ordnungsrelationen sind ℕ, ℤ, ℚ und ℝ mit den üblichen Ordnungen.“

[1] līneāris. In: Latein-Deutsch Wörterbuch. PONS Langenscheidt, 2024, abgerufen am 30. November 2024.

[2] Silvia Barnert et al.: Vektorraum. In: Lexikon der Physik. Spektrum der Wissenschaft, 1998, abgerufen am 19. November 2024: „Vektorraum, linearer Raum, ein Raum über einem skalaren Körper, auch Vektorraum genannt, der durch die Verknüpfungen (Vektoraddition) und (Multiplikation mit Skalaren) definiert ist, ...“

[3] Guido Walz: Linearität. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Eigenschaft von Operatoren bzw. Abbildungen.“

[4] Guido Walz: Ordnungsrelation. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Man spricht bei (M, ≤) genau dann von einer linearen, konnexen, totalen oder vollständigen Ordnungsrelation und bezeichnet M als linear, konnex, total oder vollständig geordnet, wenn für alle a, b ∈ M gilt, daß a ≤ b oder b ≤ a. Beispiele für lineare Ordnungsrelationen sind ℕ, ℤ, ℚ und ℝ mit den üblichen Ordnungen.“

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+'''Linearität''' (von {{laS|līneāris|de=adjektivisch: Linien…}})<ref>{{Internetquelle |url=https://de.langenscheidt.com/latein-deutsch/linearis |titel=līneāris |werk=Latein-Deutsch Wörterbuch |hrsg=PONS Langenscheidt |datum=2024 |abruf=2024-11-30}}</ref> drückt eine Eigenschaft im Zusammenhang mit Linien aus. Der Begriff wird in der Mathematik hauptsächlich bei [[Raum (Mathematik)|Räumen]] verwendet, in denen Geraden eine Rolle spielen, sowie bei [[Mathematische Struktur|struktur]]erhaltenen [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zwischen solchen Räumen. Weiterhin wird das Attribut Linearität auch in allgemeineren Situationen vergeben, in denen Objekte in einer Reihe angeordnet werden können, aber es sich nicht um Punkte einer Geraden im geometrischen Sinne handelt. Die folgende Zusammenstellung zeigt die wichtigsten Verwendungen:
+* die definierende Eigenschaft eines [[Vektorraum]]s, man spricht auch von linearen Räumen.<ref>{{Internetquelle |autor= Silvia Barnert et al. |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/vektorraum/15115 |titel=Vektorraum |werk=Lexikon der Physik |hrsg=Spektrum der Wissenschaft |datum=1998 |abruf=2024-11-19 |zitat=Vektorraum, linearer Raum, ein Raum
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+* die Eigenschaft einer Abbildung zwischen linearen Räumen, die eine lineare Struktur erhält, siehe [[lineare Abbildung]].<ref>{{Internetquelle |autor=Guido Walz |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/linearitaet/5987 |titel=Linearität |werk=Lexikon der Mathematik |hrsg=Spektrum der Wissenschaft |datum=2017 |abruf=2024-11-19 |zitat=Eigenschaft von Operatoren bzw. Abbildungen.}}</ref>
+* die Eigenschaft einer [[Geordnete Menge|geordneten Menge]], dass je zwei Elemente vergleichbar sind, siehe [[lineare Ordnung]].<ref>{{Internetquelle |autor=Guido Walz |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ordnungsrelation/7560 |titel=Ordnungsrelation |werk=Lexikon der Mathematik |hrsg=Spektrum der Wissenschaft |datum=2017 |abruf=2024-11-19 |zitat=Man spricht bei (''M'', ≤) genau dann von einer linearen, konnexen, totalen oder vollständigen Ordnungsrelation und bezeichnet ''M'' als linear, konnex, total oder vollständig geordnet, wenn für alle ''a'', ''b'' ∈ ''M'' gilt, daß ''a'' ≤ ''b'' oder ''b'' ≤ ''a''. Beispiele für lineare Ordnungsrelationen sind '''ℕ''', '''ℤ''', '''ℚ''' und '''ℝ''' mit den üblichen Ordnungen.}}</ref>
+'''Beachte''': Der aus der Schulmathematik bekannte Begriff der [[lineare Funktion|linearen Funktion]] mit der Form <math>f(x) = mx + n</math> ist für <math>n \ne 0</math> keine lineare Abbildung im Sinne der [[lineare Algebra|linearen Algebra]], vielmehr handelt es sich dort um eine [[affine Abbildung]].
+== Liste von Verwendungen ==
+Viele weitere Verwendungen des Begriffs Linearität beziehen sich häufig, aber nicht ausschließlich, auf Situationen, in denen eine lineare Abbildung auftritt:
+* Bei der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]] hat man es mit einer linearen Zielfunktion zu tun.
+* Die Linearität eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] <math>Ax=b</math> mit einer Matrix <math>A</math> bezieht sich die auf Linearität der Abbildung <math>x\mapsto Ax</math>.
+* Die Linearität einer [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen gewöhnlichen Differentialgleichung]] oder einer [[Lineare partielle Differentialgleichung|linearen partiellen Differentialgleichung]] bezieht sich darauf, dass der zugehörige [[Differentialoperator]] linear ist.
+* Bei einer [[Darstellung (Gruppe)#Lineare Darstellungen|linearen Gruppendarstellung]] bezieht sich die Linearität darauf, dass die Gruppenelemente als lineare Abbildungen dargestellt werden.
+* Die Linearität in der [[Lineare temporale Logik|linearen temporalen Logik]] bezieht sich auf die lineare Anordnung der Zeit.
+* Die Linearität bei einem [[Linearer Graph|linearen Graphen]] bezieht sich auf die Anordnung der Knoten, die alle auf einem Pfad liegen.
+* Die Linearität bei der [[Lineare Regression|linearen Regression]] bezieht sich auf den Umstand, dass die zu erklärende Zielgröße der [[Regressionsanalyse]] affin-linear von der Einflussgröße abhängt, siehe auch [[lineares Modell]] oder [[linearer Prädiktor]] für mehrere Einflussgrößen.
+== Siehe auch ==
+* [[Bilinearität]]
+* [[Kollinearität]]
+* [[Linearisierung]]
+* [[Multilineare Abbildung|Multilinearität]]
+* [[Quasilineare Funktion|Quasilinearität]]
+* [[Sesquilinearität]]
+* [[Sublineare Funktion|Sublinearität]]
+== Einzelnachweise ==
+<references />
+{{SORTIERUNG:Linearitat (Mathematik)}}
+[[Kategorie:Liste (Mathematik)]]

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