„Unbegrenztmenge“ – Versionsunterschied
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*Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist. | |||
<p>Mit Hilfe der Definition der [https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_Menge endlichen Menge] lässt sich das wie folgt umformulieren:</p> | |||
*Eine Menge ist unendlich, wenn es keine natürliche Zahl <span class="mwe-math-element">[[file:a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b|alt={\displaystyle n}|300px]]</span> gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu <span class="mwe-math-element">[[file:8c9d880514ad2c67d30e2bacec2a815839c59beb|alt={\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}|116x20px]]</span> ist (für <span class="mwe-math-element">[[file:26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae|alt={\displaystyle n=0}|40x15px]]</span> ist das die [https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Menge leere Menge]), | |||
<p>mit dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahlen#Von_Neumanns_Modell_der_nat%C3%BCrlichen_Zahlen von-Neumannschen Modell] der natürlichen Zahlen noch kompakter als</p> | |||
*eine Menge ist unendlich, wenn sie nicht gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl (gemäß ihrer von-Neumannschen Darstellung) ist. | |||
<p>Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der [https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahlen natürlichen Zahlen] <span class="mwe-math-element">[[file:63e3652529d7af2451345ae27b4824d6118e1258|alt={\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}|133x20px]]</span> oder die Menge <span class="mwe-math-element">[[file:786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc|alt={\displaystyle \mathbb {R} }|12x15px]]</span> der [https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl reellen Zahlen].</p><div class="toctitle" dir="ltr" lang="de"> | |||
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*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Dedekind-Unendlichkeit <span class="tocnumber">1</span><span class="toctext">Dedekind-Unendlichkeit</span>] | |||
*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Existenz_unendlicher_Mengen <span class="tocnumber">2</span><span class="toctext">Existenz unendlicher Mengen</span>] | |||
*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Unterschiedliche_M%C3%A4chtigkeiten_unendlicher_Mengen <span class="tocnumber">3</span><span class="toctext">Unterschiedliche Mächtigkeiten unendlicher Mengen</span>] | |||
*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Siehe_auch <span class="tocnumber">4</span><span class="toctext">Siehe auch</span>] | |||
*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Literatur <span class="tocnumber">5</span><span class="toctext">Literatur</span>] | |||
*[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge#Einzelnachweise <span class="tocnumber">6</span><span class="toctext">Einzelnachweise</span>] | |||
Version vom 4. Mai 2024, 11:43 Uhr
unbegrenzt–Menge apol.-dt. 'unbegrenzte Menge', da unbegrenzt folglich 'unendliche Menge'
Unendliche Menge ist ein Begriff aus der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik. Schon die Verwendung der negierenden Vorsilbe un legt folgende Definition nahe:
- Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist.
Mit Hilfe der Definition der endlichen Menge lässt sich das wie folgt umformulieren:
- Eine Menge ist unendlich, wenn es keine natürliche Zahl {\displaystyle n} gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu {\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}} ist (für {\displaystyle n=0} ist das die leere Menge),
mit dem von-Neumannschen Modell der natürlichen Zahlen noch kompakter als
- eine Menge ist unendlich, wenn sie nicht gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl (gemäß ihrer von-Neumannschen Darstellung) ist.
Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der natürlichen Zahlen {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}} oder die Menge {\displaystyle \mathbb {R} } der reellen Zahlen.