Variable (Mathematik)

Eine Variable ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck. Der Begriff leitet sich vom lateinischen Adjektiv variabilis (‚veränderlich‘) ab. Gleichwertig werden auch die Begriffe Platzhalter oder Veränderliche benutzt. Als „Variable“ dienten früher Wörter oder Symbole, heute verwendet man zur mathematischen Notation in der Regel Buchstaben als Zeichen. Wird anstelle der Variablen ein konkretes Objekt eingesetzt, so ist „darauf zu achten, dass überall dort, wo die Variable auftritt, auch das gleiche Objekt benutzt wird.“

Ein Formelzeichen steht in der Physik und den Ingenieurwissenschaften für eine nicht notwendig numerisch festgelegte oder für eine zumindest anfangs noch veränderliche physikalische Größe oder Zahl. Die Formelzeichen für Größen sind im Allgemeinen einzelne Buchstaben, bei Bedarf ergänzt durch Indices oder andere modifizierende Zeichen.

Die Variablen, die in einer Gleichung vorkommen, nannte man in den Schulbüchern der Mathematik bis in die 1960er Jahre auch Unbekannte oder Unbestimmte. Beim Zusammentreffen mehrerer Variabler unterscheidet man abhängige und unabhängige Variable, aber nur, wenn ein Zusammenhang zwischen den Variablen besteht. Alle unabhängigen Variablen gehören zu einer Definitionsmenge oder einem Definitionsbereich, die davon abhängigen zu einer Wertemenge oder einem Wertebereich.

Entstehungsgeschichte

Das Konzept einer Variablen stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra (siehe auch Elementare Algebra). Schon etwa 2000 Jahre v. Chr. benutzten Babylonier und Ägypter Wörter als Wortvariable. Um 250 n. Chr. ist bei Diophantos von Alexandria der Übergang von der Wortalgebra zur Symbolalgebra zu erkennen. Er benutzt bereits Zeichen für die Unbekannte und ihre Potenzen sowie für Rechenoperationen. Diophants Schreibweise wurde von den Indern durch eine leistungsfähigere Zahlenschreibweise und durch Verwendung der Null und negativer Zahlen weiterentwickelt, z. B. von Aryabhata im 5. Jahrhundert n. Chr., Brahmagupta im 7. Jahrhundert n. Chr. oder Bhaskara II. im 12. Jahrhundert n. Chr. Die Variable hieß „yāvat-tāvat“ („soviel wie“) und bezeichnete ein beliebiges Objekt.Bei Rechnungen mit mehreren Variablen benutzten sie einen Buchstaben in verschiedenen Farben. Über die Araber gelangte das Wissen der Griechen und Inder ins spätmittelalterliche Abendland. Allerdings war die arabische Algebra wieder eine Wortalgebra. Mit Al-Chwarizmi begann die eigentliche Entwicklung der Algebra zu einem selbständigen Gebiet der Mathematik. In dem im Jahr 1202 erschienenen Liber Abaci von Leonardo von Pisa werden Buchstaben als Zeichen für beliebige Zahlen benutzt und auch negative Lösungen zugelassen. Jordanus Nemorarius (13. Jahrhundert) löste Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten. In Deutschland schufen zu Beginn des 16. Jahrhunderts z. B. Christoph Rudolff und Michael Stifel die formalen Grundlagen der modernen Algebra. Allgemein gilt François Viètemit seinem im Jahr 1591 erschienenen Buch In artem analyticam isagoge als Wegbereiter und Begründer unserer modernen Symbolalgebra. Bei René Descartes finden wir unsere moderne Symbolschreibweise. Nur für das Gleichheitszeichen benutzt er noch ein anderes Symbol. Er führte die Begriffe Variable, Funktion und rechtwinkliges Koordinatensystem ein. Descartes benutzte Variablen nur in algebraischen Ausdrücken. Mit Isaac Newton setzte sich die Vorstellung von "fließenden Größen" (Fluenten) durch, die aber erst durch Leonhard Euler ausdrücklich formuliert wurde. Dieser Begriff einer Veränderlichen und die Vorstellung einer Veränderlichen ist grundlegend für die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert sowohl von Newton als auch von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt wurde. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts bezog sich das Wort „Variable“ fast ausschließlich auf Argumente und Werte von Funktionen. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erwies sich die Gründung der Infinitesimalrechnung als nicht stabil genug, um mit den auftretenden Paradoxa fertig zu werden wie zum Beispiel der Vorstellung einer nirgends differenzierbaren, aber überall stetigen Funktion. Zur Lösung dieses Problems ersetzte Karl Weierstraß die intuitive Grenzwertvorstellung durch eine formale Definition. Als Folge dieser und anderer Präzisierungen intuitiver Begriffe auch angeregt durch David Hilbertentwickelte sich die moderne Vorstellung einer Variablen, die einfach nur ein Symbol für ein beliebiges Objekt jeglicher Art ist und nicht nur für ein mathematisches Objekt (Zahlen, Punkte, Geraden, Ebenen, Vektoren, Vektorräume etc.).

• 2Arten von Variablen
  • 2.1Unabhängige Variable
  • 2.2Abhängige Variable
  • 2.3Parameter
  • 2.4Konstanten
  • 2.5Weitere Variablenarten
• 3Elementare Anwendungen in Beispielen
  • 3.1Lineare Bestimmungsgleichungen
  • 3.2Funktionale Abhängigkeiten
  • 3.3Terme mit Variablen als Beweisprinzip
• 4Abgrenzung

Abgrenzung

Eine Zufallsvariable oder stochastische Variable ist keine Variable, sondern eine Funktion, deren Funktionswerte von den Zufallsergebnissen des zugehörigen Zufallsversuchs abhängen.

Literatur

• W. Krysicki: Keine Angst vor x und y. BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1984, ISBN 3-322-00411-2 (2. Aufl., 1987).
• G. Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Vieweg Verlag Braunschweig, 1993, ISBN 3-528-06319-X.
• W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. Aulis Verlag Köln, 1999, ISBN 3-7614-2125-7.
• W. Popp: Wege des exakten Denkens. Verlag Ehrenwirth München, 1981, ISBN 3-431-02416-5.
• Schüler-Duden. Die Mathematik I. Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2.

Weblinks

Wiktionary: Variable – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. Norbert Henze, Günter Last: Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge, Band 1. Vieweg, 2003, S. 7.
2. EN ISO 80000-1:2013, Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines. Nr. 7.1.1.
3. DIN 1304-1:1994 Formelzeichen – Allgemeine Formelzeichen.
4. Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994, S. 68, ISBN 3-411-17491-9.
5. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner, 2010.
6. Jürgen Koch, Martin Stämpfle: Mathematik für das Ingenieurstudium. Carl Hanser, 2013.
7. W. Popp: Wege des exakten Denkens. S. 122 ff.
8. W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 164 f.
9. Hans Wussing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 99.
10. John Tabak: Algebra. Sets, Symbols, and the Language of Thought. Infobase Publishing, New York. 2014, S. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.
11. W. Popp: Wege des exakten Denkens. S. 129.
12. W. Krysicki: Keine Angst vor x und y., S. 8.
13. W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 165–166.
14. Hans Wussing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 132.
15. W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 168–169
16. W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 170
17. Hans Wussing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 191–192.
18. Hans Wussing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 192.
19. Willard V. Quine: Variables explained away. (PDF; 824 kB). In: cpb-us-w2.wpmucdn.com. Proceedings of the American Philosophical Society 104:343–347 (1960). Zitat auf Seite 343: „Variables, of course lend themselves to discourse not only of numbers but of objects of any sort.“