Bayesianische Erkenntnistheorie

Die Bayesianische Erkenntnistheorie ist ein formaler Ansatz zu verschiedenen Themen der Erkenntnistheorie, der seine Wurzeln in den Werken von Thomas Bayes auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie hat. Ein Vorteil ihrer formalen Methode gegenüber der traditionellen Erkenntnistheorie besteht darin, dass ihre Konzepte und Theoreme mit hoher Präzision definiert werden können.

Sie basiert auf der Idee, dass Glaube im Bezug auf subjektive Wahrscheinlichkeit verstanden werden kann. Als solche sind sie den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie unterworfen, die als Rationalitätsnormen fungieren. Diese Normen können in statische Bedingungen und dynamische Bedingungen unterteilt werden. Diese Bedingungen regeln, ob ein Glaube zu einem gewissen Zeitpunkt rational ist und ob bei Erhalt neuer Belege eine Änderung stattfinden soll. Der charakteristischste Bayesianische Ausdruck dieser Prinzipien findet sich in Form der sogenannten „Dutch books“, die die Irrationalität von Handelnden durch eine Reihe von Wetten veranschaulichen, die zu einem Verlust für den Handelnden führen, unabhängig davon, welches der probabilistischen Ereignisse eintritt. Bayesianer haben diese Grundprinzipien auf verschiedene erkenntnistheoretische Themen angewendet, aber der Bayesianismus deckt nicht alle Themen der traditionellen Erkenntnistheorie ab. Das Problem der Bestätigung in der Wissenschaftstheorie kann beispielsweise durch das Bayesianische Prinzip der Konditionalisierung angegangen werden, indem man davon ausgeht, dass ein Beleg eine Theorie bestätigt, wenn er die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass diese Theorie wahr ist.

Es gibt verschiedene Vorschläge, den Begriff der Kohärenz in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit zu definieren, meist in dem Sinne, dass zwei Aussagen kohärent sind, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Konjunktion höher ist, als wenn sie neutral zueinander stehen würden. Der Bayesianische Ansatz hat sich auch auf dem Gebiet der sozialen Erkenntnistheorie als fruchtbar erwiesen, zum Beispiel in Bezug auf darauf, inwiefern man den Behauptungen anderer vertrauen kann. Der Bayesianismus sieht sich immer noch mit verschiedenen theoretischen Einwänden konfrontiert, die noch nicht vollständig gelöst sind.

Beziehung zur traditionellen Erkenntnistheorie

Die traditionelle Erkenntnistheorie und die Bayesianische Erkenntnistheorie sind beide Formen der Erkenntnistheorie, unterscheiden sich jedoch in verschiedenen Punkten, beispielsweise hinsichtlich ihrer Methodik, ihrer Interpretation des Glaubens, der Rolle, die Rechtfertigung oder Bestätigung in ihnen spielen, und einiger ihrer Forschungsinteressen. Die traditionelle Erkenntnistheorie befasst sich mit Themen wie der Analyse der Natur des Wissens, meist in Bezug auf gerechtfertigten wahren Glauben, den Quellen des Wissens, wie Wahrnehmung, der Struktur eines Wissensbestandes, zum Beispiel in Form von Fundamentalismus oder Kohärentismus, und dem Problem der philosophischen Skepsis oder der Frage, ob Wissen überhaupt möglich ist. Diese Untersuchungen basieren normalerweise auf epistemischen Intuitionen und betrachten Glaubenssätze als entweder vorhanden oder abwesend. Die Bayesianische Erkenntnistheorie hingegen arbeitet mit der Formalisierung von Begriffen und Problemen, die im traditionellen Ansatz oft vage sind. Sie konzentriert sich dabei stärker auf mathematische Intuitionen und verspricht ein höheres Maß an Präzision. Sie betrachtet Glauben als ein kontinuierliches Phänomen, das in verschiedenen Abstufungen auftritt, den sogenannten Glaubensgraden (credences). Einige Bayesianer haben sogar vorgeschlagen, dass der herkömmliche Glaubensbegriff aufgegeben werden sollte.

Es gibt aber auch Vorschläge, die beiden miteinander zu verbinden, zum Beispiel die Locke'sche These (Lockean thesis), die den Glauben als Glaubensgrad über einem bestimmten Schwellenwert definiert. In der traditionellen Erkenntnistheorie spielt die Rechtfertigung eine zentrale Rolle, wohingegen sich die Bayesianer auf die damit verwandten Begriffe der Bestätigung und Nichtbestätigung durch Belege konzentriert haben. Für beide Ansätze sind Belege wichtig, aber nur der traditionelle Ansatz ist an der Untersuchung der Quellen der Belege, wie Wahrnehmung und Gedächtnis, interessiert. Der Bayesianismus hingegen hat sich auf die Rolle von Belegen für Rationalität konzentriert: wie die Glaubensgrade einer Person nach Erhalt neuer Belege angepasst werden sollten. Es besteht eine Analogie zwischen den Bayesianischen Rationalitätsnormen in Bezug auf Wahrscheinlichkeitsgesetze und den traditionellen Rationalitätsnormen in Bezug auf die deduktive Konsistenz. Bestimmte traditionelle Probleme, wie das Thema der Skepsis gegenüber unserem Wissen über die Außenwelt, lassen sich nur schwer in Bayesianischen Begriffen ausdrücken.

Grundlagen

Die Bayesianische Erkenntnistheorie basiert auf einigen wenigen Grundprinzipien, die zur Definition verschiedener anderer Begriffe verwendet und auf viele Themen der Erkenntnistheorie angewendet werden können. Im Kern stellen diese Prinzipien Bedingungen dafür dar, welche Glaubensgrade wir verschiedenen Propositionen zuschreiben sollten. Sie bestimmen, was eine ideal rationale Person glauben würde. Die Grundprinzipien können unterteilt werden in synchrone oder statische Prinzipien, die regeln, wie Glaubensgrade zu jedem Zeitpunkt zugewiesen werden, und diachrone oder dynamische Prinzipien, die festlegen, wie diese Glaubensgrade geändert werden sollten, wenn man neue Belege erhält. Die Wahrscheinlichkeitsaxiome und das „principal principle“ gehören zu den statischen Prinzipien, während das Prinzip der Konditionalisierung die dynamischen Aspekte als eine Form der probabilistischen Inferenz regelt. Der charakteristischste Bayesianische Ausdruck dieser Prinzipien findet sich in Form der sogenannten Dutch books, die die Irrationalität von Handelnden durch eine Reihe von Wetten veranschaulichen, die zu einem Verlust für den Handelnden führen, unabhängig davon, welches der probabilistischen Ereignisse eintritt. Dieser Test zur Feststellung von Irrationalität wird auch als „pragmatischer Selbstdemontagetest“ (pragmatic self-defeat test) bezeichnet.

Grundlagen

Die Bayesianische Erkenntnistheorie basiert auf einigen wenigen Grundprinzipien, die zur Definition verschiedener anderer Begriffe verwendet und auf viele Themen der Erkenntnistheorie angewendet werden können. Im Kern stellen diese Prinzipien Bedingungen dafür dar, welche Glaubensgrade wir verschiedenen Propositionen zuschreiben sollten. Sie bestimmen, was eine ideal rationale Person glauben würde. Die Grundprinzipien können unterteilt werden in synchrone oder statische Prinzipien, die regeln, wie Glaubensgrade zu jedem Zeitpunkt zugewiesen werden, und diachrone oder dynamische Prinzipien, die festlegen, wie diese Glaubensgrade geändert werden sollten, wenn man neue Belege erhält. Die Wahrscheinlichkeitsaxiome und das „principal principle“ gehören zu den statischen Prinzipien, während das Prinzip der Konditionalisierung die dynamischen Aspekte als eine Form der probabilistischen Inferenz regelt. Der charakteristischste Bayesianische Ausdruck dieser Prinzipien findet sich in Form der sogenannten Dutch books, die die Irrationalität von Handelnden durch eine Reihe von Wetten veranschaulichen, die zu einem Verlust für den Handelnden führen, unabhängig davon, welches der probabilistischen Ereignisse eintritt. Dieser Test zur Feststellung von Irrationalität wird auch als „pragmatischer Selbstdemontagetest“ (pragmatic self-defeat test) bezeichnet.

Glaube, Wahrscheinlichkeit und Wetten

Ein wichtiger Unterschied zur traditionellen Erkenntnistheorie besteht darin, dass sich die Bayesianische Erkenntnistheorie nicht auf den Begriff des einfachen Glaubens konzentriert, sondern auf den Begriff der Glaubensgrade, sogenannte „credences“. Dieser Ansatz versucht, die Idee der Gewissheit zu erfassen: Wir glauben an verschiedenste Behauptungen, aber wir sind uns bei einigen sicherer, z. B. dass die Erde rund ist, als bei anderen, z. B. dass Platon der Autor des ersten Alkibiades war. Diese Grade treten in Werten zwischen 0 und 1 auf. 1 entspricht dem vollständigen Glauben der Behauptung, 0 entspricht dem vollständigen Unglauben, d. h. dem Glauben an das Gegenteil. Und 0,5 entspricht einem Nichtglauben, d. h. es wird weder die Behauptung noch ihr Gegenteil geglaubt. Laut der Bayesianischen Wahrscheinlichkeitsinterpretation stehen Glaubensgrade für subjektive Wahrscheinlichkeiten. In Anlehnung an Frank P. Ramsey werden sie im Sinne der Bereitschaft interpretiert, Geld auf eine Behauptung zu wetten. Ein Glaubensgrad von 0,8 (d. h. 80 %), dass Ihre Lieblingsfußballmannschaft das nächste Spiel gewinnt, würde also bedeuten, dass Sie bereit sind, bis zu vier Euro aufs Spiel zu setzen, um die Chance zu haben, einen Euro Gewinn zu erzielen. Diese Darstellung stellt eine enge Verbindung zwischen der Bayesianischen Erkenntnistheorie und der Entscheidungstheorie her.

Es mag den Anschein haben, dass das Wettverhalten nur ein Spezialgebiet ist und als solches nicht geeignet ist, einen so allgemeinen Begriff wie Glaubensgrade zu definieren. Aber, wie Ramsey argumentiert, wetten wir ständig, wenn man dies im weitesten Sinne versteht. Wenn wir zum Beispiel zum Bahnhof gehen, wetten wir darauf, dass der Zug pünktlich kommt, sonst wären wir zu Hause geblieben. Aus der Interpretation von Glaubensgraden im Sinne der Wettbereitschaft folgt, dass es irrational wäre, irgendeiner Aussage einen Glaubensgrad von 0 oder 1 zuzuschreiben, außer bei Widersprüchen und Tautologien. Der Grund hierfür ist, dass die Zuschreibung dieser Extremwerte bedeuten würde, dass man bereit wäre, alles zu wetten, einschließlich des eigenen Lebens, selbst wenn der mögliche Gewinn minimal wäre. Ein weiterer negativer Nebeneffekt solch extremer Glaubensgrade ist, dass sie dauerhaft fixiert sind und nicht mehr aktualisiert werden können, wenn man neue Belege erhält.

Dieser zentrale Grundsatz des Bayesianismus, dass Glaubensgrade als subjektive Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden und daher den Wahrscheinlichkeitsnormen unterliegen, wird als Probabilismusbezeichnet. Diese Normen drücken die Natur der Glaubensgrade von ideal rationalen Personen aus. Sie stellen keine Anforderungen daran, welchen Glaubensgrad wir zu einem bestimmten Glaubenssatz haben sollten, zum Beispiel, ob es morgen regnen wird. Stattdessen schränken sie das Glaubenssystem als Ganzes ein. Bei einem Glaubensgrad von 0,8, dass es morgen regnen wird, sollte beispielsweise der Glaubensgrad in die gegenteilige Proposition, nämlich dass es morgen nicht regnen wird, 0,2 betragen, nicht 0,1 oder 0,5. Laut Stephan Hartmann und Jan Sprenger lassen sich die Axiome der Wahrscheinlichkeit durch die folgenden beiden Gesetze ausdrücken: (1) 𝑃(𝐴) = 1 für jede Tautologie 𝐴; (2) für inkompatible (sich gegenseitig ausschließende) Propositionen 𝐴 and 𝐵, 𝑃(𝐴 ⋁ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

Ein weiteres wichtiges Bayesianisches Prinzip der Glaubensgrade ist das von David Lewis stammende „principal principle“. Es besagt, dass unser Wissen über objektive Wahrscheinlichkeiten mit unseren subjektiven Wahrscheinlichkeiten in Form von Glaubensgraden übereinstimmen sollte. Wenn Sie also wissen, dass die objektive Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze auf Kopf landet, bei 50 % liegt, dann sollte Ihr Glaubensgrad, dass die Münze auf Kopf landet, bei 0,5 liegen.

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome bestimmen zusammen mit dem principal principle den statischen oder synchronen Aspekt der Rationalität: wie die Glaubensgrade einer Person aussehen sollten, wenn man sie nur einen Moment betrachtet. Rationalität beinhaltet aber auch einen dynamischen oder diachronen Aspekt, der beim Ändern der eigenen Glaubensgrade ins Spiel kommt, wenn man mit neuen Belegen konfrontiert wird. Dieser Aspekt wird durch das Prinzip der Konditionalisierung bestimmt.

Das Prinzip der Konditionalisierung regelt, wie sich die Glaubensgrade einer Person an eine Hypothese ändern sollte, wenn sie neue Belege für oder gegen diese Hypothese erhält. Als solches drückt es den dynamischen Aspekt des Verhaltens ideal rationaler Personen aus. Es basiert auf dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit, die das Maß für die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Ereignis eintritt, wenn ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass 𝐴 eintritt, wird gewöhnlich mit 𝑃(𝐴) ausgedrückt, während die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass 𝐴 eintritt, wenn 𝐵  bereits eingetreten ist, als 𝑃(𝐴|𝐵)  geschrieben wird. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei zwei Würfen zweimal auf Kopf landet, nur 25 %. Aber die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies eintritt, wenn die Münze schon beim ersten Wurf auf Kopf gelandet ist, beträgt dann 50 %. Das Prinzip der Konditionalisierung wendet diese Idee auf Glaubensgrade an: Wir sollten unseren Glaubensgrad, dass die Münze zweimal auf Kopf landet, ändern, wenn wir einen Beleg dafür erhalten, dass sie bereits beim ersten Wurf auf Kopf gelandet ist. Die Wahrscheinlichkeit, die der Hypothese vor dem Ereignis zugewiesen wurde, wird als A-priori-Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit danach ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit. Nach dem einfachen Prinzip der Konditionalisierunglässt sich dies folgendermaßen ausdrücken: . Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist, ist also gleich der bedingten A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese bei Eintreten des Belegs wahr ist, welche wiederum gleich der A-priori-Wahrscheinlichkeit ist, dass sowohl die Hypothese wahr ist und der Beleg eintritt, geteilt durch die A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Beleg eintritt. Der ursprüngliche Ausdruck dieses Prinzips, der sogenannte Satz von Bayes, kann direkt aus dieser Formulierung abgeleitet werden.