Natur der Logik

←Philosophie der Logik

▶Der Begriff „Logik“ geht auf das griechische Wort λόγος logos zurück, das mit verschiedenen Bedeutungen in Verbindung gebracht wird, wie „Vernunft“, „Diskurs“ oder „Sprache“. Es gibt viele Meinungsverschiedenheiten darüber, was Logik ist und wie sie definiert werden sollte. Im Allgemeinen werden der Logik verschiedene Eigenschaften zugeschrieben, wie zum Beispiel, dass sie die Beziehung zwischen Prämissen und Konklusionen untersucht und dass dies auf eine themenneutrale Weise geschieht. Eine wichtige Aufgabe der Philosophie der Logik ist es, die Kriterien zu untersuchen, nach denen ein formales System als Logik gelten soll. Verschiedene Auffassungen von Logik verstehen sie entweder auf der Grundlage gültiger Schlussfolgerungen oder logischer Wahrheit. Die Kriterien des gültigen Schließens und der logischen Wahrheit können ihrerseits auf unterschiedliche Weise spezifiziert werden: basierend auf syntaktischen oder semantischen Überlegungen.

Allgemeine Merkmale

Traditionell wird Logik oft als die Disziplin verstanden, die Denkgesetze untersucht. Ein Problem für diese Charakterisierung ist, dass die Logik keine empirische Disziplin ist, die die Regelmäßigkeiten im tatsächlichen menschlichen Denken untersucht: Dieses Thema gehört zur Psychologie. Dies wird besser durch eine andere Charakterisierung erfasst, die manchmal in der Literatur zu finden ist: Die Logik befasst sich mit den Gesetzen des richtigen Denkens oder, genauer gesagt, des richtigen Schlussfolgerns. Dies spiegelt die praktische Bedeutung der Logik als Werkzeug zur Verbesserung des eigenen Denkens wider, indem man gute Schlüsse zieht und sich möglicher Fehler bewusst wird. Die Logik wurde auch als die Wissenschaft der gültigen Argumentation definiert. Dies spiegelt die Definition in Bezug auf das Schlussfolgern wider, da Argumentation als äußerer Ausdruck des inneren Schlussfolgerns verstanden werden kann.

Die Logik wird oft als formale Grundlage allen Wissens angesehen. Als formale Wissenschaft steht sie im Gegensatz zu den materiellen oder empirischen Wissenschaften, wie der Physik oder der Biologie, da sie sich hauptsächlich mit inferenziellen Beziehungen zwischen Propositionen beschäftigt, nicht aber damit, ob diese Propositionen tatsächlich wahr sind. Wenn man beispielsweise aus der Proposition „Alle Monde bestehen aus Käse“ ableitet, dass „der Mond der Erde aus Käse besteht“, so ist dies eine gültige Schlussfolgerung. Der Fehler in diesem Beispiel ist auf eine falsche Prämisse zurückzuführen, die zur empirischen Astronomie gehört.

Ein zentrales Merkmal der Logik ist, dass sie themenneutral ist. Dies bedeutet, dass sie sich mit der Gültigkeit von Argumenten beschäftigt, unabhängig vom Gegenstand dieser Argumente. In diesem Sinne befassen sich die regulären Wissenschaften mit dem korrekten Denken innerhalb eines bestimmten Forschungsgebiets, beispielsweise in Bezug auf materielle Körper für die klassische Mechanik oder Lebewesen für die Biologie, während sich die Logik mit dem korrekten Denken im Allgemeinen befasst, welches für alle diese Disziplinen gilt. Ein Problem bei dieser Charakterisierung ist, dass nicht immer klar ist, wie die Begriffe „themenneutral“ und „Gegenstand“ in diesem Zusammenhang zu verstehen sind. So könnte man zum Beispiel argumentieren, dass die Logik erster Stufe aufgrund ihrer Verwendung von singulären Termen und Quantoren Individuen zum Gegenstand hat und daher nicht vollständig themenneutral ist. Eine eng verwandte Charakterisierung besagt, dass sich die Logik eher mit der Form von Argumenten als mit ihrem Inhalt befasst. Aus dieser Sicht können die regulären Wissenschaften als Suche nach wahren Prämissen angesehen werden, während die Logik untersucht, wie man Schlussfolgerungen aus diesen oder anderen Prämissen zieht. Aber auch diese Charakterisierung ist nicht unproblematisch, da es schwierig ist, zwischen Form und Inhalt zu unterscheiden. Da beispielsweise die temporale Logik von der Zeit spricht, würde dies zu der unplausiblen Konklusion führen, dass die Zeit zur Form und nicht zum Inhalt von Argumenten gehört.Diese Schwierigkeiten haben einige Theoretiker daran zweifeln lassen, dass die Logik einen klar bestimmbaren Geltungsbereich oder einen wesentlichen Charakter hat.

Logische und nicht-logische formale Systeme

Ein Ansatz zur Bestimmung der Natur der Logik besteht darin, die verschiedenen formalen Systeme, die als „Logiken“ bezeichnet werden, zu untersuchen, um herauszufinden, was für sie alle wesentlich ist, d. h. was sie zu Logiken macht. Formale Systeme der Logik sind Systematisierungen logischer Wahrheiten, die auf bestimmten Prinzipien basieren, den sogenannten Axiomen. Was die formale Logik betrifft, so ist eine zentrale Frage in der Philosophie der Logik, was ein formales System zu einem System der Logik macht und nicht zu einer Sammlung bloßer Zeichen zusammen mit Regeln, wie diese Zeichen zu manipulieren sind. Es wurde argumentiert, dass eine zentrale Anforderung darin besteht, dass die Zeichen, und wie sie manipuliert werden, so interpretiert werden können, dass sie die grundlegenden Intuitionen über gültige Argumente widerspiegeln. Dies würde zum Beispiel bedeuten, dass es Wahrheitswerte gibt und dass das Verhalten einiger Zeichen dem von logischen Operatoren wie Negation oder Konjunktion entspricht. Basierend auf dieser Charakterisierung vertreten einige Theoretiker die Auffassung, dass bestimmte formale Systeme, wie etwa die dreiwertige Logik oder die Fuzzylogik, zu weit vom allgemein akzeptierten Begriff der Logik abweichen, um als logische Systeme betrachtet zu werden. Eine solche Position kann auf der Grundlage der Idee verteidigt werden, dass sie durch die Ablehnung einiger grundlegender logischer Annahmen eine zu radikale Abkehr von grundlegenden logischen Intuitionen beinhalten, um als Logik betrachtet zu werden. Es wurde vorgeschlagen, dass die Ablehnung des Prinzips der Bivalenz der Wahrheit, d. h. dass Propositionen entweder wahr oder falsch sind, einen solchen Fall darstellt. Metalogiker vertreten zuweilen die Auffassung, dass logische Vollständigkeit eine notwendige Voraussetzung logischer Systeme ist. Ein formales System ist vollständig, wenn es möglich ist, aus seinen Axiomen jeden Satz abzuleiten, der zu ihm gehört. Dies würde bedeuten, dass nur formale Systeme, die vollständig sind, als logische Systeme verstanden werden sollten. Ein umstrittenes Argument für diesen Ansatz ist, dass unvollständige Theorien nicht vollständig formalisiert werden können, was im Widerspruch zum formalen Charakter der Logik steht. Nach dieser Auffassung stellt die Logik erster Stufe ein logisches System dar. Dies würde aber auch bedeuten, dass „Logiken“ höherer Stufe aufgrund ihrer Unvollständigkeit streng genommen keine Logiken sind.

Konzeptualisierung anhand von gültiger Schlussfolgerung oder logischer Wahrheit

Die Logik wird häufig als das Studium gültiger oder korrekter Schlussfolgerungen definiert. Nach dieser Auffassung ist es die Aufgabe der Logik, eine allgemeine Darstellung des Unterschieds zwischen richtigen und falschen Schlussfolgerungen zu liefern. Eine Schlussfolgerung ist eine Reihe von Prämissen zusammen mit einer Konklusion. Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn die Konklusion aus den Prämissen folgt, d. h. wenn die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion gewährleistet. Eine andere Möglichkeit, Logik zu definieren, ist als das Studium der logischen Wahrheit. Die logische Wahrheit ist eine besondere Form der Wahrheit, da sie nicht davon abhängt, wie die Dinge sind, also davon, welche mögliche Welt wirklich ist. Stattdessen ist eine logisch wahre Proposition in allen möglichen Welten wahr. Ihre Wahrheit beruht ausschließlich auf der Bedeutung der darin enthaltenen Begriffe, unabhängig von allen empirischen Tatsachen. Es gibt eine wichtige Verbindung zwischen diesen beiden Konzeptualisierungen: Ein Schluss von den Prämissen auf eine Konklusion ist gültig, wenn die materiale Implikation von den Prämissen zu der Konklusion logisch wahr ist. Beispielsweise ist die Schlussfolgerung von „Rosen sind rot und Gras ist grün“ zu „Rosen sind rot“ gültig, da die materiale Implikation „wenn Rosen rot und Gras grün sind, dann sind Rosen rot“ logisch wahr ist.

Konzeptualisierung anhand von Syntax oder Semantik

Ob Logik als das Studium von gültigen Schlussfolgerungen oder der logischen Wahrheit definiert wird, lässt die genauen Kriterien dieser Begriffe offen. Es gibt zwei wichtige Möglichkeiten, diese Kriterien zu spezifizieren: den syntaktischen und den semantischen Ansatz, manchmal auch als deduktiv-theoretischer und modelltheoretischer Ansatz bezeichnet. In diesem Sinne kann eine Logik als eine formale Sprache zusammen mit entweder einer deduktiv-theoretischen oder einer modelltheoretischen Darstellung der logischen Konsequenzrelation definiert werden. Der syntaktische Ansatz versucht, diese Merkmale nur auf der Grundlage syntaktischer oder formaler Merkmale der Prämissen und der Konklusion zu erfassen. Dies wird in der Regel dadurch erreicht, dass sie durch eine formale Symbolik ausgedrückt werden, um diese Merkmale explizit und unabhängig von den Mehrdeutigkeiten und Unregelmäßigkeiten der natürlichen Sprache zu machen. In diesem Formalismus hängt die Gültigkeit von Argumenten nur von der Struktur des Arguments ab, insbesondere von den logischen Konstanten, die in den Prämissen und der Konklusion verwendet werden. Nach dieser Auffassung ist eine Proposition dann und nur dann eine logische Folge einer Gruppe von Prämissen, wenn der Satz aus diesen Prämissen ableitbar ist. Diese Ableitung geschieht unter Verwendung von Schlussregeln. Dies bedeutet, dass es für ein gültiges Argument nicht möglich ist, wahre Prämissen mit einer falschen Konklusion zu erzeugen, indem ihre Bestandteile durch Elemente ersetzt werden, die zu ähnlichen Kategorien gehören, wobei die logischen Konstanten beibehalten werden. Im Falle logischer Wahrheiten kann eine solche Substitution sie nicht falsch machen. Verschiedene Gruppen von Schlussregeln bilden unterschiedliche deduktive Systeme, z. B. die der klassischen Logik oder die der intuitionistischen Logik. Ob eine Proposition eine logische Konsequenz ist, hängt also nicht nur von den Prämissen ab, sondern auch vom verwendeten deduktiven System.

Ein Problem des syntaktischen Ansatzes besteht darin, dass die Verwendung einer formalen Sprache für ihn von zentraler Bedeutung ist. Aber das Problem der Logik, d. h. des gültigen Schließens und der logischen Wahrheit, findet sich nicht nur in formalen Sprachen, sondern auch in natürlichen Sprachen. Aber auch im Rahmen der formalen Sprachen wirft das Problem der Wahrheit eine Vielzahl von Problemen auf, die oft eine reichhaltigere Metasprache erfordern, um angemessen behandelt werden zu können. Dies gefährdet den syntaktischen Ansatz, selbst wenn er auf formale Sprachen beschränkt ist. Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass oft nicht klar ist, wie formale von nicht-formalen Merkmalen, also logische von nicht-logischen Symbolen, zu unterscheiden sind. Diese Unterscheidung ist das Herzstück des syntaktischen Ansatzes, aufgrund ihrer Rolle bei der Definition gültiger Schlussfolgerungen oder logischer Wahrheiten.

Der semantische Ansatz hingegen konzentriert sich auf die Beziehung zwischen Sprache und Realität. In der Logik wird die Untersuchung dieser Beziehung oft als Modelltheorie bezeichnet. Aus diesem Grund wird der semantische Ansatz auch als modelltheoretische Konzeptualisierung der Logik bezeichnet. Er wurde ursprünglich von Alfred Tarski entwickelt und charakterisiert die logische Wahrheit nicht in Bezug auf die in Sätzen verwendeten logischen Konstanten, sondern basierend auf mengentheoretischen Strukturen, die zur Interpretation dieser Sätze verwendet werden. Die Idee hinter diesem Ansatz ist, dass Sätze nicht an sich wahr oder falsch sind, sondern nur in Bezug auf eine Interpretation wahr oder falsch sind. Interpretationen werden in der Regel mengentheoretisch als Funktionen zwischen im Satz verwendeten Symbolen und einer Domäne von Objekten verstanden. Eine solche Funktion ordnet Konstantensymbolen einzelne Elemente der Domäne und Prädikate Tupel von Elementen der Domäne zu. Eine Interpretation eines Satzes (oder einer Theorie, die aus mehreren Sätzen besteht) wird als Modell dieses Satzes bezeichnet, wenn der Satz nach dieser Interpretation wahr ist. Ein Satz ist logisch wahr, wenn er in jeder Interpretation wahr ist, d. h. wenn jede Interpretation ein Modell dieses Satzes ist. In diesem Fall ist der Satz immer wahr, unabhängig davon, wie die Interpretationsfunktion und die Domäne der Objekte, auf die sie verweist, definiert sind. Wenn Interpretationen in Bezug auf mögliche Welten verstanden werden, können logisch wahre Sätze als Sätze angesehen werden, die in jeder möglichen Welt wahr sind. In Bezug auf gültige Argumente ausgedrückt: Ein Argument ist dann und nur dann gültig, wenn seine Konklusion in allen möglichen Welten wahr ist, in denen seine Prämissen wahr sind.

Diese Konzeptualisierung vermeidet die Probleme des syntaktischen Ansatzes, die mit der Schwierigkeit verbunden sind, zwischen logischen und nicht-logischen Symbolen zu unterscheiden. Sie hat aber auch mit anderen eigenen Problemen zu kämpfen. Einerseits teilt sie mit dem syntaktischen Ansatz das Problem, dass sie eine Metasprache benötigt, um das Problem der Wahrheit anzugehen. Sie setzt daher eine formale Sprache voraus, die aus einer Perspektive außerhalb ihrer selbst untersucht werden kann. Dies wirft Probleme bei der Verallgemeinerung ihre Einsichten auf die Logik der Sprache im Allgemeinen als allumfassendes Medium auf. Andererseits ignoriert sie die Beziehung zwischen Sprache und Welt, da sie Wahrheit auf der Grundlage der Interpretation definiert, die nur zwischen Symbolen und mengentheoretischen Objekten stattfindet.

Arten von Logiken

Das Problem, sich zwischen einer Vielzahl von konkurrierenden logischen Systemen entscheiden zu müssen, ist relativ neu. Lange Zeit in der Geschichte wurde die aristotelische Syllogistik als Kanon der Logik behandelt, und es gab über zweitausend Jahre lang nur sehr wenige wesentliche Verbesserungen an ihr, bis die Werke von George Boole, Bernard Bolzano, Franz Brentano, Gottlob Frege und anderen erschienen. Diese Entwicklungen wurden häufig durch die Notwendigkeit vorangetrieben, die Ausdrucksflexibilität der Logik zu erhöhen und sie an bestimmte Anwendungsbereiche anzupassen. Ein zentrales Problem in der Philosophie der Logik, das durch die gegenwärtige Verbreitung logischer Systeme aufgeworfen wird, besteht darin, zu erklären, wie diese Systeme miteinander in Beziehung stehen. Dies bringt die Frage mit sich, warum all diese formalen Systeme den Titel „Logik“ verdienen. Eine weitere Frage ist, ob nur eines dieser Systeme das richtige ist oder wie eine Vielzahl von logischen Systemen anstelle einer einzigen universellen Logik möglich ist. Der Monismus ist die These, dass nur eine Logik richtig ist, während der Pluralismus zulässt, dass verschiedene alternative logische Systeme für verschiedene Diskursbereiche richtig sein können. Es wurde auch vorgeschlagen, dass es möglicherweise einen universellen Begriff der Logik gibt, der allen verschiedenen logischen Systemen zugrunde liegt und sie vereint.

Formal und informal

Die Logik und die Philosophie der Logik haben sich traditionell vor allem auf formale Argumente konzentriert, d. h. auf Argumente, die in einer formalen Sprache ausgedrückt werden. Sie umfassen aber auch das Studium informaler Argumente, die in der natürlichen Sprache vorkommen. Die formale Logik wird normalerweise als die paradigmatische Form der Logik angesehen, aber verschiedene moderne Entwicklungen haben die Bedeutung der informalen Logik für viele praktische Zwecke hervorgehoben, bei denen die formale Logik nicht in der Lage ist, alle Probleme allein zu lösen. Sowohl die formale als auch die informale Logik zielen darauf ab, die Korrektheit von Argumenten zu bewerten. Die formale Logik schränkt sich jedoch hinsichtlich der Faktoren ein, die herangezogen werden, um genaue Kriterien für diese Bewertung zu liefern. Die informale Logik versucht, verschiedene zusätzliche Faktoren zu berücksichtigen und ist daher für viele Argumente außerhalb des Bereichs der formalen Logik relevant, allerdings auf Kosten von Genauigkeit und allgemeiner Regeln. Argumente, die diese Bewertung nicht bestehen, werden als Fehlschlüsse bezeichnet. Formale Fehlschlüsse sind Fehlschlüsse im Bereich der formalen Logik, während informale Fehlschlüsse zur informalen Logik gehören.

Die formale Logik befasst sich mit der Gültigkeit von Schlussfolgerungen oder Argumenten allein aufgrund ihrer Form, d. h. unabhängig von ihrem spezifischen Inhalt und dem Kontext, in dem sie verwendet werden. Dies geschieht in der Regel durch Abstraktion, indem einzelne Argumente als Instanzen einer bestimmten Argumentform angesehen werden. Argumentformen werden dadurch definiert, wie ihre logischen Konstanten und Variablen zueinander in Beziehung stehen. Auf diese Weise können verschiedene Argumente mit sehr unterschiedlichen Inhalten dieselbe logische Form haben. Ob ein Argument gültig ist, hängt nur von seiner Form ab. Ein wichtiges Merkmal der formalen Logik ist, dass bei einem gültigen Argument die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion garantiert, d. h. es ist unmöglich, dass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch sind.

Ein schwerwiegendes Problem bei der Verwendung der formalen Logik zur Formulierung von Theorien aus verschiedenen Bereichen besteht darin, dass diese Theorien in eine formale Sprache übersetzt werden müssen, üblicherweise in die Sprache der Logik erster Stufe. Dies ist notwendig, da die formale Logik nur für eine bestimmte formale Sprache definiert ist: Sie ist daher nicht direkt auf viele anders ausgedrückte Argumente anwendbar. Derartige Übersetzungen können eine Herausforderung darstellen, da formale Sprachen oft recht restriktiv sind. Zum Beispiel fehlen ihnen häufig viele der informalen Mittel, die in der natürlichen Sprache zu finden sind. Ein wiederkehrendes Problem betrifft das Wort „ist“ in der deutschen Sprache, das je nach Kontext eine Vielzahl von Bedeutungen hat, wie Identität, Existenz, Prädikation, Klassenzugehörigkeit oder Ort.

Die informale Logik hingegen hat eine konkretere Ausrichtung, indem sie versucht zu beurteilen, ob ein bestimmtes Argument gut oder schlecht ist. Dies bringt die Notwendigkeit mit sich, nicht nur die allgemeine Form des fraglichen Arguments zu untersuchen, sondern auch die Inhalte, die als Prämissen in diesem Argument vorkommen, und den Kontext, in dem dieses Argument verwendet wird. Das bedeutet, dass dasselbe Argument sowohl gut sein kann, wenn es in einem Kontext verwendet wird, als auch schlecht, wenn es in einem anderen Kontext verwendet wird. Beispielsweise versucht ein Strohmann-Argument, die Position des Gegners zu überwinden, indem man ihm eine schwache Position zuschreibt und dann beweist, dass diese Position falsch ist. In einem Kontext, in dem der Gegner diese Position nicht vertritt, ist das Argument schlecht, während es ein gutes Argument gegen einen Gegner sein kann, der tatsächlich die Strohmannposition verteidigt. Die in der informalen Logik untersuchten Argumente werden normalerweise in natürlicher Sprache ausgedrückt.

Die informale Logik sieht sich nicht mit der Notwendigkeit konfrontiert, natürlichsprachliche Argumente in eine formale Sprache zu übersetzen, um sie bewerten zu können. Auf diese Weise vermeidet sie verschiedene Probleme, die mit dieser Übersetzung verbunden sind. Viele Probleme, die die Verwendung der natürlichen Sprache mit sich bringt, werden aber so nicht gelöst, wie Mehrdeutigkeiten, vage Ausdrücke oder die implizite Annahme von Prämissen, anstatt sie explizit anzugeben. Viele der in der informalen Logik diskutierten Fehlschlüsse ergeben sich direkt aus diesen Merkmalen. Dies betrifft beispielsweise die Fehlschlüsse der Ambiguität und der Annahme.

Klassisch und nicht-klassisch

Innerhalb des Bereichs der formalen Logik besteht eine wichtige Unterscheidung zwischen klassischer und nicht-klassischer Logik. Der Begriff klassische Logikbezieht sich in erster Linie auf die Aussagenlogik und die Logik erster Stufe. Sie ist das vorherrschende logische System, das von den meisten Theoretikern akzeptiert und verwendet wird. Aber die Philosophie der Logik befasst sich auch mit nicht-klassischen oder alternativen Logiken. Diese werden manchmal in erweiterte Logiken und abweichende Logiken unterteilt. Erweiterte Logiken sind Erweiterungen der klassischen Logik, d. h. sie akzeptieren den grundlegenden Formalismus und die Axiome der klassischen Logik, erweitern sie aber mit neuen logischen Vokabeln, wie die Einführung von Symbolen für „Möglichkeit“ und „Notwendigkeit“ in der Modallogik oder von Symbolen für „manchmal“ und „immer“ in der temporalen Logik. Abweichende Logiken hingegen lehnen bestimmte Kernannahmen der klassischen Logik ab. Sie verwenden Axiome, die sich von denen der klassischen Logik unterscheiden und die häufig die Gültigkeit von Schlussfolgerungen stärker einschränken. Sie sind „abweichend“ in dem Sinne, dass sie mit der klassischen Logik unvereinbar sind und als ihre Rivalen angesehen werden können.

Klassisch

Der Begriff klassische Logik bezieht sich in erster Linie auf die Aussagenlogik und die Logik erster Stufe. Sie wird in der Regel von Philosophen als die paradigmatische Form der Logik behandelt und in verschiedensten Bereichen verwendet. Sie befasst sich mit einer kleinen Anzahl zentraler logischer Begriffe und legt fest, welche Rolle diese Begriffe beim Ziehen gültiger Schlüsse spielen. Zu diesen Kernbegriffen gehören Quantoren, die Ideen wie „alle“ und „einige“ ausdrücken, und propositionale Konnektoren, wie „und“, „oder“ und „wenn-dann“. Unter den nicht-logischen Begriffen besteht eine wichtige Unterscheidung zwischen singulären Termen und Prädikaten. Singuläre Terme stehen für Objekte und Prädikate für Eigenschaften oder Beziehungen zwischen diesen Objekten. In dieser Hinsicht unterscheidet sich die Logik erster Stufe von der traditionellen aristotelischen Logik, der Prädikate für Beziehungen fehlten.Die Logik erster Stufe erlaubt die Quantifizierung nur über Individuen, im Gegensatz zur Logik höherer Stufe die Quantifizierung auch über Prädikate erlaubt.

Erweitert

Erweiterte Logiken akzeptieren die Axiome und das Kernvokabular der klassischen Logik. Dies spiegelt sich in der Tatsache wider, dass die Theoreme der klassischen Logik in ihnen gültig sind. Sie gehen jedoch über die klassische Logik hinaus, indem sie zusätzliche neue Symbole und Theoreme enthalten. Das Ziel dieser Änderungen ist in der Regel entweder die Anwendung der logischen Herangehensweise auf neue Bereiche oder die Einführung einer höheren Abstraktionsebene, beispielsweise in Form einer Quantifizierung, die nicht nur auf singuläre Terme, sondern auch auf Prädikate oder Sätze angewendet werden, oder durch Wahrheitsprädikate. In diesem Sinne werden abweichende Logiken in der Regel als Rivalen der klassischen Logik angesehen, während erweiterte Logiken Ergänzungen zur klassischen Logik darstellen. Wichtige Beispiele für erweiterte Logiken sind die Modallogik und die Logik höherer Stufe.

Der Begriff „Modallogik“ bezieht sich, wenn er im weitesten Sinne verstanden wird, auf eine Vielzahl erweiterter Logiken, wie alethische, deontische oder temporale Modallogik. Im engeren Sinne ist er identisch mit der alethischen Modallogik. Während sich die klassische Logik nur damit beschäftigt, was wahr oder falsch ist, enthält die alethische Modallogik neue Symbole, um auszudrücken, was möglicherweise oder notwendigerweise wahr oder falsch ist. Diese Symbole haben die Form von Satzoperatoren. Normalerweise werden die Symbole "{\displaystyle \Diamond }" und "{\displaystyle \Box }" verwendet, um auszudrücken, dass der ihnen folgende Satz möglicherweise oder notwendigerweise wahr ist. Modallogiken enthalten auch verschiedene neue Inferenzregeln, die angeben, wie sich diese neuen Symbole in gültigen Argumenten verhalten. Ein Beispiel ist die Formel {\displaystyle \Box P\rightarrow \Diamond P}, die besagt, dass, wenn etwas notwendigerweise wahr ist, es auch möglicherweise wahr ist. Die anderen Formen der Modallogik neben der alethischen Modallogik wenden die gleichen Prinzipien auf verschiedene Bereiche an. In der deontischen Modallogik werden die Symbole "{\displaystyle \Diamond }" und "{\displaystyle \Box }" verwendet, um auszudrücken, welche Handlungen erlaubt oder obligatorisch sind; in der temporalen Logik drücken sie aus, was zu irgendeinem Zeitpunkt oder zu jedem Zeitpunkt der Fall ist; in der epistemischen Logik drücken sie aus, was mit den Überzeugungen einer Person vereinbar ist oder was diese Person weiß.

Verschiedene Inferenzregeln wurden als grundlegende Axiome der verschiedenen Modallogiken vorgeschlagen, aber es gibt keine allgemeine Einigkeit darüber, welche die richtigen sind. Eine einflussreiche Interpretation der Modaloperatoren, die auf Saul Kripke zurückgeht, versteht sie als Quantoren über mögliche Welten. Eine mögliche Welt ist eine vollständige und konsistente Weise, wie die Dinge hätten sein können. Zu sagen, dass etwas notwendigerweise wahr ist, bedeutet nach dieser Auffassung, dass es in allen zugänglichen möglichen Welten wahr ist. Ein Problem dieser Art von Charakterisierung ist, dass sie zirkulär zu sein scheint, da mögliche Welten selbst in Bezug auf modale Begriffe definiert werden, d. h. als Weisen, wie die Dinge hätten sein können.

Selbst wenn man sich auf die alethische Modallogik beschränkt, gibt es wiederum verschiedene Arten von Möglichkeit und Notwendigkeit, die mit diesen Begriffen gemeint sein können. Nach der physikalischen Modalität ist es zum Beispiel notwendig, dass ein Gegenstand fällt, wenn er fallen gelassen wird, da die Naturgesetze dies vorschreiben. Nach der logischen Modalität ist dies jedoch nicht notwendig, da die Naturgesetze auch anders hätten sein können, ohne dass dies zu einem logischen Widerspruch führt.

Logiken höherer Stufe erweitern die klassische Prädikatenlogik erster Stufe durch neue Formen der Quantifizierung. In der Logik erster Stufe ist die Quantifizierung auf Individuen beschränkt, wie in der Formel {\displaystyle \exists x({\text{Apfel}}(x)\land {\text{Süss}}(x))} (es gibt Äpfel, die süß sind). Logiken höherer Stufe erlauben Quantifizierungen nicht nur über Individuen, sondern auch über Prädikate, wie in {\displaystyle \exists P(P({\text{Mary}})\land P({\text{John}}))} (es gibt Eigenschaften, die Mary und John gemeinsam haben). Die erhöhte Ausdruckskraft der Logik höherer Stufe ist besonders für die Mathematik von Bedeutung. Beispielsweise sind für die Peano-Arithmetik und die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Logik erster Stufe eine unendliche Anzahl von Axiomen erforderlich, während die Logik zweiter Stufe nur eine Handvoll Axiome benötigt, um dieselbe Aufgabe zu erfüllen. Diese gesteigerte Ausdruckskraft hat jedoch ihren Preis. Zum einen sind Theorien höherer Stufe unvollständig: Es ist nicht möglich, jeden wahren Satz auf der Grundlage der Axiome dieser Theorien zu beweisen. Bei Theorien der Logik erster Stufe ist dies hingegen möglich. Ein weiterer Nachteil ist, dass Logiken höherer Stufe zu einer Art Platonismus verpflichtet zu sein scheinen, da sie nicht nur über Individuen quantifizieren, sondern auch über Eigenschaften und Beziehungen.

Abweichend

Abweichende Logiken sind insofern Formen der Logik, dass sie das gleiche Ziel verfolgen wie die klassische Logik: eine Darstellung davon zu geben, welche Schlussfolgerungen gültig sind. Sie unterscheiden sich von der klassischen Logik, da sie eine andere Darstellung geben. Die intuitionistische Logik lehnt beispielsweise den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ab, der eine gültige Schlussform in der klassischen Logik ist. Diese Ablehnung beruht auf der Idee, dass die mathematische Wahrheit von der Überprüfung durch einen Beweis abhängt. Das Gesetz versagt für Fälle, in denen kein solcher Beweis möglich ist, welche es nach den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen in jedem hinreichend starken formalen System gibt. Die freie Logik unterscheidet sich von der klassischen Logik dadurch, dass sie weniger existenzielle Voraussetzungen hat: Sie erlaubt nicht-bezeichnende Ausdrücke, d. h. Terme, die sich nicht auf Objekte innerhalb der Domäne beziehen. Eine zentrale Motivation für diese Art der Modifikation ist, dass die freie Logik zur Analyse von Diskursen mit leeren singulären Termen verwendet werden kann, wie in dem Ausdruck „Der Weihnachtsmann existiert nicht“. Die mehrwertige Logik ist eine Logik, die zusätzliche Wahrheitswerte neben wahr und falsch in der klassischen Logik zulässt. In diesem Sinne lehnt sie das Prinzip der Bivalenz der Wahrheit ab. In einer einfachen Form der dreiwertigen Logik wird beispielsweise ein dritter Wahrheitswert eingeführt: unbestimmt.

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