Ellipse (Ellipsen zeichnen)

Ellipse

Ellipsen zeichnen

Würfel mit Kreisen in Vogelperspektive

Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als Bilder von Kreisen auf. Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:

• einzelne Punkte, die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
• stetige Konstruktionen, die man technisch als Ellipsenzirkel realisieren kann und
• eine Approximation einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei Papierstreifenmethoden zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist die Kenntnis der beiden (Symmetrie-)Achsen und der Halbachsen $a,b$ erforderlich. Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

Gärtnerkonstruktion

Die definierende Eigenschaft einer Ellipse – die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant – nutzt die Gärtnerkonstruktion als einfache Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge $2a$ und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.

Ellipse: Gärtnerkonstruktion

Eine Variation der Gärtnerkonstruktion zur Konstruktion konfokaler Ellipsen geht auf den irischen Bischof Charles Graves zurück.

Antiparallelogramm

Konstruktion über das Antiparallelogramm

Beim Abrollen eines Antiparallelogramms zeichnet der Schnittpunkt der beiden langen Stäbe eine Ellipse (blau im Bild). Die Enden des kurzen statischen Stabs definieren die Brennpunkte der Ellipse. Durch die symmetrische Geometrie ergibt sich theoretisch auch um den kurzen umlaufende Stab eine Ellipse (im Bild grün). Diese Konstruktionsvariante ist mit der Gärtnerkonstruktion verwandt. Betrachtet man nur den Anteil innerhalb der statischen Ellipse und ersetzt die beiden inneren Teilstücke der Stäbe mit einer Schur, ergibt sich die äquivalente Gärtnerkonstruktion. Die Mechanik des bewegten Antiparallelogramms ist ein Koppelgetriebe. Die innere Ellipse entspricht der Rastpolbahn, die äußere Ellipse ist die Gangpolbahn des umlaufenden kurzen Stabs.

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten
(▶ Animation ansehen)

Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE in LIBER IV die Methode Gärtnerkonstruktion und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel. Basis für den Ellipsenzirkel ist die Gärtnerkonstruktion.

• Anzumerken ist: In der nebenstehenden originären Darstellung Ellipsenzirkel des Frans van Schooten kann die Ellipsenlinie nicht durch den Scheitelpunkt $K$ gezogen werden, sondern nur, z. B. im Uhrzeigersinn, bis die Führungsschiene $|GH|$ an der Zirkelnadel im Punkt $I$ der Raute anliegt. Damit der Ellipsenzirkel eine komplette Ellipsenlinie zeichnen kann (auch durch die Scheitelpunkte $L$ und $K$), ist es erforderlich, dass zumindest einmal die Einstechposition der Zirkelnadeln $H$ und $I$ in den Brennpunkten der Ellipse getauscht wird.

Prinzipskizze, Ellipsenzirkel des Frans van Schooten.
Die Kurve ist eine exakte Ellipse.

Die Hauptelemente des rautenförmigen Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen $|OI|$, $|IP|$, $|PG|$, $|GO|$ und $|GH|$ als Führungsschiene sowie der deutlich längere Diagonalstab ab $O$ durch $P$ mit dem Klemmelement $Q$ für den Spielausgleich. Die Führungsschiene mit dem Gelenkpunkt-Abstand $|GH|$ und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt $E$ und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten Gleitsteins dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt $P$. In den Gelenkpunkten $H$ und $I$ des Ellipsenzirkels sind die Zirkelnadeln befestigt.

Die Länge z. B. des Stabes $|IO|$ ist gleich der Länge der Hauptachse $|KL|$. Der Abstand der Gelenkpunkte $H$ und $I$ bestimmt die Länge der Nebenachse. Je kleiner dieser Abstand ist, umso mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis.

Betrachtet man eine Hälfte der Raute $OIPG$, d. h. das gleichschenklige Dreieck $IGO$, so ist der Diagonalstab ab $O$ durch $P$ als Mittelsenkrechte $M_S$ des Gelenkpunkt-Abstandes $|GI|$ erkennbar, die den Stab mit Gelenkpunkt-Abstand $|GH|$ in $E$ schneidet. Dadurch entsteht das zweite gleichschenklige Dreieck $EIG$ mit den Schenkeln $|EG|$ und $|EI|$. Wird nun der Ellipsenzirkel von Hand bewegt, durchläuft der Punkt $G$ den Kreis $k_1$ um den Punkt $H$ mit dem Radius $|GH|$ (gleich $|KL|$), dabei wirkt der Diagonalstab mit seinem Gelenkpunkt-Abstand $|OP|$ konstant als Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke $IGO$ und $EIG$. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Ellipsenzirkels gilt

$|GH|=|EH|+|EG|=|EH|+|EI|.$

Werden in die weiter oben beschriebene Definition einer Ellipse als geometrischer Ort die Bezeichnungen der betreffenden Punkte, u. a. die Brennpunkte $H$ und $I$, aus der Darstellung des Ellipsenzirkels eingesetzt, ergibt sich

${\mathrm{Def}}_E=\{E\mid |EH|+|EI|=|GH|\}.$

Damit wird aufgezeigt: Die mit dem rautenförmigen Ellipsenzirkel gezogenen Kurven sind Ellipsen.

Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagefixierung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte $H$ und $I$ in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.

Parameterdarstellung mit Sinus und Kosinus

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ beschreibt

$(a\cos t,b\sin t),0\le t<2\pi$

die Ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

Punktkonstruktion nach de La Hire

Die nach Philippe de La Hire (1640–1718) benannte Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen $a,b$ als Radien. Der Parameter $t$ wird hier als der Steigungswinkel eines von $M$ ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten $(a\cos t,b\sin t)$, also ein Ellipsenpunkt, konstruiert. Dieses Konstruktionsverfahren war allerdings auch schon in der Spätantike bekannt und ging damals auf Proklos Diadochos (412–485) zurück.

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  Ellipsenkonstruktion nach Diadochos
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  Animation der Methode von Diadochos

Papierstreifenmethoden

Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters $t$ der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

1. Methode

Die erste Methode verwendet einen Papierstreifen der Länge $a+b$. Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit $P$ markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt $P$ die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der $x$-Achse (s. Bild).

Eine weitere technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius $a+b$.

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  Ellipse: 1. Papierstreifenmethode
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  Ellipsen (rot, cyan) mit cardanischen Kreisen

Eine Variation der 1. Papierstreifenmethode geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt $N$ des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $\frac{a+b}{2}$ bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt $N$) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der $y$-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt $M$) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt $P$ bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur einen technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der Nebenachse gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

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  Abgeknickter Papierstreifen
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  Animation mit abgeknicktem Papierstreifen

Ellipse: 2. Papierstreifenmethode

2. Methode:

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem Papierstreifen der Länge $a$ aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen $b$ und $a-b$ zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge $a-b$ besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende $P$ beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt $P$ kann durch die Parameterdarstellung $(a\cos t,b\sin t)$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).

Bemerkung: Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ein Gleitschuh nötig.

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  Animation der 2. Papierstreifenmethode
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  Ellipsenzirkel von Benjamin Bramer
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  Abgeknickter Papierstreifen

Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise

Approximation mit Scheitelkrümmungskreisen

Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:

Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel $S_1,S_2$ ist $\frac{b^2}{a},$

der Krümmungsradius für die Nebenscheitel $S_3,S_4$ ist $\frac{a^2}{b}.$

Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte $M_1=(a-\frac{b^2}{a},0),M_3=(0,b-\frac{a^2}{b})$ des Scheitels $S_1$ und des Nebenscheitels $S_3$ zeichnerisch zu bestimmen:

1. Markiere den Hilfspunkt $H=(a,b)$ und zeichne die Gerade $S_1{S}_3$.
2. Zeichne die Gerade durch $H$, die senkrecht zur Geraden $S_1{S}_3$ verläuft.
3. Die Schnittpunkte $M_1,M_3$ dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)

Ellipse: Steiner-Erzeugung

Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten $S_1,S_2$ (alle Geraden durch den Punkt $S_1$ bzw. $S_2$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln $S_1,S_2$ aus. Sei nun $P=(0,b)$ der obere Nebenscheitel der Ellipse und $A=(-a,2b),B=(a,2b)$. Dann ist $P$ der Mittelpunkt des Rechtecks $S_1,S_2,B,A$. Wir unterteilen die Rechteckseite $\overline{AB}$ in $n$ gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen $A{S}_2$ auf die Strecke $\overline{S_{2}B}$ (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in $S_1$ und $S_2$. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden $S_1{B}_i$ und $S_2{A}_i$ liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte $C_1,\dots$ lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für $P$ einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.

Ellipsen in der Computergrafik

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.