4-Mannigfaltigkeit

4-Mannigfaltigkeit; 4-dimensionale Mannigfaltigkeit; vgl. 3-Mannigfaltigkeit

4-Mannigfaltigkeit

Eine 4-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit mit vier Dimensionen, also ein lokal euklidischer zweitabzählbarer Hausdorff-Raum, welcher also lokal zu offenen Teilmengen des vierdimensionalen euklidischen Raum diffeomorph ist ohne global dieser zu sein.

Bedeutung

4-Mannigfaltigkeiten sind von zentraler Wichtigkeit für die Mathematik, da vier Dimensionen zu viele für eine einfache Klassifikation sind als auch zu wenige für die Gültigkeit vieler Aussagen wie etwa den h-Kobordismus-Satz in höheren Dimensionen. 4-Mannigfaltigkeiten sind ebenfalls wichtig für die theoretische Physik, da etwa die Raumzeit durch eine solche beschrieben wird. Viele Theorien wie etwa die Donaldson- und Seiberg-Witten-Theorie beschäftigen sich mit dem Studium von 4-Mannigfaltigkeiten. Andere Theorien wie etwa die Allgemeine Relativitätstheorie, vierdimensionale Yang-Mills-Theorie und vierdimensionale Chern-Simons-Theorie basieren dagegen auf 4-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

• Vierdimensionale Sphäre $S^4$
• Vierter reeller projektiver Raum $ℝP^4$
• Zweiter komplexer projektiver Raum $ℂP^2$
• Zweite unitäre Gruppe $\mathrm{U}(2)$
• E8-Mannigfaltigkeit

Klassifikation

Da 2-zusammenhängende wegzusammenhängende orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten bereits 4-Sphären sind, besteht besonderes Interesse an der Klassifikation des nächstallgemeineren Falls, nämlich einfach zusammenhängenden wegzusammenhängenden orientierbaren geschlossenen 4-Mannigfaltigkeiten. Zu diesen gehören aus der obigen Liste die 4-Sphäre, der komplexe projektive Raum und die E8-Mannigfaltigkeit.

Orientierte Bordismenklassen orientierbarer geschlossener 4-Mannigfaltigkeiten werden durch die Signatur klassifiziert, welche einen Gruppenisomorphismus:

$\sigma :{\mathrm{\Omega }}_4^{\mathrm{SO}}\stackrel{\cong }{\to }\mathbb{Z}$

beschreibt. Zwei orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten sind also genau dann orientiert bordant zueinander, wenn ihre Signaturen übereinstimmen.

Literatur

• Simon K. Donaldson und Peter B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds. Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8, doi:10.1093/oso/9780198535539.001.0001 (englisch). 
• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, New York 1984, ISBN 978-1-4613-9705-2, doi:10.1007/978-1-4613-9703-8 (englisch). 

Siehe auch

• 3-Mannigfaltigkeit
• 5-Mannigfaltigkeit

Weblinks

• 4-manifold auf nLab (englisch)