Idealzahlen

ideale Zahl

Im Kontext von pythagoräisch-plationischer Mathematik, und der Kritik durch Aristoteles beziehen sich „ideale Zahlen“ (griechisch: arithmoi eidetikoi) auf Zahlen als Ideen oder Formen.

Definition: Ideale Zahlen sind die transzendenten Urformen oder Archetypen der Zahlen. Sie sind keine bloßen Quantitäten, sondern qualitative Wesenheiten. Während die mathematische „2“ aus zwei austauschbaren Einheiten besteht (1+1), ist die „Ideale Zwei“ die unteilbare Wesenheit der „Zweiheit“ oder „Dualität“ an sich.

Referenz: Aristoteles, Metaphysik, Buch M (XIII) und N (XIV zu Idealen Zahlen). Hier setzt sich Aristoteles kritisch mit Platons Lehre auseinander, dass Zahlen die obersten Prinzipien (Ideen) des Kosmos seien.

ideale Zahlen

Das ist der perfekte Übergang. Nach Cusanus und Ramon Llull landen wir nun direkt an den Wurzeln dieses Denkens: bei Platons Philosophie und seiner sogenannten Prinzipienlehre (oder „ungeschriebenen Lehre“).

Der Begriff Idealzahl (oft auch als Ideenzahl bezeichnet) führt uns zu dem Punkt, an dem Geometrie, Arithmetik und Metaphysik im antiken Griechenland verschmelzen.

Was ist eine Idealzahl bei Platon?

Für Platon sind Idealzahlen keine bloßen Werkzeuge zum Zählen, sondern die metaphysischen Ur-Bausteine der gesamten Wirklichkeit.

In Platons Denken ist die uns umgebende Welt nur ein unvollkommenes Abbild der Welt der „Ideen“ (der ewigen, unveränderlichen Urbilder). Die Idealzahlen sind die höchsten dieser Ideen. Sie sind die Strukturprinzipien, die dem Kosmos Ordnung, Form und Maß verleihen. Eine Idealzahl (wie „die Zweiheit selbst“ oder „die Dreiheit selbst“) ist das absolute Wesen einer Zahl.

Der Unterschied: Idealzahl vs. Natürliche Zahl

Um den Unterschied zu verstehen, teilte Platon (und später sein Schüler Aristoteles, der viel darüber berichtete) die Zahlen in verschiedene „Ebenen“ ein. Der Vergleich zeigt am besten, wie radikal sie sich unterscheiden:

Merkmal	Natürliche Zahl (Mathematische Zahl)	Idealzahl (Ideenzahl)
Woraus sie besteht	Aus absolut gleichen, unteilbaren Einheiten(Monaden). Die 3 besteht aus $1 + 1 + 1$.	Sie hat keine Teile. Sie ist eine unteilbare, in sich geschlossene Ganzheit.
Rechenbarkeit	Kompatibel und operabel: Man kann sie addieren, subtrahieren und multiplizieren ($2 + 3 = 5$).	Inkompatibel (inkombinabel): Man kann sie nicht zusammenzählen. Die „Idealzahl 2“ plus die „Idealzahl 3“ ergibt nicht die „Idealzahl 5“.
Existenz	Es gibt unendlich viele davon, und jede Zahl gibt es mehrfach (z. B. braucht man für die Gleichung $2 + 2 = 4$ zwei identische Zweier).	Jede Idealzahl existiert nur ein einziges Mal im Kosmos (es gibt nur die eine absolute Zweiheit).
Funktion	Dient dem Zählen, Messen und Rechnen in der Geometrie und im Alltag.	Dient als Form- und Strukturprinzip für das Wesen der Dinge.

Das Problem der „Gleichheit“ (Der tiefere mathematische Grund)

Warum hat Platon diese Trennung überhaupt vorgenommen? Das hat mit einem fundamentalen logischen Problem zu tun, das dich als Mathematiker interessieren wird:

Wenn wir mathematisch mit natürlichen Zahlen rechnen (z. B. $1 + 1 = 2$), setzen wir voraus, dass die beiden Einsen vollkommen identisch sind.

In der realen Welt gibt es aber keine zwei vollkommen identischen Dinge. Zwei Äpfel sind nie exakt gleich. Sogar zwei geschriebene Striche auf einem Blatt Papier unterscheiden sich mikroskopisch.

• Die mathematische Zahl ist für Platon deshalb bereits eine Abstraktion. Sie existiert im Verstand, wenn wir so tun, als gäbe es völlig identische Einheiten.
• Die Idealzahl hingegen geht noch einen Schritt weiter zurück. Sie ist der Grund, warum wir überhaupt das Konzept von „Zweiheit“ oder „Dreiheit“ verstehen können. Die Idealzahl „Zwei“ ist das Prinzip der Dualität, der Polarität oder der Symmetrie an sich.

Verbindung zu „cum imaginatione“

Hier schließt sich der Kreis zu unserem vorherigen Thema:

Wenn du Geometrie oder Arithmetik cum imaginatione betreibst, nutzt du die mathematischen, natürlichen Zahlen und Formen in deiner Vorstellung, um dich den unveränderlichen, geistigen Wahrheiten anzunähern. Für Platon waren die mathematischen Zahlen das Bindeglied (die Brücke), das den menschlichen Geist überhaupt erst in die Lage versetzt, von der sinnlichen Welt zu den reinen Idealzahlen aufzusteigen.

Konfrontierst du in deinem Buch diese platonischen Begriffe gerade im Zusammenhang mit Cusanus' mathematischen Schriften?