„Oktaeder“ – Versionsunterschied
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<p style="text-align: justify;" >¦∑¦ okta + eder;</p><p style="text-align: justify;" >¦∅¦ [https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/120px-Octahedron-slowturn.gif ]"aus acht Gesetztes", "Achtflächer"<br></p><p style="text-align: justify;" >¦⊕¦ Begrifferläuterung</p><p style="text-align: justify;" >¦⊗¦ [https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/1024px-Octahedron_flat.svg_.png ]Wikipedia Auszug: Das (auch, v. a. [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96sterreichisches_Deutsch österr.]: der) '''Oktaeder''' [<span class="IPA">[https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IPA-Zeichen <span title="Aussprache im Internationalen Phonetischen Alphabet (IPA)">ɔktaˈeːdɐ</span>]</span>] (von [https://de.wikipedia.org/wiki/Altgriechische_Sprache altgriechisch] <span class="Grek" lang="grc-Grek">ὀκτάεδρος</span> <span class="Latn" lang="grc-Latn">oktáedros</span>, deutsch <span lang="de">‚achtseitig‘</span>)<sup id="cite_ref-1" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder#cite_note-1 [1]]</sup> ist einer der fünf [https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper platonischen Körper], genauer ein regelmäßiges [https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder Polyeder] (''Vielflach'', ''Vielflächner'') mit</p> | <p style="text-align: justify;" >¦∑¦ okta + eder;</p><p style="text-align: justify;" >¦∅¦ [https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/120px-Octahedron-slowturn.gif]"aus acht Gesetztes", "Achtflächer"<br></p><p style="text-align: justify;" >¦⊕¦ Begrifferläuterung</p><p style="text-align: justify;" >¦⊗¦ [https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/1024px-Octahedron_flat.svg_.png]Wikipedia Auszug: Das (auch, v. a. [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96sterreichisches_Deutsch österr.]: der) '''Oktaeder''' [<span class="IPA">[https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IPA-Zeichen <span title="Aussprache im Internationalen Phonetischen Alphabet (IPA)">ɔktaˈeːdɐ</span>]</span>] (von [https://de.wikipedia.org/wiki/Altgriechische_Sprache altgriechisch] <span class="Grek" lang="grc-Grek">ὀκτάεδρος</span> <span class="Latn" lang="grc-Latn">oktáedros</span>, deutsch <span lang="de">‚achtseitig‘</span>)<sup id="cite_ref-1" class="reference">[https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder#cite_note-1 [1]]</sup> ist einer der fünf [https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper platonischen Körper], genauer ein regelmäßiges [https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder Polyeder] (''Vielflach'', ''Vielflächner'') mit</p> | ||
*8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Geometrie) kongruenten] [https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck gleichseitigen Dreiecken] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] | *8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Geometrie) kongruenten] [https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck gleichseitigen Dreiecken] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] | ||
*12 gleich langen Kanten und | *12 gleich langen Kanten und | ||
*6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen | *6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen | ||
<p>Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige [https://de.wikipedia.org/wiki/Doppelpyramide Doppelpyramide] mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisch quadratischer] Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige [https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzpolytop Kreuzpolytop] der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges [https://de.wikipedia.org/wiki/Antiprisma Antiprisma] mit einem [https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck gleichseitigen Dreieck] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundfl%C3%A4che_(Geometrie) Grundfläche].</p> | <p>Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige [https://de.wikipedia.org/wiki/Doppelpyramide Doppelpyramide] mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisch quadratischer] Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige [https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzpolytop Kreuzpolytop] der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges [https://de.wikipedia.org/wiki/Antiprisma Antiprisma] mit einem [https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck gleichseitigen Dreieck] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundfl%C3%A4che_(Geometrie) Grundfläche].</p> | ||
== Symmetrie == | |||
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== <span id="Beziehungen_zu_anderen_Polyedern">Beziehungen zu anderen Polyedern</span> == | == <span id="Beziehungen_zu_anderen_Polyedern">Beziehungen zu anderen Polyedern</span> == | ||
<p>Das Oktaeder ist das zum Hexaeder ([https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]) [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualit%C3%A4t_von_Polytopen duale] [https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder Polyeder] (Bild 1) und umgekehrt.</p><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg ]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben einen Sterntetraeder</p></div></div></div></div><div><div class="thumb tleft"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dual_Cube-Octahedron.jpg ]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 1: Oktaeder mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualit%C3%A4t_von_Polytopen dualem] [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte] der [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat Quadrate] sind die Ecken des Oktaeders.</p></div></div></div></div><p>Zwei [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßige Tetraeder] (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]so einbeschrieben werden, dass die [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] zugleich Würfelecken und die Kanten [https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonale_(Geometrie) Diagonalen] der Würfelflächen sind. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Vereinigungsmenge Vereinigungsmenge] ist ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterntetraeder Sterntetraeder]</p><p>Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Dreidimensional dreidimensionale] [https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittmenge Schnittmenge] der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] des Oktaeders [https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder Tetraeder] auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.</p><p>Wird ein Oktaeder von einem [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßigen Tetraeder] umschrieben (Bild 4), sind die 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] des Oktaeders die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte] der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.</p><p>Mithilfe von Oktaeder und [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel] können zahlreiche [https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie) Körper] konstruiert werden, die ebenfalls die [https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaedergruppe Oktaedergruppe] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetriegruppe Symmetriegruppe] haben. So erhält man zum Beispiel</p> | <p>Das Oktaeder ist das zum Hexaeder ([https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]) [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualit%C3%A4t_von_Polytopen duale] [https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder Polyeder] (Bild 1) und umgekehrt.</p><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben einen Sterntetraeder</p></div></div></div></div><div><div class="thumb tleft"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dual_Cube-Octahedron.jpg]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 1: Oktaeder mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualit%C3%A4t_von_Polytopen dualem] [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte] der [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat Quadrate] sind die Ecken des Oktaeders.</p></div></div></div></div><p>Zwei [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßige Tetraeder] (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]so einbeschrieben werden, dass die [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] zugleich Würfelecken und die Kanten [https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonale_(Geometrie) Diagonalen] der Würfelflächen sind. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Vereinigungsmenge Vereinigungsmenge] ist ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterntetraeder Sterntetraeder]</p><p>Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Dreidimensional dreidimensionale] [https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittmenge Schnittmenge] der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] des Oktaeders [https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder Tetraeder] auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.</p><p>Wird ein Oktaeder von einem [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßigen Tetraeder] umschrieben (Bild 4), sind die 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] des Oktaeders die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte] der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den [https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenfl%C3%A4che Seitenflächen] eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.</p><p>Mithilfe von Oktaeder und [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel] können zahlreiche [https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie) Körper] konstruiert werden, die ebenfalls die [https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaedergruppe Oktaedergruppe] als [https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetriegruppe Symmetriegruppe] haben. So erhält man zum Beispiel</p> | ||
*das [https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaederstumpf abgestumpfte Oktaeder] mit 8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Sechseck Sechsecken] und 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat Quadraten] | *das [https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaederstumpf abgestumpfte Oktaeder] mit 8 [https://de.wikipedia.org/wiki/Sechseck Sechsecken] und 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat Quadraten] | ||
*das [https://de.wikipedia.org/wiki/Kuboktaeder Kuboktaeder] mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 [https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik) Flächen], und 12 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] | *das [https://de.wikipedia.org/wiki/Kuboktaeder Kuboktaeder] mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 [https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik) Flächen], und 12 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] | ||
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<p>als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe [https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper archimedische Körper]) und</p> | <p>als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe [https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper archimedische Körper]) und</p> | ||
*das [https://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder Rhombendodekaeder] mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 [https://de.wikipedia.org/wiki/Raute Rauten] als Flächen | *das [https://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder Rhombendodekaeder] mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 [https://de.wikipedia.org/wiki/Raute Rauten] als Flächen | ||
<p>als [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_H%C3%BClle konvexe Hülle] einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel].</p><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Oktaeder_im_Tetraeder.svg ]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 3: Zwei [https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder Tetraeder] im [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]haben als [https://de.wikipedia.org/wiki/Dreidimensional dreidimensionale][https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittmenge Schnittmenge] ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.</p></div></div></div></div><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png ]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 4: Ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßiges Tetraeder]mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] des Oktaeders sind dann die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte]der 6 Tetraederkanten.</p></div></div></div></div><p>¦√¦ Wortwurzel;</p><p style="text-align: justify;" >¦↵¦ Wortherkunft;</p><hr><p style="text-align: justify;" >[bg_collapse view="button-blue" color="#ffffff" icon="eye" expand_text=" " collapse_text=" " ]</p><p style="text-align: justify;" >Text</p><hr><p style="text-align: justify;" >Text</p><p style="text-align: justify;" >[/bg_collapse]</p> | <p>als [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_H%C3%BClle konvexe Hülle] einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel].</p><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Oktaeder_im_Tetraeder.svg]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 3: Zwei [https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder Tetraeder] im [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie) Würfel]haben als [https://de.wikipedia.org/wiki/Dreidimensional dreidimensionale][https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittmenge Schnittmenge] ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.</p></div></div></div></div><div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner"><p>[https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png]</p><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><br></div><p>Bild 4: Ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder regelmäßiges Tetraeder]mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 [https://de.wikipedia.org/wiki/Ecke Ecken] des Oktaeders sind dann die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt Mittelpunkte]der 6 Tetraederkanten.</p></div></div></div></div><p>¦√¦ Wortwurzel;</p><p style="text-align: justify;" >¦↵¦ Wortherkunft;</p><hr><p style="text-align: justify;" >[bg_collapse view="button-blue" color="#ffffff" icon="eye" expand_text=" " collapse_text=" " ]</p><p style="text-align: justify;" >Text</p><hr><p style="text-align: justify;" >Text</p><p style="text-align: justify;" >[/bg_collapse]</p> | ||
Version vom 22. Dezember 2023, 11:41 Uhr
¦∑¦ okta + eder;
¦∅¦ [1]"aus acht Gesetztes", "Achtflächer"
![[1]](https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/120px-Octahedron-slowturn.gif){kind=link}
¦⊕¦ Begrifferläuterung
¦⊗¦ [2]Wikipedia Auszug: Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von altgriechisch ὀκτάεδρος oktáedros, deutsch ‚achtseitig‘)[1] ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit
![[2]](https://spresy.de/wp-content/uploads/2021/04/1024px-Octahedron_flat.svg_.png){kind=link}
- 8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
- 12 gleich langen Kanten und
- 6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen
Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige Kreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.
Symmetrie
Beziehungen zu anderen Polyedern
Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (Bild 1) und umgekehrt.
![[3]](https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg){kind=link}
Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben einen Sterntetraeder
![[4]](https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dual_Cube-Octahedron.jpg){kind=link}
Bild 1: Oktaeder mit dualem Würfel. Die Mittelpunkte der Quadrate sind die Ecken des Oktaeders.
Zwei regelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem Würfelso einbeschrieben werden, dass die Ecken zugleich Würfelecken und die Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. Die Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder
Die dreidimensionale Schnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 Seitenflächen des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.
Wird ein Oktaeder von einem regelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6 Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.
Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Oktaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
- das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
- das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
- den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken
als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und
- das Rhombendodekaeder mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rauten als Flächen
als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.
![[5]](https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Oktaeder_im_Tetraeder.svg){kind=link}
Bild 3: Zwei Tetraeder im Würfelhaben als dreidimensionaleSchnittmenge ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.
![[6]](https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png){kind=link}
Bild 4: Ein regelmäßiges Tetraedermit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 Ecken des Oktaeders sind dann die Mittelpunkteder 6 Tetraederkanten.
¦√¦ Wortwurzel;
¦↵¦ Wortherkunft;
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