|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{SeitenordnungWP.de
| | #WEITERLEITUNG [[Geometrischer Schwerpunkt]] |
| | PageID = 44590
| |
| }}
| |
| [[geometrisch]][[-er]] [[Schwerpunkt]]
| |
| [[Datei:01 Schwerpunkt im Dreieck-3.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.5]]
| |
| Der '''geometrische Schwerpunkt''' oder '''Schwerpunkt''' einer [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] (zum Beispiel [[Kreisbogen]], [[Dreieck]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]) ist ein besonders ausgezeichneter [[Punkt (Geometrie)|Punkt]], den man auch bei unsymmetrischen Figuren als eine Art Mittelpunkt interpretiert. Mathematisch entspricht dies der Mittelung aller Punkte innerhalb der Figur. Im Speziellen wird der geometrische Schwerpunkt von [[Kurve (Mathematik)|Linien]] auch '''Linienschwerpunkt''', von [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] '''Flächenschwerpunkt''' und von [[Körper (Geometrie)|Körpern]] '''Volumenschwerpunkt''' genannt. Den Schwerpunkt kann man in einfachen Fällen durch geometrische Überlegungen erhalten, oder allgemein mit Mitteln der Mathematik durch [[Integralrechnung|Integration]] berechnen. Zur Beschreibung der Körper werden die Methoden der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] verwendet. Der Schwerpunkt ist ein [[Gravizentrum]].
| |
| | |
| Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem [[Massenmittelpunkt]] eines [[Körper (Physik)|physikalischen Körpers]], der aus homogenem Material besteht, also überall die gleiche [[Dichte (Physik)|Dichte]] hat.
| |
| Er lässt sich deshalb auch rein mechanisch durch [[Balancieren]] bestimmen. Diese Methode kann an Modellen angewandt werden, wenn es um [[Liste geographischer Mittelpunkte|geografische Mittelpunkte]] von Kontinenten oder Ländern geht (zum Beispiel [[Mittelpunkt Europas]] oder [[Mittelpunkt Deutschlands]]).
| |
| | |
| Insbesondere für die geografische Mitte wird mitunter auch eine andere Definition verwendet, nämlich der Ort der Halbierenden der jeweiligen Erstreckung in der geografischen Länge und in der geografischen Breite.<ref>[https://tirol.orf.at/stories/3070825/ Denkmal zur Trennung Tirols vor 100 Jahren] orf.at, 10. Oktober 2020, abgerufen am 10. Oktober 2020. – ''Markstein Mitte Tirols (…)''. „Wird um die Grenzen des Historischen Tirols ein Rechteck gelegt und in diesem zwei Diagonalen gezogen, so befindet sich der Mittelpunkt des historischen Tirols in Latzfons …“.</ref>
| |
| | |
| Bei konkav begrenzten Linien, Flächen (etwa einer sehr schlanken [[Mondsichel]]) oder Körpern (etwa dem Werkzeug [[Sichel (Werkzeug)|Sichel]]) kann der Schwerpunkt, Mittelpunkt oder [[Mittenpunkt]] auch außerhalb des jeweiligen Objekts liegen.
| |
| | |
| == Geometrischer Schwerpunkt endlich vieler Punkte im reellen Vektorraum ==
| |
| Sind in einem <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>\mathcal {V}</math> für eine [[natürliche Zahl]] <math>m</math> [[paarweise verschieden]]e [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>x_1, \dots, x_m \in \mathcal {V} </math> gegeben, so ist deren geometrischer Schwerpunkt <math>s</math> definiert als
| |
| :<math>s := \frac{1}{m} {\sum_{i=1}^{m} {x_i} }</math> .
| |
| | |
| In diesen Zusammenhang fällt der Begriff des ''Schwerpunkts eines <math>k</math>-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Simplex (Mathematik)|Simplexes]]'' <math> \Delta \subset \R^n \; (k,n \in \N_0)</math>. Hat ein solches Simplex die [[Eckpunkt]]e <math>v_0, \ldots , v_k \in \R^n </math>, so ist sein Schwerpunkt <math>s_{\Delta}</math> nichts weiter als der geometrische Schwerpunkt seiner Eckpunkte, also:
| |
| :<math>s_{\Delta} = \frac{1}{k+1} {\sum_{i=0}^{k} {v_i} }</math> .
| |
| | |
| Der Schwerpunkt eines solchen Simplexes zeichnet sich also dadurch aus, dass seine [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] in Bezug auf das Simplex alle gleich, nämlich
| |
| :<math> = \frac{1}{k+1} </math>
| |
| | |
| sind.<ref name="EH">Egbert Harzheim: ''Einführung in die Kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 31 ff.</ref>
| |
| | |
| Bilden diese endlich vielen verschiedenen Punkte die [[Endliche Menge|Menge]] aller [[Eckpunkt]]e einer [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], so bezeichnet man den geometrischen Schwerpunkt all dieser auch als ''Eckenschwerpunkt'' der Figur.<ref name="LdS4-I">Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): ''Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete''. Band 4: S bis Z. 1978, S. 944</ref> Beispiele hierfür geben insbesondere die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], das [[Dreieck]] und das [[Tetraeder]]. Für [[Viereck]]e gilt [[Satz von Commandino#Der Lehrsatz von Varignon|nach Pierre de Varignon]] (1654–1722), dass der Eckenschwerpunkt eines Vierecks zugleich der [[Mittelpunkt]] der beiden ''Mittellinien'', also der beiden [[Verbindungsstrecke]]n gegenüberliegender Seitenmittelpunkte ist.<ref name="HSMC_I">Coxeter, op. cit., S. 242</ref><ref name="DUDEN">''DUDEN: Rechnen und Mathematik.'' 1985, S. 652</ref>
| |
| | |
| == Schwerpunkte von elementargeometrischen Figuren ==
| |
| Im Folgenden werden einige Schwerpunkte elementargeometrischer Linien, Flächen und Körper angegeben und teilweise durch geometrische Überlegungen begründet.
| |
| | |
| Für [[Achsensymmetrie|achsensymmetrische]] oder [[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrische]] [[Geometrische Figur|Figuren]] vereinfacht sich die Angabe des Schwerpunkts dadurch, dass dieser stets auf der Symmetrieachse liegt. Bei Figuren mit mehreren Symmetrieachsen bzw. [[Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] Objekten, wie beispielsweise bei einem [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] oder einem Kreis, liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen ([[Mittelpunkt]]) der Figur.
| |
| | |
| === Linien ===
| |
| ==== Strecke ====
| |
| Der geometrische Schwerpunkt einer Strecke liegt in deren Mitte, ist also identisch mit deren [[Mittelpunkt#Beispiele in Koordinaten|Mittelpunkt]].
| |
| | |
| ==== Kreisbogen ====
| |
| [[Datei:Circular-sector-centroid.svg|mini|Schwerpunkt eines Kreisbogens]]
| |
| | |
| Ist der Ausschnitt des Kreises so gedreht und verschoben, dass die y-Achse des [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] eine Symmetrieachse des Kreisbogens ist und der Mittelpunkt des Kreises im [[Koordinatenursprung]] liegt (siehe Bild), dann lässt sich der Schwerpunkt durch
| |
| : <math>x_s = 0 \quad y_s=\frac{2 r^2 \sin\alpha}{b}=r \frac{l}{b}</math>
| |
| | |
| berechnen.<ref>Alfred Böge, ''Technische Mechanik''. Vieweg + Teubner 2009, S. 84 ({{Google Buch |BuchID=EpPDlXvOuAwC |Seite=84}})</ref> Hierbei ist <math>r</math> der Radius des Kreises, <math>b</math> die Länge des Kreisbogens und <math>l</math> die [[Sehne (Geometrie)|Sehnenlänge]] des Kreisbogens.
| |
| : <math>0 < \alpha \le \pi</math>
| |
| | |
| Für <math>\alpha = 0</math> versagt die Formel. Mit <math>\lim_{\alpha \to 0}{\tfrac l b} = \cos\alpha</math> kann der Schwerpunkt auch für sehr kleine Winkel berechnet werden.
| |
| | |
| Musste der Kreis zu anfangs verschoben oder gedreht werden, dann muss zur Vervollständigung der Rechnung der berechnete Schwerpunkt entsprechend wieder zurückverschoben oder gedreht werden.
| |
| | |
| ==== Flacher Bogen ====
| |
| [[Datei:Schwerpunkt beliebiger flacher bogen 02.png|mini]]
| |
| | |
| Um den Schwerpunkt eines flachen Bogens näherungsweise zu berechnen, muss dieser im kartesischen Koordinatensystem so verschoben werden, dass der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Endpunkte im Koordinatenursprung liegt. Dann befindet sich der Schwerpunkt für <math>h<r</math> in guter Näherung etwas unterhalb von
| |
| :<math>z_s\approx\frac{2h}3</math>.
| |
| | |
| Bei <math>h=r</math> (Halbkreis) liegt der Schwerpunkt exakt bei <math>\frac{2r}{\pi}</math>. Die prozentuale Abweichung steigt in etwa proportional mit h und beträgt bei <math>h=r</math> ungefähr 4,7 %. Daraus folgt der Ausdruck <math>\frac{2000h}{3(1000+47h/r)}</math>, der den Schwerpunkt im Bereich von <math>(0\leq h\leq r)</math> mit einer Genauigkeit von besser als 5 Promille angibt. Die exakte Lage des Linienschwerpunktes <math>z_s(h)</math> im gesamten Bereich von <math>(0< h\leq 2r)</math> findet man mittels Einsetzen von <math>\alpha=\arccos(1-h/r)</math> in die Formel für den auf den Kreismittelpunkt bezogenen Schwerpunkt <math>r \sin(\alpha)/\alpha</math> (siehe Oberabschnitt Kreisbogen):
| |
| :<math>z_s=h-r+\frac{\sqrt{h(2r-h)}}{\arccos (1-h/r)}</math>.
| |
| | |
| Interessanterweise zeigt <math>z_s</math> ein Maximum etwas größer als <math>r</math> bei <math>h\approx 1{,}9 \ r</math>.
| |
| War zu Beginn eine Verschiebung oder Drehung notwendig, so muss der Schwerpunkt wieder entsprechend zurückverschoben werden.
| |
| | |
| === Ebene Flächen ===
| |
| Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die [[Lot (Werkzeug)|Lotgerade]], eine so genannte '''Schwerelinie''' einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls in diesem Schwerpunkt.<br />
| |
| Bei Vielecken (insbesondere Dreiecken und Vierecken) unterscheidet man, je nach der Beschaffenheit der ebenen Fläche, zwischen drei verschiedenen Schwerpunkten:
| |
| :Flächenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und Eckenschwerpunkt<br />
| |
| wobei allerdings die beiden letztgenannten Schwerpunkte kaum eine praktische Anwendung haben und deshalb mehr oder weniger von nur akademischem Interesse sind.<br />
| |
| Eine homogene Fläche von beliebiger, aber konstanter Dicke hat (genau gesagt) einen '''Flächenschwerpunkt'''; meist begnügt man sich jedoch mit der Bezeichnung '''Schwerpunkt'''.<br />
| |
| Bei einem Vieleck, das nur aus seinen Umrandungen besteht (z. B. aus einzelnen dünnen Stangen oder in Form eines entsprechend gebogenen Drahtes), ist dessen Schwerpunkt ein '''Kantenschwerpunkt'''<br />
| |
| Bei einem (fiktiven) Modell, bei dem die Masse des Körpers (des Vielecks) lediglich in den Ecken konzentriert ist (z. B. in Form von gleichschweren Kugeln), spricht man von einem '''Eckenschwerpunkt'''.<br />
| |
| Die Lage dieser drei Schwerpunkte ist bei Vielecken mit gleicher äußerer Form, aber der o. g. unterschiedlichen Beschaffenheit, in der Regel voneinander verschieden; ihre Ermittlung richtet sich nach dem Einzelfall.
| |
| | |
| ==== Dreieck ====
| |
| ;Eckenschwerpunkt
| |
| [[Datei:01-Schwerpunkt im Dreieck-2.svg|mini|hochkant=1.4|Schwerpunkt <math>S = (x_s,y_s)</math> eines Dreiecks anhand der Seitenhalbierenden <math>S_a,\;S_b</math> und <math>S_c</math><br /><math>\overline{ AS } : \overline {SD} = 2 : 1</math><br /><math>F_{\triangle ABC} : F_{\triangle ABS} = \overline{ CG } : \overline{ SH } = 3 : 1</math><br /><math>F_{\triangle ABS} = F_{\triangle BCS} = F_{\triangle ASC}</math>]]
| |
| Der Eckenschwerpunkt <math>S</math> des Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt dreier [[Seitenhalbierende]]n; er teilt sie im Verhältnis <math>2 : 1</math>. <math>S</math> ist auch Eckpunkt der drei inneren Dreiecke mit gleichen Flächeninhalten <math>F</math>:
| |
| : <math>F_{\triangle ABS} = F_{\triangle BCS} = F_{\triangle ASC}</math>.
| |
| Der [[Abstand]] des Schwerpunktes <math>S</math> zu einer Dreiecksseite ist stets <math>\frac{1}{3} </math> der betreffenden Dreieckshöhe <math>h</math>.<ref name="Böge77">{{Literatur |Autor=Alfred Böge |Titel=Technische Mechanik |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2011 |ISBN=978-3-8348-1355-8 |Seiten=77}}</ref> Beispiel für die Dreiecksseite <math>c</math>:
| |
| : <math>S_c : h_c = 1 : 3</math>.
| |
| | |
| Sind die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks <math>ABC</math> bekannt, so ergeben sich die Koordinaten des Eckenschwerpunkts <math>S = (x_s,y_s)</math> als [[arithmetisches Mittel]] (siehe nebenstehendes Bild):
| |
| :<math>x_s = \frac13 (x_A+x_B+x_C),</math>
| |
| :<math>y_s = \frac13(y_A+y_B+y_C)</math>
| |
| | |
| Da bei einem Dreieck der Eckenschwerpunkt mit dem Flächenschwerpunkt zusammenfällt (s. unten), spricht man einfach vom ''Schwerpunkt'' des Dreiecks.
| |
| | |
| Die normierten [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] von <math>S</math> sind <math>(\tfrac13:\tfrac13:\tfrac13)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Gerald E. Farin, Dianne Hansford |Titel=Lineare Algebra: Ein geometrischer Zugang |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2003 |ISBN=3-540-41854-7 |Seiten=141}}</ref>
| |
| | |
| Ausgedrückt durch [[trilineare Koordinaten]] lautet der Eckenschwerpunkt eines Dreiecks mit Seitenlängen <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>
| |
| :<math>
| |
| \left(\frac{1}{a}: \frac{1}{b}: \frac{1}{c} \right) = (bc: ca: ab)\,.
| |
| </math>
| |
| | |
| Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist Mittelpunkt der [[Steiner-Ellipse]] (Steiner-Umellipse) und der [[Steiner-Inellipse]].
| |
| | |
| Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zudem derjenige eindeutig bestimmte Punkt im [[Innerer Punkt|Inneren]] des Dreiecks, dessen drei [[Verbindungsstrecke]]n zu den [[Eckpunkt]]en des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen [[Flächeninhalt]]s aufteilen (siehe [[Baryzentrische Koordinaten#Besondere Punkte, Eulergerade|baryzentrische Koordinaten]]).<ref name="FJPR_I">Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): ''Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft.'' 1973, S. 76</ref><ref>Den Beweis von Riecke (und einen anderen Beweis) findet man im [[b:Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte|Beweisarchiv]].</ref><br />
| |
| | |
| ;Flächenschwerpunkt = Eckenschwerpunkt:
| |
| Überdeckt man ein gegebenes Dreieck <math>ABC</math> mit Rechtecken wie im Bild (wie bei der Einführung des bestimmten Integrals), so erkennt man mit Hilfe eines Strahlensatzes, dass die Schwerpunkte (Mittelpunkte) der Rechtecke alle auf der Seitenhalbierende <math>CM_c</math> liegen. Damit liegt der Gesamtschwerpunkt aller Rechtecke auch auf dieser Seitenhalbierende. Verfeinert man nun die Rechtecküberdeckung, so bleibt die Eigenschaft auch bei unendlich feiner Überdeckung erhalten. Also gilt: der Flächenschwerpunkt des Dreiecks liegt auf der Seitenhalbierende <math>CM_c</math>. Mit analogen Überlegungen folgt schließlich:
| |
| :''Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Punkt der Seitenhalbierenden und damit gleich dem Eckenschwerpunkt.''
| |
| [[Datei:Dreieck-flaechen-schwerp.svg|mini|links|Zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts:<br />
| |
| Es ist <math>P_aP_b || AB </math> und <math>CM_c</math> ist Seitenhalbierende.]]
| |
| {{Absatz}}
| |
| ;Kantenschwerpunkt
| |
| Der '''Kantenschwerpunkt''' eines Dreiecks (oder auch: Der '''Schwerpunkt des Dreiecksumfangs''') lässt sich auf einfache Weise geometrisch ermitteln – es ist dessen [[Spieker-Punkt]].
| |
| | |
| ==== Trapez ====
| |
| <div style="float:right;">[[Datei:01 Trapez-Schwerpunkt, 1 Dreieck, 1 Diagonale.svg|mini|hochkant=1.2|Schwerpunkt eines Trapezes, Alternative]]</div>
| |
| <div style="float:right;">[[Datei:Schwerpunkt Trapez3.png|mini|hochkant=1.6|Schwerpunkt eines Trapezes]]</div>
| |
| Der Schwerpunkt des [[Trapez (Geometrie)|Trapezes]] lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet.<ref name="Lauenstein" /> Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet (gemessen vom linken unteren Eckpunkt):<ref>{{Literatur |Autor=Peter Peschel u. a. |Titel=Zimmerer Tabellenbuch ― Flächen und Schwerpunkte |Auflage=6. |Verlag=Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2022 |ISBN=978-3-8085-4982-7 |Seiten=20 |Online=https://www.europa-lehrmittel.de/leseprobe/43177-6.pdf#page=20&zoom=auto,-20,609 |Abruf=2025-04-11}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Johannes Wandinger |url=https://wandinger.userweb.mwn.de/Formelsammlungen/schwerpunkt.pdf#page=2&zoom=auto,-17,20 |titel=Kräftemittelpunkt und Schwerpunkt – Trapez |werk=Wandinger |datum=2017-02-28 |seiten=3 |format=PDF |abruf=2025-04-11}}</ref>
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| x_s&=\frac{a^2-b^2+\xi(a+2b)}{3(a+b)}\\
| |
| y_s&=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2b}{a+b}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Eine alternative Möglichkeit (siehe Bild) den Schwerpunkt in einem Trapez <math>ABCD</math> zu bestimmen beginnt ebenfalls mit dem Halbieren der parallelen Seiten. Damit ergibt sich die Seitenhalbierende (Schwerelinie) <math>s_h=\overline{FH}</math>. Mit dem Ziehen der beiden Diagonalen <math>e=\overline{AC}</math> und <math>f=\overline{BD}</math> entstehen die Dreiecke <math>ACD</math> und <math>BCD</math>. Die Konstruktion der Mittellinie <math>m=\overline{EG}</math> und die anschließenden Verbindungen der Punkte <math>A</math> mit <math>F</math> sowie <math>C</math> mit <math>E</math> bestimmen den Schwerpunkt <math>S_D</math> des Dreiecks <math>ACD</math>.<ref name="Lauenstein">{{Internetquelle |autor=R. Lauenstein |url=https://repozytorium.biblos.pk.edu.pl/redo/resources/39394/file/scans/DEFAULT/OCR_rezultaty/100000297556_A_v1_200dpi_q60.pdf#page=35&zoom=100,-112,504 |titel=Die Graphische Statik ― § 6. Graphische Schwerpunktsbestimmung. |hrsg=Universität Krakau |seiten=27 |format=PDF |abruf=2025-04-03}}</ref>
| |
| | |
| Die abschließend ab <math>S_D</math> gezogene Halbgerade <math>h_g</math>, parallel zur Diagonalen <math>f</math> verlaufend, liefert den Schwerpunkt <math>S_T</math> des Trapezes <math>ABCD</math> als Schnittpunkt mit der Seitenhalbierenden <math>s_h</math>.
| |
| | |
| ==== Polygon ====
| |
| [[Datei:01-Siebeneck, Schwerpunkt.svg|mini|hochkant=1.2|Schwerpunkt im regelmäßigen Polygon mit zwei Schwerelinien <math>S_1</math> und <math>S_2</math>]]
| |
| | |
| Der Schwerpunkt eines nicht überschlagenen, geschlossenen, auch unregelmäßigen Polygons mit <math>N</math> Eckpunkten kann wie folgt aus den kartesischen Koordinaten <math>(x_i, y_i)</math> der Eckpunkte berechnet werden (der nullte Eckpunkt <math>(x_0, y_0)</math> und der <math>N</math>-te Eckpunkt <math>(x_N, y_N)</math> sind hierbei identisch). Die Eckpunkte werden fortlaufend gegen den Uhrzeigersinn durchnummeriert.<ref>{{Webarchiv |url=http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/polyarea/ |text=Calculating the area and centroid of a polygon |wayback=20090922013611}}</ref> Der Schwerpunkt eines [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygons]] entspricht dem Mittelpunkt seines [[Umkreis]]es.<ref name="Papula-32">{{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2006 |ISBN=3-8348-0156-9 |Seiten=32–38}}</ref>
| |
| | |
| Der Flächeninhalt <math>A</math> des Polygons kann mit der [[Gaußsche Trapezformel|Gaußschen Dreiecksformel]]
| |
| | |
| : <math>A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>
| |
| | |
| bestimmt werden. Der Flächenschwerpunkt <math>S</math> des Polygons wird dann mit den Formeln
| |
| | |
| : <math>\begin{align}
| |
| x_s &= \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)\\
| |
| y_s &= \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| bestimmt.
| |
| | |
| ==== Unregelmäßiges Viereck ====
| |
| '''Flächenschwerpunkt'''
| |
| | |
| Der Flächenschwerpunkt eines unregelmäßigen [[Viereck]]s (Bild 1) kann auch relativ einfach geometrisch bestimmt werden. Es gibt zwei [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] in einem Viereck. Zuerst wird das Viereck mittels der ersten Diagonale <math>\overline{AC}</math> in zwei gegenüberliegende [[Dreieck]]e <math>\triangle{ACD}</math> und <math>\triangle{ABC}</math> aufgeteilt und jeweils deren Flächenschwerpunkte <math> S_1</math> und <math>S_3</math> bestimmt. Geometrisch kann der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks durch den Schnittpunkt seiner [[Seitenhalbierende]]n bestimmt werden. Die Verbindung der Flächenschwerpunkte dieser beiden Dreiecke bildet die Strecke <math>\overline{S_1S_3}</math>.
| |
| | |
| Dann wiederholt man die Prozedur mit den beiden Dreiecken <math>\triangle{BCD}</math> und <math>\triangle{ABD}</math> die durch die zweite Diagonale <math>\overline{BD}</math> abgetrennt werden. Die Verbindung der Flächenschwerpunkte <math> S_2</math> und <math>S_4</math> dieser beiden neuen Dreiecke bildet die Strecke <math>\overline{S_2S_4}</math>. Der Schnittpunkt der Strecke <math>\overline{S_1S_3}</math> und der Strecke <math>\overline{S_2S_4}</math> ist der Flächenschwerpunkt <math>S</math> des Vierecks <math>ABCD</math>.<ref name="Lauenstein" />
| |
| <div style="float:left;">[[Datei:01-Viereck, Schwerpunkt mithilfe 4 Dreiecken.svg|mini|250px|Bild 1: Unregelmäßiges Viereck mit Flächenschwerpunkt <math>S,</math> bestimmt aus vier Dreiecken]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 Viereck, Schwerpunkt mithilfe 2 Dreiecken.svg|mini|250px|Bild 2: Unregelmäßiges Viereck mit Flächenschwerpunkt <math>S,</math> bestimmt aus zwei Dreiecken, [[commons:File:01-Viereck, Schwerpunkt.gif|Animation]]]]</div>
| |
| {{Absatz}}
| |
| | |
| [[Datei:01 Viereck, Schwerpunkt mithilfe 4 Dreiecken-Beweisskizze.svg|mini|hochkant=1.2|Bild 3: Beweisskizze zu unregelmäßiges Viereck mit Flächenschwerpunkt <math>S,</math> bestimmt aus zwei Dreiecken, <math>S_1S_3\parallel\overline{BD}</math>]]
| |
| | |
| Die Darstellung in Bild 2, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden [[Dreieck]]en deren Schwerpunkte <math>S_1</math> und <math>S_2</math> zu ermitteln. Abschließend wird eine [[Halbgerade]] ab <math>S_1</math> parallel zur [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>\overline{BD}</math> und eine Halbgerade ab <math>S_2</math> parallel zur Diagonale <math>\overline{AC}</math> gezogen. Somit ist der [[Schnittpunkt]] der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt <math>S</math> des Vierecks.
| |
| | |
| Ein möglicher elementarer geometrischer Beweis für die Korrektheit der Konstruktion mit der inkludierten Behauptung „<math>\overline{S_1S_3}</math> ist parallel zu <math>\overline{BD}</math>“ bzw. „<math>\overline{S_2S_4}</math> ist parallel zu <math>\overline{AC}</math>“ ist der Ansatz mithilfe [[Ähnlichkeitssätze|ähnlicher Dreiecke]], siehe Beweisskizze (Bild 3). Es genügt, wenn nur der Beweis für die Behauptung „<math>\overline{S_1S_3}</math> ist parallel zu <math>\overline{BD}</math>“ geführt wird.
| |
| | |
| * Die Dreiecke <math>AS_3S_1</math> und <math>AGF</math> sind ähnlich wegen <math>\overline{AS_1}:\overline{AF} =\overline{AS_3}:\overline{AG} \ (= 2:3),</math>
| |
| : denn jede Schwerlinie wird vom Schwerpunkt im selben Verhältnis geteilt.
| |
| : Somit gilt: <math>S_1S_3 \parallel FG</math>.
| |
| * Die Dreiecke <math>CFG</math> und <math>CDB</math> sind ähnlich wegen <math>\overline{CF}:\overline{CD}=\overline{CG}:\overline{CB} \ (=1:2),</math>
| |
| : denn jede Schwerlinie verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
| |
| : Somit gilt: <math>FG \parallel BD.</math>
| |
| * Aus beidem und der [[Transitive Relation|Transitivität]] der Parallelität folgt: <math>S_1S_3</math> ist parallel zu <math>\overline{BD}</math>.
| |
| Was zu beweisen war.
| |
| | |
| ==== Kreisausschnitt ====
| |
| [[Datei:Kreisausschnitt Schwerpunkt.png|mini|Schwerpunkt eines Kreisteils]]
| |
| | |
| Ist der Ausschnitt des [[Kreis]]es so gedreht und verschoben, dass die y-Achse des kartesischen Koordinatensystems eine [[Symmetrieachse]] des Kreisausschnitts ist und der Mittelpunkt (des Vollkreises) im Ursprung liegt (siehe Bild), dann lässt sich der Schwerpunkt im [[Bogenmaß]] durch
| |
| :<math>y_s=\frac{2r\sin\alpha}{3\alpha}=\frac{2rl}{3b}</math>
| |
| | |
| mit <math>0 < \alpha \le \pi</math> berechnen.<ref>Frank Jablonski: {{Webarchiv |url=http://www.mechanik.uni-bremen.de/tmwing/04_Schwerpunkt.pdf |text=''Schwerpunkt'' |wayback=20091211183322}}, Universität Bremen, S. 114 (PDF; 688 kB)</ref>
| |
| | |
| Musste der Kreis anfangs verschoben oder gedreht werden, dann muss zur Vervollständigung der Rechnung der berechnete Schwerpunkt entsprechend wieder zurückverschoben oder gedreht werden.
| |
| | |
| ==== Kreisabschnitt ====
| |
| [[Datei:Schwerpunkt beliebiger kreisabschnitt.png|mini]]
| |
| | |
| Um den Flächenschwerpunkt eines Kreisabschnitts näherungsweise zu berechnen, muss dieser im kartesischen Koordinatensystem so verschoben werden, dass der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Endpunkte im Koordinatenursprung liegt. Dann befindet sich der Schwerpunkt für <math>h<r</math> in guter Näherung etwas oberhalb von
| |
| :<math>z_s\approx\frac{2h}5</math>.
| |
| | |
| Bei <math>h=r</math> (Halbkreis) liegt der Schwerpunkt exakt bei <math>\frac{4r}{3\pi}</math>. Die prozentuale Abweichung steigt in etwa proportional mit h und beträgt bei <math>h=r</math> ungefähr 5,8 %. Daraus folgt der Ausdruck <math>\frac{200h}{500-29h/r}</math>, der den Schwerpunkt im Bereich von <math>(0\leq h\leq r)</math> mit einer Genauigkeit von besser als 5 Promille angibt. Die exakte Lage des Flächenschwerpunktes <math>z_s(h)</math> im gesamten Bereich von <math>(0< h\leq 2r)</math> findet man mittels Einsetzen von <math>\alpha=\arccos(1-h/r)</math> in die Formel für den auf den Kreismittelpunkt bezogenen Schwerpunkt<ref>Alfred Böge et al.: ''Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik''. Springer 2013, Seite C14, Gl. (39)</ref> <math>4r \sin(\alpha)^3 /(6\alpha-3\sin(2\alpha))</math> :
| |
| :<math>z_s=h-r+\frac{2\left(\sqrt{h(2r-h)}\right)^3}{3\left((h-r)\sqrt{h(2r-h)}+r^2\arccos (1-h/r)\right)}</math>.
| |
| | |
| War zu Beginn eine Verschiebung oder Drehung notwendig, so muss der Schwerpunkt wieder entsprechend zurückverschoben werden.
| |
| | |
| ==== Parabelsegment ====
| |
| ;Flächenschwerpunkt
| |
| Eine Alternative zur [[#Flächenschwerpunkt einer Parabel|praktischen Bestimmung]] sind die beiden im Folgenden beispielhaft dargestellten Lösungen als [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]. Im ersten Beispiel steht die Grundlinie des Parabelsegments senkrecht zur Hauptachse der Parabel; im zweiten verläuft die Grundlinie schräg zur Hauptachse.
| |
| | |
| * Grundlinie des Parabelsegments steht senkrecht zur Hauptachse (Bild 1)
| |
| | |
| : Es sei eine Parabel <math>y=x^2-4</math> mit dem Parabelsegment <math>P_1=(-2,0)</math>, <math>B=(0,-4)</math>, <math>P_2=(2,0)</math> und der Höhe <math>|\overline{AB}|</math> auf der Parabelachse.
| |
| | |
| * Grundlinie des Parabelsegments verläuft schräg zur Hauptachse (Bild 2)
| |
| : Es sei eine Parabel <math>y=0.25x^2</math> mit dem Parabelsegment <math>P_1=(-4,4)</math>, Scheitelpunkt <math>(0,0) </math>, <math>P_2=(6,9)</math>.
| |
| : Durch Halbieren der Länge <math>|\overline{P_1P_2}|</math> erhält man den Punkt <math>A=(1,6.5)</math>, durch eine Parallele zur Achse durch <math>A</math> den Punkt <math>B=(1,0.25)</math> und somit die Höhe <math>|\overline{AB}|</math>.
| |
| | |
| Für das Bestimmen des Schwerpunktes <math>S</math> bedarf es jeweils noch der Teilung der Höhe <math>|\overline{AB}|</math> im Verhältnis <math>|\overline{BS}|:|\overline{SA}|=3:2 </math> mit Hilfe des [[Strahlensatz]]es.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas L. Heath |Titel=Archimedes' Werke |TitelErg=Über das Gleichgewicht von Ebenen. Buch II Satz 8. |Verlag=O.Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Seiten=336 |Sprache=de |Übersetzer=[[Fritz Klein]] |Online=https://ia801808.us.archive.org/26/items/werke00arch/werke00arch.pdf#page=351&zoom=100,-202,10 |Abruf=2026-08-26}}</ref>
| |
| | |
| {{Doppeltes Bild|zentriert|01 Parabel-Schwerpunkt-Fläche.svg|399 <!-- entspricht Größe der Skizze der Variation-->|01 Parabel-Schwerpunkt-Fläche-schräge Basis.svg|400|Bild 1<br />
| |
| Grundlinie des Parabelsegments senkrecht zur Hauptachse <math>|\overline{BS}|:|\overline{SA}|=3:2 </math>|Bild 2<br />Grundlinie des Parabelsegments schräg zur Hauptachse <math>|\overline{BS}|:|\overline{SA}|=3:2 </math>}}
| |
| | |
| === Körper ===
| |
| Für dreidimensionale [[Körper (Geometrie)|Körper]] kann man sowohl den Volumenschwerpunkt, also den Schwerpunkt des Vollkörpers, als auch den Flächenschwerpunkt, also den Schwerpunkt der [[Fläche (Mathematik)|Fläche]], die den Körper begrenzt, berechnen.
| |
| | |
| ==== Pyramide und Kegel ====
| |
| [[Datei:Pyramidenmantel Schwerp.png|mini|hochkant|Flächenschwerpunkt einer Pyramide]]
| |
| | |
| Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] oder eines [[Kegel (Geometrie)|Kegels]] zu berechnen, verschiebt man sie im [[Krummlinige Koordinaten|schiefwinkligen Koordinatensystem]], so dass der Schwerpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung <math>(0,0,0)</math> liegt, und die y-Achse durch die Spitze geht. Dann kann der Volumenschwerpunkt einer Pyramide oder eines Kegels durch<ref name="Papula-34">{{Literatur |Autor=Lothar Papula |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2006 |ISBN=3-8348-0156-9 |Seiten=34}}</ref>
| |
| | |
| :<math>x_s = 0, \qquad y_s=\frac{h}{4},\qquad z_s = 0</math>
| |
| | |
| und der Flächenschwerpunkt der Mantelfläche durch
| |
| | |
| :<math>x_s = 0, \qquad y_s=\frac{h}{3},\qquad z_s = 0</math>
| |
| | |
| berechnet werden.
| |
| <div style="clear:both;"></div>
| |
| | |
| ==== Rotationsparaboloid ====
| |
| [[Datei:Ellipsoid Schwerpunkt.png|mini|Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids]]
| |
| ===== Berechnung =====
| |
| Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt eines [[Rotationsparaboloid]]s zu berechnen, wird es im kartesischen Koordinatensystem verschoben, so dass der Schwerpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung <math>(0,0,0)</math> liegt. Dann kann man den Volumenschwerpunkt des Rotationsparaboloids durch
| |
| | |
| :<math>x_s = 0, \qquad y_s=\frac{h}{3},\qquad z_s = 0</math>
| |
| | |
| berechnen. Der Flächenschwerpunkt sieht ein wenig komplizierter aus. Für die Komponenten <math>x_s</math> und <math>z_s</math> gilt ebenfalls wieder
| |
| :<math>x_s = z_s = 0</math>
| |
| | |
| und die Komponente <math>y_s</math> liegt bei
| |
| :<math>y_s=h-\frac{4\pi\sqrt{f}\int_{0}^{h} y \sqrt{f+y}\, \mathrm d y}{4\pi\sqrt{f}\int_{0}^{h} \sqrt{f+y} \, \mathrm d y}=h\left( 1+\frac 25 (f/h)-\frac{3/5}{1-1/(1+h/f)^{3/2}}\right),</math>
| |
| | |
| wobei der Ausdruck im Nenner des ersten Bruchs die [[Mantelfläche]] der nach rechts geöffneten [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] <math>y=2\sqrt{f x}</math> mit der Brennweite f darstellt.
| |
| Ab <math>(f/h) \gtrsim 3</math> strebt <math>y_s</math> gegen <math>\tfrac 12 h</math>, anderenfalls gegen <math>\tfrac 25 h</math>.
| |
| | |
| ===== Konstruktion =====
| |
| Eine Alternative zur Berechnung sind die beiden im Folgenden beispielhaft dargestellten Lösungen als [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]. Im ersten Beispiel steht die Grundfläche des Paraboloids senkrecht zur Achse des Paraboloids; im zweiten verläuft die Grundfläche schräg zur Achse.
| |
| | |
| * Grundfläche des Paraboloids steht senkrecht zur Achse (Bild 1)
| |
| | |
| : Es sei ein Paraboloid <math>z=9-0.25(x^2+y^2)</math> mit den Punkten <math>B=(0,0,0)</math>, <math>A=(0,0,9)</math>, <math>P_1=(-6,0,0)</math>, <math>P_2=(6,0,0)</math> und der Höhe <math>|\overline{AB}|</math> auf der Achse des Paraboloids.
| |
| | |
| * Grundfläche des Paraboloids verläuft schräg zur Achse (Bild 2)
| |
| | |
| : Es sei ein Paraboloid <math>z=9-0.25(x^2+y^2)</math> mit den Punkten <math>C=(0,0,0)</math>, <math>D=(0,0,9)</math> <math>P_1=(-4,0,5)</math>, <math>P_2=(6,0,0)</math>.
| |
| : Durch Halbieren der Länge <math>|\overline{P_1P_2}|</math> erhält man den Punkt <math>B=(1,0,2.5)</math>, durch eine Parallele zu <math>|\overline{CD}|</math> durch <math>B</math> den Punkt <math>A=(1,0,8.75)</math> und somit die Höhe <math>|\overline{AB}|</math>.
| |
| | |
| Für das Bestimmen des Schwerpunktes <math>S</math> bedarf es jeweils noch der Teilung der Höhe <math>|\overline{AB}|</math> im Verhältnis <math>|\overline{AS}|=\tfrac{2}{3}|\overline{SB}|</math> mit Hilfe des [[Strahlensatz]]es.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas L. Heath |Titel=Archimedes' Werke |TitelErg=Archimedes' Methode, mechanische Sätze behandelnd — an Eratosthenes. Buch II Satz 5. |Verlag=O.Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Seiten=426–428 |Sprache=de |Übersetzer=[[Fritz Klein]] |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/426/mode/2up |Abruf=2026-08-29}}</ref>
| |
| | |
| {{Doppeltes Bild|zentriert|01 Paraboloid-rechtwinklig geschnitten-Bild.png|392|01 Paraboloid-schräg geschnitten-Bild.png|350|Bild 1<br />Grundfläche des Paraboloids steht senkrecht zur Achse <math>|\overline{AS}|=\tfrac{2}{3}|\overline{SB}|</math>|Bild 2<br />Grundfläche des Paraboloids verläuft schräg zur Achse <math>|\overline{AS}|=\tfrac{2}{3}|\overline{SB}|</math>}}
| |
| | |
| ==== Kugelsegment ====
| |
| [[Datei:Spherical Cap-2.svg|mini|Schwerpunkt eines Kugelsegments]]
| |
| | |
| Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt eines [[Kugelsegment]]s zu berechnen, verschiebt man das Segment im kartesischen Koordinatensystem, so dass der Mittelpunkt der Vollkugel im Koordinatenursprung <math>(0,0,0)</math> liegt. Der Volumenschwerpunkt wird dann durch<ref name="Papula-38">{{Literatur |Autor=Lothar Papula |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2006 |ISBN=3-8348-0156-9 |Seiten=38}}</ref>
| |
| | |
| :<math>x_s = 0, \quad y_s=\frac{3(2r-h)^2}{4(3r-h)},\quad z_s = 0</math>
| |
| | |
| und der Flächenschwerpunkt durch
| |
| | |
| :<math>x_s = 0, \quad y_s=r-\frac{h}{2},\quad z_s = 0</math>
| |
| | |
| berechnet. (<math>0\le h \le 2\,r</math>)
| |
| | |
| == Zusammenfassen von Schwerpunkten ==
| |
| Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner Figuren zu einem gemeinsamen Schwerpunkt der Gesamtfigur zusammenzufassen, so dass sich der Schwerpunkt einer zusammengesetzten Figur aus den Schwerpunkten einzelner ''einfacher'' Elemente ergibt.
| |
| | |
| {| border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" style="text-align:center"
| |
| |----
| |
| ! eindimensional
| |
| ! zweidimensional
| |
| ! dreidimensional
| |
| ! allgemein
| |
| |----
| |
| |<math>x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot l_i)}{\sum\limits_i l_i}</math>
| |
| |<math>x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}</math><br />
| |
| <math>y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}</math>
| |
| |<math>x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}</math><br />
| |
| <math>y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}</math><br />
| |
| <math>z_s=\frac{\sum\limits_i (z_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}</math>
| |
| |<math>\vec{r}_s=\frac{\sum\limits_i (\vec{r}_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}</math>
| |
| |}
| |
| | |
| Die Koordinaten <math>x_s</math>, <math>y_s</math> und <math>z_s</math> sind in einem frei wählbaren, aber einheitlichen kartesischen Koordinatensystem anzugeben. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden unter Berücksichtigung, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] in die Berechnung eingehen. Die Komponenten <math> x_s, \, y_s, \, z_s</math> des Schwerpunkts bilden den [[Vektor]] <math>\vec r_s</math>.
| |
| | |
| == Definition des Schwerpunkts durch Integrale ==
| |
| Die Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts elementargeometrischer Figuren können mit den nachfolgend angegebenen Integralen hergeleitet werden. Bei komplizierteren Figuren lassen sich diese Integrale häufig nur [[Numerische Integration|numerisch]] bestimmen.
| |
| | |
| Die Definition entspricht mathematisch der Mittelung aller Punkte des geometrischen Objekts (Körpers) im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^3</math>. Bei Linien und Flächen im zweidimensionalen Raum <math>\R^2</math> sind nur die Koordinaten <math>x_S</math> und <math>y_S</math> zu berechnen, die <math>z</math>-Koordinate entfällt. Der Integrationsbereich ist bei Linien eindimensional, bei Flächen zweidimensional und bei Körpern dreidimensional.
| |
| | |
| === Linie ===
| |
| Für eine [[Kurve (Mathematik)|Linie]] <math>C</math> der [[Länge (Mathematik)|Länge]] <math>L</math> ergibt sich der Schwerpunkt <math>\vec r_S = (x_S, y_S, z_S)</math> durch
| |
| :<math>x_S = \frac 1 L \int_C x \,\mathrm ds, \quad y_S = \frac 1 L \int_C y \,\mathrm ds, \quad z_S = \frac 1 L \int_C z \,\mathrm ds</math>
| |
| | |
| mit
| |
| :<math>\quad L=\int_C \, \mathrm ds.</math>
| |
| | |
| Diese Integrale sind [[Kurvenintegral#Wegintegral erster Art|Wegintegrale erster Art]].
| |
| | |
| === Flächen ===
| |
| Für eine Fläche <math>F</math> mit [[Flächeninhalt]] <math>A</math> ist der Schwerpunkt definiert durch
| |
| :<math>x_S = \frac 1 A \int_F x\,\mathrm dA, \quad y_S = \frac 1 A \int_F y\, \mathrm dA, \quad z_S = \frac 1 A \int_F z\,\mathrm dA</math>
| |
| | |
| mit
| |
| :<math>\quad A=\int_F \mathrm dA.</math>
| |
| | |
| Diese Integrale sind [[Oberflächenintegral]]e mit skalarem Flächenelement.
| |
| | |
| === Körper ===
| |
| Im Fall eines beschränkten [[Körper (Geometrie)|Körpers]] <math>K</math> im dreidimensionalen Raum mit [[Volumen]] <math>V</math> ist der Schwerpunkt definiert durch
| |
| :<math>x_S = \frac 1 V \int_K x\,\mathrm dV, \quad y_S = \frac 1 V \int_K y\, \mathrm dV, \quad z_S = \frac 1 V \int_K z\,\mathrm dV</math>
| |
| | |
| mit
| |
| :<math>\quad V=\int_K \mathrm dV.</math>
| |
| | |
| Diese Integrale sind [[Volumenintegral]]e.
| |
| | |
| === Allgemein ===
| |
| Sei <math>K \subset \R^n</math> ein Körper mit dem Volumen <math>V</math>. Der Schwerpunkt <math>x_S = (x_{s,1}, \ldots, x_{s,n}) \in \R^n</math> von <math>K</math> ist definiert durch
| |
| :<math>x_{s,i} = \frac{1}{V}\int_K x_i \, \mathrm d V\ \quad\text{mit}\quad V = \int_K \mathrm d V,</math>
| |
| | |
| wobei <math>\mathrm{d}V</math> das m-dimensionale [[Volumenelement]] und <math>m</math> die Dimension von <math>K</math>, mit <math>m \le n</math> ist.<ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Centroid&oldid=13379 ''Centroid''.] In: M. Hazewinkel: ''Encyclopedia of Mathematics''. („center of a compact set“)</ref><ref>[[Norbert Henze]], Günter Last: ''Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge – Band II''. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 3-528-03191-3, S. 128 ({{Google Buch |BuchID=LtEgJf6ql3UC |Seite=128 |Linktext=Auszug}})</ref>
| |
| | |
| == Integration bei symmetrischen Objekten ==
| |
| Bei Objekten, die Symmetrieelemente, z. B. eine [[Symmetrieachse]] oder eine [[Achsensymmetrie#Ebenensymmetrie|Symmetrieebene]] besitzen, vereinfacht sich die Berechnung des Schwerpunkts in vielen Fällen, da der Schwerpunkt immer im Symmetrieelement enthalten ist. Hat das Objekt eine Symmetrieachse, so kann das Volumenelement in Abhängigkeit vom infinitesimalen Achsenelement ausgedrückt werden. Es braucht also nur noch über die Symmetrieachse integriert zu werden.<ref>{{Literatur |Autor=David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker |Titel=Halliday Physik für natur- und ingenieurwissenschaftliche Studiengänge |Auflage=3. |Verlag=Wiley-VCH-Verlag |Ort=Weinheim |Datum=2020 |ISBN=978-3-527-41368-3 |Seiten=116 |Online={{Google Buch |BuchID=uZe1DwAAQBAJ |Seite=116}}}}</ref>
| |
| | |
| == Alternative Integralformel für Flächen in der Ebene ==
| |
| Eine andere Möglichkeit, die Schwerpunktskoordinaten einer Fläche zu errechnen, ergibt sich durch die Formeln:
| |
| | |
| :<math> x_s = \frac{\int_{a}^{b}(x(f(x)-g(x)))\, \mathrm d x}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\, \mathrm d x}</math>, <math> y_s= \frac{\int_{a}^{b}(f(x)^{2}-g(x)^{2}) \, \mathrm d x}{\int_{a}^{b} (2(f(x)-g(x) ))\, \mathrm d x}, </math>
| |
| | |
| wobei die Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> die Schnittpunkte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> darstellen. Durch diese Formel lässt sich der Schwerpunkt einer beliebigen ebenen Fläche, die zwischen zwei Funktionen eingeschlossen ist, berechnen. Bedingungen hierfür sind <math>a < x < b</math>, <math>g(x) < y < f(x).</math><ref>Thomas Westermann: ''Mathematik für Ingenieure''. Springer 2015, ISBN 978-3-642-54290-9, S. 338.</ref>
| |
| | |
| == Beispiele zur Integralrechnung ==
| |
| === Linienschwerpunkt eines Kreisbogens ===
| |
| [[Datei:Kreisbogen Schwerpunkt2.png|mini|Schwerpunkt eines Kreisbogens]]
| |
| Punkte auf einem ebenen Kreisbogen können am einfachsten in [[Polarkoordinaten]] angegeben werden. Wenn die y-Achse auf der Symmetrielinie mit Ursprung im Kreismittelpunkt liegt, lauten die Koordinaten:
| |
| :<math>x = r \sin\varphi, \, y = r \cos\varphi.</math>
| |
| Die Länge <math>b</math> des Kreisbogens ergibt sich zu:
| |
| :<math>b = \int_K \mathrm ds = \int_{-\alpha}^{\alpha} r \mathrm d\varphi = 2 r \alpha,</math>
| |
| wobei das infinitesimale Längenelement <math>\mathrm ds</math> durch <math>r \mathrm d\varphi</math> substituiert werden kann.
| |
| | |
| Aus Symmetriegründen ist <math>x_S = 0</math>. Für die y-Koordinate des Linienschwerpunkts ergibt sich aus der Definitionsgleichung:
| |
| :<math>y_S = \frac 1 b \int_K y\, \mathrm ds = \frac 1 b \int_{-\alpha}^{\alpha} r^2 \cos\varphi\, \mathrm d\varphi.</math>
| |
| Die Integration in den Grenzen ergibt dann
| |
| :<math>y_S = \frac {r^2} b 2 \sin\alpha = r \frac l b.</math>
| |
| | |
| === Flächenschwerpunkt einer Parabel ===
| |
| [[Datei:Schwerpunkt parabel.svg|mini|Parabel <math>y=x^2-4</math> mit schraffierter Fläche unter der x-Achse; der Schwerpunkt (roter Punkt) liegt bei (0;−1,6).]]
| |
| Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im zweidimensionalen Fall substituiert man <math>\mathrm dA</math> mit <math>y\cdot \mathrm dx</math>, was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei <math>y</math> der die Fläche begrenzenden Funktion <math>y(x)</math>.
| |
| | |
| Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im zweidimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:
| |
| * Entweder man bildet Umkehrfunktion <math>x(y)</math> und berechnet das Integral <math>\textstyle \int_A y \, \mathrm dA = \int_y y\cdot x(y) \, \mathrm dy</math>, wobei die „neuen“ Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind,
| |
| * oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen <math>\tfrac{y(x)}{2}</math> ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der [[Umkehrfunktion]] erspart bleibt:
| |
| | |
| Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel <math>y = x^2-4</math> und durch die x-Achse definiert ist (siehe nebenstehende Abbildung).
| |
| | |
| Zuerst bestimmen wir den Inhalt <math>A</math> der Fläche
| |
| :<math>A = \left|\int\limits_{-2}^2 (x^2-4)\,\mathrm dx\right| = \frac{32}{3}</math>
| |
| | |
| Die Grenzen des Integrals sind bei Begrenzung der Fläche durch die x-Achse die Nullstellen der Funktion.
| |
| | |
| Die <math>x</math>-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu
| |
| :<math>x_s = \frac{1}{A} \int\limits_{-2}^2 \int\limits_{y(x)}^0 x \, \mathrm dy \,\mathrm dx = -\frac{1}{A} \int\limits_{-2}^2 x\cdot y(x)\,\mathrm dx = -\frac{1}{A} \int\limits_{-2}^2 x\cdot (x^2-4)\,\mathrm dx = 0.</math>
| |
| | |
| Die <math>y</math>-Koordinate ergibt sich zu
| |
| :<math>y_s = \frac{1}{A} \int\limits_{-2}^2 \int\limits_{y(x)}^0 y \, \mathrm dy \,\mathrm dx = -\frac 1{2A}\int\limits_{-2}^2 [y(x)]^2\,\mathrm dx= -\frac 1{2A}\int\limits_{-2}^2 (x^4-8x^2+16)\,\mathrm dx= -1{,}6.</math>
| |
| | |
| == Siehe auch ==
| |
| * [[Satz von Commandino]]
| |
| * [[Seitenhalbierende]]
| |
| | |
| == Literatur ==
| |
| * {{Literatur
| |
| |Hrsg=Hermann Athen, Jörn Bruhn
| |
| |Titel=Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete
| |
| |Band=Band 4: ''S bis Z''
| |
| |Verlag=Aulis Verlag
| |
| |Ort=Köln
| |
| |Datum=1978
| |
| |ISBN=3-7614-0242-2
| |
| |Seiten=943–944}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]
| |
| |Titel=Unvergängliche Geometrie
| |
| |TitelErg=Ins Deutsche übersetzt von [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|J. J. Burckhardt]]
| |
| |Reihe=Wissenschaft und Kultur
| |
| |BandReihe=17
| |
| |Verlag=Birkhäuser Verlag
| |
| |Ort=Basel / Stuttgart
| |
| |Datum=1963
| |
| |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Coxeter&s5=Unverg%C3%A4ngliche%20Geometrie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0692941]}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=[[Egbert Harzheim]]
| |
| |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
| |
| |Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
| |
| |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
| |
| |Ort=Darmstadt
| |
| |Datum=1978
| |
| |ISBN=3-534-07016-X
| |
| |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264]}}
| |
| * Jens Levenhagen, Manfred Spata: ''Die Bestimmung von Flächenmittelpunkten.'' In: ''Vermessungswesen und Raumordnung.'' Band 60, 1998, S. 31–42.
| |
| * {{Literatur
| |
| |Hrsg=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
| |
| |Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis
| |
| |TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
| |
| |Auflage=4.
| |
| |Verlag=Bibliographisches Institut
| |
| |Ort=Mannheim, Wien, Zürich
| |
| |Datum=1985
| |
| |Seiten=556 ff.
| |
| |DNB=850380359}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=Thomas Westermann
| |
| |Titel=Mathematik für Ingenieure
| |
| |Verlag=Springer
| |
| |Datum=2011
| |
| |ISBN=978-3-642-12759-5
| |
| |Seiten=336–338
| |
| |Online={{Google Buch |BuchID=JOOpZzV_ZQ0C |Seite=336}}}}
| |
| | |
| == Weblinks ==
| |
| {{Commonscat|Centroid|audio=0|video=0}}
| |
| {{Wiktionary|Schwerpunkt}}
| |
| * [https://www.mathematische-basteleien.de/schwerpunkt.htm ''Schwerpunkt von Figuren''] auf mathematische-basteleien.de
| |
| * [https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/CenterOfMass.aspx ''Center of Mass''] auf Paul’s Online Math Notes – Calculus II, Lamar University
| |
| * [https://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/schwerpunktdreieck.htm Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt beim Dreieck]
| |
| * {{Toter Link |url=http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl005.htm |text=Flash-Animation zur Schwerpunkt-Konstruktion beim Dreieck}} (dwu-Unterrichtsmaterialien)
| |
| | |
| == Einzelnachweise ==
| |
| <references />
| |
| | |
| [[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
| |
| [[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
| |
