Eulersche Winkel

angelegt 15.03.2021

Quelle; Eulersche Winkel

Siehe auch Freiheitsgrad

Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen z,x',z".
Eigenes Koordinatensystem: rot
festes Referenzsystem:blau

Roll-Nick-Gier-Wink

[ Roll-Nick-Gier-Winkel] (Eulerwinkel)
Rotationsachsen:	Bewegung:
↙ Längsachse (Roll-/Wankachse):	Rollen, Wanken
↖ Querachse (Nickachse):	Nicken, Stampfen
↓ Vertikalachse (Gierachse):	Gieren (Schlingern)

Roll-Nick-Gier-Winkel, englisch roll-pitch-yaw angle, sind spezielle Eulerwinkel (Lagewinkel), die zur Beschreibung der Ausrichtung eines Fahrzeugs im dreidimensionalen Raum herangezogen werden. Diese Art der Richtungsmessung und -bestimmung durch Drehratensensoren wurde zur Navigation im Luftverkehr eingeführt und wird inzwischen neben Luftfahrzeugen auch für Raum-, Land- und Wasserfahrzeuge verwendet.

Die eulerschen Winkel (oder Euler-Winkel), benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, sind ein Satz von drei Winkeln, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum beschrieben werden kann. Sie werden üblicherweise mit

α,β,γ

oder mit

φ,θ,ψ

bezeichnet. Der Körper kann zum Beispiel ein Kreisel sein (in der theoretischen Physik) oder ein Fahrzeug, ein Schiff oder ein Flugzeug. In der Astronomie kann der „Körper“ auch die Bahnellipse eines Himmelskörpers sein.

Anstatt der Drehlage eines Körpers können eulersche Winkel auch die Lage eines kartesischen Koordinatensystems in Bezug auf ein anderes kartesisches Koordinatensystem beschreiben und werden deshalb für Koordinatentransformationen verwendet. Oft ist das gedrehte Koordinatensystem an einen gedrehten Körper „angeheftet“. Man spricht dann vom körperfesten Koordinatensystem und nennt das ursprüngliche Koordinatensystem raumfest.

Die Drehlage wird erzeugt, indem der Körper aus seiner Ursprungslage heraus nacheinander um die drei Eulerwinkel um Koordinatenachsen gedreht wird. Für die Wahl der Achsen gibt es verschiedene Konventionen:

• Eigentliche Eulerwinkel: Die erste und die dritte Drehung finden um die gleiche Koordinatenachse statt (z. B. Drehung um z-Achse, x-Achse, z-Achse).
• Kardanwinkel oder Tait-Bryan-Winkel: Alle drei Drehungen werden um verschiedene Koordinatenachsen gedreht (z. B. in der Reihenfolge x-Achse, y-Achse, z-Achse).

Dabei wird entweder bei der zweiten und dritten Drehung um die zuvor gedrehten Koordinatenachsen gedreht (intrinsische Drehungen) oder immer um die ursprünglichen Koordinatenachsen (extrinsische Drehungen).

Die aus den drei Einzeldrehungen zusammengesetzte Drehung kann durch eine Matrix beschrieben werden, die sich entsprechend als Produkt von drei elementaren Drehmatrizen darstellen lässt. Je nach Anwendungszweck betrachtet man verschiedene Matrizen:

• Transformationsmatrix für die Koordinatentransformation vom gedrehten (körperfesten) ins ursprüngliche (raumfeste) Koordinatensystem,
• Transformationsmatrix für die Koordinatentransformation vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem,
• Abbildungsmatrix der Drehung bezüglich des raumfesten Koordinatensystems.

Geschichte

Euler (1778)

Drehungen wurden spätestens seit etwa 1600 durch drei Winkel beschrieben. So bestimmte Johannes Kepler in der Astronomia nova die Orientierung der Marsbahn in Bezug auf die Ekliptik durch drei Winkel. Eine algebraische Beschreibung, mit der die Drehlage von beliebigen Punkten berechnet werden konnte, wurde aber erst ab 1775 von Leonhard Euler in zunehmender Tiefe formuliert. In der ersten Arbeit zeigte er, dass die neun, den Elementen der Abbildungsmatrix entsprechenden, Koeffizienten wegen der Längentreue einer Bewegung nicht unabhängig voneinander sind, sondern durch nur drei voneinander unabhängige Winkel festgelegt werden. Es handelt sich bei diesen aber nicht um die hier behandelten eulerschen Winkel, sondern um reine Rechengrößen ohne geometrische Bedeutung. Bekannt ist diese Arbeit heute besonders, weil er in einem Zusatz das heute nach ihm benannte Rotationstheorem bewies, nach dem jede Bewegung mit einem Fixpunkt eine Drehung um eine Achse ist. Die aus diesem Ergebnis resultierenden Abbildungsgleichungen, in denen eine Drehung durch die Richtungskosinus der Drehachse und den Drehwinkel parametrisiert wird, fand er in einer kurz darauf folgenden zweiten Arbeit.

Winkel p,q,r aus der Arbeit von Euler

Koordinatentransformation, Drehfolge in Standard-x-Konventionblau: Koordinatensystem in Ausgangslage grün: Schnittgerade der xy-Ebenen, Zwischenlage der x-Achse rot: Koordinatensystem in Ziellage

Eulerwinkel bei extrinsischen Einzeldrehungen in der Reihenfolge -- mit den Winkeln , , . blau: Ausgangslage des Koordinatensystems, rot: Ziellage, grün: Schnittgerade der beiden xy-Ebenen.

Koaxialrotor in Bewegung