„Reihe (Mathematik)“ – Versionsunterschied

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Version vom 9. Mai 2024, 08:54 Uhr

Reihe^[1], in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze gebildete Folge von Größen; diese Größen nennt man die Glieder der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. Glied der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen Ausdruck bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. Glied der R. ergibt; dieser Ausdruck heißt das n te oder das allgemeine Glied der R. Die einfachsten Reihen sind die, deren Glieder eine sogen. arithmetische oder geometrische Progression bilden. Eine arithmetische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man zu dem vorhergehenden eine gewisse Zahl, und zwar immer dieselbe, addiert. Ist a das erste Glied (Anfangsglied) der R. und d die zu addierende Zahl (die Differenz der R.), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, a+d, a+2d etc., und das allgemeine (n te) Glied lautet: a+(n-1)d. Die Summe der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+¹/₂n(n-1)d = ¹/₂n(a+t), wenn t das nie Glied ist. Eine arithmetische Progression bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die Summe der n = 100 ersten Zahlen ist daher: ¹/₂100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Progression, so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter Ordnung, aus der man durch Wiederholung dieses Verfahrens solche von dritter und höherer Ordnung ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen Reihen bezeichnet man als solche erster Ordnung. Eine geometrische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. Ist a das erste Glied und e diese Zahl (der Exponent der Progression), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, ae, ae² etc., und ae^n-1 ist das allgemeine (nte) Glied. Die Glieder der R. nehmen fortwährend zu oder fortwährend ab, sie bilden eine steigende oder eine fallende Progression, je nachdem e größer oder kleiner als 1 ist. Für die Summe der n ersten Glieder der R. ergibt sich der Wert; a(eⁿ-1)/(e-1). Verlangt man z. B., wie es der sagenhafte Erfinder des Schachspiels als Belohnung für seine Erfindung von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste Feld des Schachbrettes ein Korn gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende Feld doppelt so viel Körner als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) Feld 2⁶³, d. h. 9,223372,036854,775808 Körner, und die Gesamtzahl aller Körner wird: 2⁶⁴-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen Progressionen besonders in der Zinseszinsrechnung (s. d.). In der höhern Mathematik spielen besonders die unendlichen Reihen eine große Rolle, das sind Reihen, die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes Glied einer solchen R. durch den Buchstaben a, an den wir als sogen. Index (Zeiger) die Zahl anhängen, die die Nummer des Gliedes angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a₁, a₂, a₃ etc. und a., wird das n te Glied, wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine Summe hat, d. h. ob die Summealler Glieder der R.: a₁+a₂+a₃+etc. bis ins Unendliche einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »Summe« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als Summe der unendlichen R.: a₁, a₂, a₃ etc. den Grenzwert, dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s₁ = a₁, s₂ = a₁+a₂, s₃ = a₁+a₂+a₃, etc., s_n = a₁+a₂+a₃+etc. bis +a_n immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der Summe 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen Grenzwert, und ist dieser endlich, so heißt die R. konvergent, ist dagegen der Grenzwert unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen Grenzwert, so heißt die R. divergent. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae² etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die Summe s_n ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: s_n = a(eⁿ-1)/(e-1), einen Ausdruck, der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle Grenzen wächst und mithin dem Grenzwert Unendlich zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich s_n in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)eⁿ geschrieben werden kann, wo das Glied: a/(1-e)eⁿ für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein Grenzwert von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die Summe einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die Summe einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte Summe hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten Reihen, doch ist es in den meisten Fällen keine leichte Aufgabe, zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche Reihen findet man in den Lehrbüchern der höhern Analysis und der Differentialrechnung. Vgl. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübing. 1889).

Reihe (Mathematik)

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus demmathematischen TeilgebietderAnalysis. Anschaulich ist eine Reihe eineSummemitunendlichvielenSummanden, wie etwa

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …,

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihekonvergiert, ob also die Summe endlich vieler Summanden durch Hinzunahme hinreichend vieler weiterer Summanden einem festen Wert beliebig nahe kommt. So konvergiert etwa die obige Beispielreihe gegen den Wert 1 (siehe Bild), allerdings existieren auch divergente (also nicht konvergente) Reihen, wie zum Beispiel

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …,

Allgemein wird eine Reihe 𝑎₀ + 𝑎₁ + 𝑎₂ + … mit bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die $𝑛$ -te Partialsumme die Summe der ersten 𝑛 + 1 (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt.

Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newtonvorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der Integration von Kurven. Als formale Objekte wurden Reihen im 18. Jahrhundert von Mathematikern wie Leonhard Euler studiert, der ihnen drei Bände seines Gesamtwerkes, der Opera Omnia, widmete. Erst im 19. Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 schuf Augustin-Louis Cauchy die Grundlagen der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der mathematisch strengenAufarbeitung der Analysis, etwa durch Karl Weierstraß, den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Zusammenhang war das Cauchy-Kriterium für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der Zahlentheorie, ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.

Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese gegeben ist, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren allgemeinen Methoden. Allerdings wurden Kriterien entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.

Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über Taylorreihen zu analytischen Funktionen), den Ingenieurwissenschaften (etwa in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung über Fourierreihen), aber auch in der Wirtschaftswissenschaft und Finanzmathematik. Einige bedeutende mathematische Konstanten, etwa die Kreiszahl 𝜋 oder die Eulersche Zahl 𝑒, konnten mit Hilfe von Algorithmen, die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele Billionen Nachkommastellen angenähert werden.

Inhaltsverzeichnis

↑ Quelle: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 750. Permalink: http://www.zeno.org/nid/20007333978; Lizenz: Gemeinfrei; Faksimiles: 750

[1] Quelle: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 750. Permalink: http://www.zeno.org/nid/20007333978; Lizenz: Gemeinfrei; Faksimiles: 750

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-<div class="zenoCOMain"><p>'''[http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihe]''', in der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Mathematik Mathematik] jede nach einem bestimmten [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Gesetz+%5B1%5D Gesetze] gebildete [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Folge Folge] von Größen; diese Größen nennt man die <span class="zenoTXSpaced">Glieder</span> der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck] bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. ergibt; dieser [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck] heißt das n te oder das <span class="zenoTXSpaced">allgemeine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied]</span> der R. 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Die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+<sup>1</sup>/<sub>2</sub>n(n-1)d = <sup>1</sup>/<sub>2</sub>n(a+t), wenn t das nie [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] ist. Eine arithmetische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression] bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n = 100 ersten Zahlen ist daher: <sup>1</sup>/<sub>2</sub>100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n ersten Glieder einer arithmetischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression], so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung], aus der man durch Wiederholung dieses [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Verfahren Verfahrens] solche von dritter und höherer [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung] ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] bezeichnet man als solche erster [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung]. Eine <span class="zenoTXSpaced">geometrische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression]</span> hat man, wenn jedes [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. 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B., wie es der sagenhafte Erfinder des [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Schachspiel Schachspiels] als Belohnung für seine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Erfindung Erfindung] von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B1%5D Feld] des Schachbrettes ein [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rn. Korn] gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B1%5D Feld] doppelt so viel [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner] als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B2%5D Feld 2]<sup>63</sup>, d. h. 9,223372,036854,775808 [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner], und die Gesamtzahl aller [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner] wird: 2<sup>64</sup>-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progressionen] besonders in der <span class="zenoTXSpaced">Zinseszinsrechnung</span> (s. d.). In der höhern [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Mathematik Mathematik] spielen besonders die <span class="zenoTXSpaced">unendlichen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen]</span> eine große Rolle, das sind [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen], die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] einer solchen R. durch den [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Buchstaben Buchstaben] a, an den wir als sogen. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Index Index] ([http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Zeiger Zeiger]) die Zahl anhängen, die die Nummer des [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Gliedes] angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> etc. und a., wird das n te [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied], wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] hat, d. h. ob die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe]aller Glieder der R.: a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+etc. bis ins [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Unendlich Unendliche] einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »[http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe]« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der unendlichen R.: a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> etc. den [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s<sub>1</sub> = a<sub>1</sub>, s<sub>2</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>, s<sub>3</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>, etc., s<sub>n</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+etc. bis +a<sub>n</sub> immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], und ist dieser endlich, so heißt die R. <span class="zenoTXSpaced">konvergent</span>, ist dagegen der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], so heißt die R. <span class="zenoTXSpaced">divergent</span>. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae<sup>2</sup> etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] s<sub>n</sub> ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: s<sub>n</sub> = a(e<sup>n</sup>-1)/(e-1), einen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck], der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenze+%5B1%5D Grenzen] wächst und mithin dem [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Unendlich Unendlich] zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich s<sub>n</sub> in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)e<sup>n</sup> geschrieben werden kann, wo das [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied]: a/(1-e)e<sup>n</sup> für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen], doch ist es in den meisten Fällen keine leichte [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Aufgabe Aufgabe], zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] findet man in den Lehrbüchern der höhern [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Analysis Analysis] und der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Differentialrechnung Differentialrechnung]. Vgl. <span class="zenoTXSpaced">Reiff</span>, Geschichte der unendlichen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] (Tübing. 1889).</p></div><div class="zenoCOFooter"><div class="zenoCOFooterLine"><div class="zenoCOFooterLineLeft">Quelle:</div><div class="zenoCOFooterLineRight">Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 750.</div></div><div class="zenoCOFooterLine"><div class="zenoCOFooterLineLeft">Permalink:</div><div class="zenoCOFooterLineRight">[http://www.zeno.org/nid/20007333978 http://www.zeno.org/nid/20007333978]</div></div><div class="zenoCOFooterLine"><div class="zenoCOFooterLineLeft">Lizenz:</div><div class="zenoCOFooterLineRight">[http://www.zeno.org/Zeno/-/Lizenz%3A+Gemeinfrei Gemeinfrei]</div></div><div class="zenoCOFooterLine"><div class="zenoCOFooterLineLeft">Faksimiles:</div><div class="zenoCOFooterLineRight">[http://www.zeno.org/Meyers-1905/K/meyers-1905-016-0750 750]</div></div><div class="zenoCOFooterLine"><div class="zenoCOFooterLineLeft">Kategorien:</div><div class="zenoCOFooterLineRight">[http://www.zeno.org/Kategorien/T/Lexikalischer+Artikel Lexikalischer Artikel]</div><div class="zenoCOFooterLineRight">[[file:260px-01_Reihe-konvergiert_gegen_1.gif|link=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01_Reihe-konvergiert_gegen_1.gif|260x382px]]Animation der Konvergenz der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … <span style="font-size: 14.4px;" >gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert.</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >Eine '''Reihe''', selten '''Summenfolge''' oder '''unendliche Summe''' und vor allem in älteren Darstellungen auch '''unendliche Reihe''' genannt, ist ein Objekt aus dem[https://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik mathematischen Teilgebiet]der[https://de.wikipedia.org/wiki/Analysis Analysis]. Anschaulich ist eine Reihe eine[https://de.wikipedia.org/wiki/Summe Summe]mit[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeit unendlich]vielen[https://de.wikipedia.org/wiki/Summand Summanden], wie etwa</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …,</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe[https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) konvergiert], ob also die Summe endlich vieler Summanden durch Hinzunahme hinreichend vieler weiterer Summanden einem festen Wert beliebig nahe kommt. So konvergiert etwa die obige Beispielreihe gegen den Wert 1 <span class="mwe-math-element"></span>(siehe Bild), allerdings existieren auch divergente (also ''nicht'' konvergente) Reihen, wie zum Beispiel</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >&nbsp;1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …,</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >Allgemein wird eine Reihe 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + … <span class="mwe-math-element">[[file:1ac6c3ee2c62caf8e42e44134eb299b8367738ec|alt={\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }|129x16px]]</span> mit &nbsp;bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den [https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) Grenzwert].</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><span style="font-size: 14.4px;" >Präzise wird eine Reihe als eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge] definiert, deren Glieder die '''Partialsummen''' einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur [https://de.wikipedia.org/wiki/Indexmenge_(Mathematik) Indexmenge] zählt, ist die <span class="mwe-math-element">𝑛</span>-te Partialsumme die Summe der ersten 𝑛 + 1 &nbsp;(von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der ''Wert'' oder die ''Summe'' der Reihe genannt.</span></div><div class="zenoCOFooterLineRight"><p>Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton]vorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung Integration] von [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_(Mathematik) Kurven]. Als formale Objekte wurden Reihen im 18.&nbsp;Jahrhundert von Mathematikern wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler] studiert, der ihnen drei Bände seines [https://de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaftliches_Werk_Leonhard_Eulers Gesamtwerkes], der [https://de.wikipedia.org/wiki/Opera_Omnia Opera Omnia], widmete. Erst im 19.&nbsp;Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 schuf [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] die Grundlagen der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Strenge mathematisch strengen]Aufarbeitung der Analysis, etwa durch [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstra%C3%9F Karl Weierstraß], den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Zusammenhang war das [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kriterium Cauchy-Kriterium] für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der [https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie Zahlentheorie], ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.</p><p>Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese gegeben ist, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren ''allgemeinen'' Methoden. Allerdings wurden [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium Kriterien] entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.</p><p>Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über [https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe Taylorreihen] zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion analytischen Funktionen]), den [https://de.wikipedia.org/wiki/Ingenieurwissenschaften Ingenieurwissenschaften] (etwa in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrotechnik Elektrotechnik] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Signalverarbeitung Signalverarbeitung] über [https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe Fourierreihen]), aber auch in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaftswissenschaft Wirtschaftswissenschaft] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Finanzmathematik Finanzmathematik]. Einige bedeutende [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Konstante mathematische Konstanten], etwa die [https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl Kreiszahl] <span class="mwe-math-element">[[file:9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a|alt={\displaystyle \pi }|9x12px]]</span> oder die [https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl Eulersche Zahl] <span class="mwe-math-element">[[file:cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467|alt={\displaystyle e}|7x12px]]</span>, konnten mit Hilfe von [https://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus Algorithmen], die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele [https://de.wikipedia.org/wiki/Billion Billionen] [https://de.wikipedia.org/wiki/Nachkommastelle Nachkommastellen] angenähert werden.</p><div class="toctitle" dir="ltr" lang="de">
+[[Reihe]] ([[Mathematik]])<div class="zenoCOMain">
-== Inhaltsverzeichnis ==
+'''[http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihe]'''<ref>Quelle: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 750. Permalink: http://www.zeno.org/nid/20007333978; Lizenz: [http://www.zeno.org/Zeno/-/Lizenz%3A+Gemeinfrei Gemeinfrei]; Faksimiles: [http://www.zeno.org/Meyers-1905/K/meyers-1905-016-0750 750]</ref>, in der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Mathematik Mathematik] jede nach einem bestimmten [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Gesetz+%5B1%5D Gesetze] gebildete [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Folge Folge] von Größen; diese Größen nennt man die <span class="zenoTXSpaced">Glieder</span> der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck] bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. ergibt; dieser [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck] heißt das n te oder das <span class="zenoTXSpaced">allgemeine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied]</span> der R. Die einfachsten [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] sind die, deren Glieder eine sogen. arithmetische oder geometrische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression] bilden. Eine <span class="zenoTXSpaced">arithmetische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression]</span> hat man, wenn jedes [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. dadurch entsteht, daß man zu dem vorhergehenden eine gewisse Zahl, und zwar immer dieselbe, addiert. Ist a das erste [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] (Anfangsglied) der R. und d die zu addierende Zahl (die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Differenz Differenz] der R.), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, a+d, a+2d etc., und das allgemeine (n te) [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] lautet: a+(n-1)d. Die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+<sup>1</sup>/<sub>2</sub>n(n-1)d = <sup>1</sup>/<sub>2</sub>n(a+t), wenn t das nie [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] ist. Eine arithmetische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression] bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n = 100 ersten Zahlen ist daher: <sup>1</sup>/<sub>2</sub>100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n ersten Glieder einer arithmetischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression], so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung], aus der man durch Wiederholung dieses [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Verfahren Verfahrens] solche von dritter und höherer [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung] ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] bezeichnet man als solche erster [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ordnung Ordnung]. Eine <span class="zenoTXSpaced">geometrische [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression]</span> hat man, wenn jedes [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. Ist a das erste [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] und e diese Zahl (der <span class="zenoTXSpaced">[http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Expon%C3%A9nt Exponent]</span> der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression]), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, ae, ae<sup>2</sup> etc., und ae<sup>n-1</sup> ist das allgemeine (nte) [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied]. Die Glieder der R. nehmen fortwährend zu oder fortwährend ab, sie bilden eine <span class="zenoTXSpaced">steigende</span> oder eine <span class="zenoTXSpaced">fallende [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progression]</span>, je nachdem e größer oder kleiner als 1 ist. Für die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der n ersten Glieder der R. ergibt sich der Wert; a(e<sup>n</sup>-1)/(e-1). Verlangt man z. B., wie es der sagenhafte Erfinder des [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Schachspiel Schachspiels] als Belohnung für seine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Erfindung Erfindung] von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B1%5D Feld] des Schachbrettes ein [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rn. Korn] gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B1%5D Feld] doppelt so viel [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner] als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Feld+%5B2%5D Feld 2]<sup>63</sup>, d. h. 9,223372,036854,775808 [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner], und die Gesamtzahl aller [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/K%C3%B6rner+%5B1%5D Körner] wird: 2<sup>64</sup>-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Progression Progressionen] besonders in der <span class="zenoTXSpaced">Zinseszinsrechnung</span> (s. d.). In der höhern [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Mathematik Mathematik] spielen besonders die <span class="zenoTXSpaced">unendlichen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen]</span> eine große Rolle, das sind [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen], die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied] einer solchen R. durch den [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Buchstaben Buchstaben] a, an den wir als sogen. [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Index Index] ([http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Zeiger Zeiger]) die Zahl anhängen, die die Nummer des [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Gliedes] angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> etc. und a., wird das n te [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied], wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] hat, d. h. ob die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe]aller Glieder der R.: a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+etc. bis ins [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Unendlich Unendliche] einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »[http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe]« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] der unendlichen R.: a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> etc. den [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s<sub>1</sub> = a<sub>1</sub>, s<sub>2</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>, s<sub>3</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>, etc., s<sub>n</sub> = a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+etc. bis +a<sub>n</sub> immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], und ist dieser endlich, so heißt die R. <span class="zenoTXSpaced">konvergent</span>, ist dagegen der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert], so heißt die R. <span class="zenoTXSpaced">divergent</span>. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae<sup>2</sup> etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] s<sub>n</sub> ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: s<sub>n</sub> = a(e<sup>n</sup>-1)/(e-1), einen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ausdruck Ausdruck], der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenze+%5B1%5D Grenzen] wächst und mithin dem [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Unendlich Unendlich] zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich s<sub>n</sub> in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)e<sup>n</sup> geschrieben werden kann, wo das [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Glied Glied]: a/(1-e)e<sup>n</sup> für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Grenzwert Grenzwert] von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Summe Summe] hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen], doch ist es in den meisten Fällen keine leichte [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Aufgabe Aufgabe], zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] findet man in den Lehrbüchern der höhern [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Analysis Analysis] und der [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Differentialrechnung Differentialrechnung]. Vgl. <span class="zenoTXSpaced">Reiff</span>, Geschichte der unendlichen [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Reihe+%5B1%5D Reihen] (Tübing. 1889).
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+== Reihe (Mathematik) ==
+[[Datei:260px-01_Reihe-konvergiert_gegen_1.gif|verweis=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:01_Reihe-konvergiert_gegen_1.gif|mini|382x382px|Animation der Konvergenz der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … <span style="font-size: 14.4px;">gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert.</span>]]<span style="font-size: 14.4px;">Eine '''Reihe''', selten '''Summenfolge''' oder '''unendliche Summe''' und vor allem in älteren Darstellungen auch '''unendliche Reihe''' genannt, ist ein Objekt aus dem[https://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik mathematischen Teilgebiet]der[https://de.wikipedia.org/wiki/Analysis Analysis]. Anschaulich ist eine Reihe eine[https://de.wikipedia.org/wiki/Summe Summe]mit[https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeit unendlich]vielen[https://de.wikipedia.org/wiki/Summand Summanden], wie etwa</span>
+<span style="font-size: 14.4px;">1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …,</span>
+<span style="font-size: 14.4px;">Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe[https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) konvergiert], ob also die Summe endlich vieler Summanden durch Hinzunahme hinreichend vieler weiterer Summanden einem festen Wert beliebig nahe kommt. So konvergiert etwa die obige Beispielreihe gegen den Wert 1 (siehe Bild), allerdings existieren auch divergente (also ''nicht'' konvergente) Reihen, wie zum Beispiel</span>
+<span style="font-size: 14.4px;">1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …,</span>
+<span style="font-size: 14.4px;">Allgemein wird eine Reihe 𝑎<sub>0</sub> + 𝑎<sub>1</sub> + 𝑎<sub>2</sub> + …  mit &nbsp;bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den [https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) Grenzwert].</span>
+<span style="font-size: 14.4px;">Präzise wird eine Reihe als eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge] definiert, deren Glieder die '''Partialsummen''' einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur [https://de.wikipedia.org/wiki/Indexmenge_(Mathematik) Indexmenge] zählt, ist die <span class="mwe-math-element">𝑛</span>-te Partialsumme die Summe der ersten 𝑛 + 1 &nbsp;(von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der ''Wert'' oder die ''Summe'' der Reihe genannt.</span>
+Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton]vorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung Integration] von [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_(Mathematik) Kurven]. Als formale Objekte wurden Reihen im 18.&nbsp;Jahrhundert von Mathematikern wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler] studiert, der ihnen drei Bände seines [https://de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaftliches_Werk_Leonhard_Eulers Gesamtwerkes], der [https://de.wikipedia.org/wiki/Opera_Omnia Opera Omnia], widmete. Erst im 19.&nbsp;Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 schuf [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] die Grundlagen der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Strenge mathematisch strengen]Aufarbeitung der Analysis, etwa durch [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstra%C3%9F Karl Weierstraß], den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Zusammenhang war das [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kriterium Cauchy-Kriterium] für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der [https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie Zahlentheorie], ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.
+Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese gegeben ist, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren ''allgemeinen'' Methoden. Allerdings wurden [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium Kriterien] entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.
+Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über [https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe Taylorreihen] zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion analytischen Funktionen]), den [https://de.wikipedia.org/wiki/Ingenieurwissenschaften Ingenieurwissenschaften] (etwa in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrotechnik Elektrotechnik] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Signalverarbeitung Signalverarbeitung] über [https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe Fourierreihen]), aber auch in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaftswissenschaft Wirtschaftswissenschaft] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Finanzmathematik Finanzmathematik]. Einige bedeutende [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Konstante mathematische Konstanten], etwa die [https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl Kreiszahl] 𝜋 oder die [https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl Eulersche Zahl] 𝑒, konnten mit Hilfe von [https://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus Algorithmen], die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele [https://de.wikipedia.org/wiki/Billion Billionen] [https://de.wikipedia.org/wiki/Nachkommastelle Nachkommastellen] angenähert werden.
+=== Inhaltsverzeichnis ===
 *[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Einf%C3%BChrung <span class="tocnumber">1</span><span class="toctext">Einführung</span>]
 **[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Unendliche_Summierbarkeit_und_erste_Beispiele <span class="tocnumber">1.1</span><span class="toctext">Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele</span>]
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 *[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Literatur_(Auswahl) <span class="tocnumber">14</span><span class="toctext">Literatur (Auswahl)</span>]
 *[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Weblinks <span class="tocnumber">15</span><span class="toctext">Weblinks</span>]
-*[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Einzelnachweise <span class="tocnumber">16</span><span class="toctext">Einzelnachweise</span>]
+*[https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Einzelnachweise <span class="tocnumber">16</span><span class="toctext">Einzelnachweise</span>]</div>
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Version vom 9. Mai 2024, 08:54 Uhr

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