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Entropie

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en-tropie agr.-deu. 'Inwendung, Hineinwendung, Einkehr';

Anm. KF: in der Physik Maß für aufgrund von Inwendung entstehende Ungleichheit oder scheinbaren Unordnung innerhalb eines System, welche einem Höchstwert zustrebt; anstelle von ansteigender Unordnung ist von ansteigender Unstetigkeit zu sprechen,

1865 von Rudolf Clausius gemäß Energie geprägt, aus agrie. ἐντροπία entropíā, „eine Hinwendung zu“, s. Geschichtlicher Überblick

Anm. KF: Umgekehrt zur Entropie strebt die Ektropie als der Intensitätsfaktor der Energie einem Kleinstwert zu.

Entropie (von altgriechisch en „innerhalb“ und tropē „Umkehr“) steht für:

Coined by Rudolf Clausius in 1865, from Ancient Greek ἐντροπία (entropía, “a turning towards”), after Energie.

Entropīe [1] (v. griech. en-trépein, nach innen oder umwenden), der Extensitäts-(Quantitäts-) Faktor der Energie oder der gesamte reduzierte Wärmeinhalt eines Systems von Körpern, das lediglich umkehrbare Prozesse durchgemacht hat (s. Energieentwertung). Sie kann nie kleiner werden, nimmt vielmehr bei allen wirklich vorkommenden Veränderungen zu. Umgekehrt strebt der Intensitätsfaktor der Energie, die Ektropie, einem Minimum zu. Thomson, Tait, Maxwell u.a. verstehen unter E. den Teil der Gesamtenergie, der sich noch in Arbeit umwandeln läßt. Sie sagen daher, daß die E. des Weltalls dereinst verschwinde, was mit dem gewöhnlichen Satz vom Maximum der E. übereinstimmt.

Entropie

Die Entropie ist eine in der Thermodynamik definierte physikalische Größe von fundamentaler Bedeutung. Sie ist eine der Zustandsgrößen eines makroskopischen Systems und hat unter anderem folgende Eigenschaften:

  • In einem abgeschlossenen System, das sich durch spontane innere Prozesse (wie Wärmeleitung, Vermischung durch Diffusion, Erzeugung von Reibungswärme, chemische Reaktion etc.) dem thermodynamischen Gleichgewicht annähert, steigt die Entropie des Systems durch diese Prozesse an. Der Gleichgewichtszustand ist erreicht, wenn die Entropie den größtmöglichen Wert erreicht, der mit den gegebenen äußeren Parametern des Systems (wie Volumen, Energie, Teilchenzahlen, äußeres Kraftfeld etc.) verträglich ist. Alle spontanen thermodynamischen Prozesse kommen dann zum Erliegen und die Entropie bleibt konstant.
  • Entropie kann nicht vernichtet werden. Ein Prozess, bei dem Entropie entstanden ist, kann nicht rückgängig gemacht werden, ohne dass die entstandene Entropie an die Umgebung des Systems abgegeben wird. Selbst wenn der ursprüngliche Zustand des Systems damit wiederhergestellt werden kann, ist nun die Umgebung in einem anderen Zustand als vorher. Eine spurlose Rückkehr zum alten Zustand von System und Umgebung ist unmöglich. Weil alle spontanen thermodynamischen Prozesse Entropie erzeugen, werden sie auch als irreversibel (=unumkehrbar) bezeichnet.
  • Das Anwachsen der Entropie durch jeglichen spontanen Prozess definiert in der Physik die Richtung der fortschreitenden Zeit.
  • Wird einem System mit der Temperatur T die Wärme Q zugeführt oder entzogen, wird ihm damit immer auch die Entropie 𝑄/𝑇 zugeführt bzw. entzogen. Auch Zufuhr bzw. Abgabe von Materie erhöht bzw. verringert die Entropie eines Systems. Wird am System nur physikalische Arbeit geleistet, fließt keine Entropie.
  • Ein Prozess, der dauerhaft durch Zufuhr von Wärme physikalische Arbeit verrichtet (Wärmekraftmaschine), ist nur möglich, wenn die Entropie, die ihm mit der Wärme zugeführt wird, vollständig wieder an die Umgebung abgegeben wird, was nur durch die Abgabe von Abwärme geschehen kann. Nur die Differenz aus zugeführter und abgegebener Wärme kann in Arbeit umgewandelt werden.
  • Ist für ein System bekannt, wie sich die Entropie aus seiner inneren Energie, seinem Volumen und den Stoffmengen der einzelnen chemischen Komponenten darin berechnen lässt, dann wird diese Formel als Fundamentalgleichung bezeichnet. Aus ihr lassen sich die Formeln für alle thermodynamischen Eigenschaften des Systems ableiten (z. B. Zustandsgleichungen, Kompressibilität, spezifische Wärmekapazität, Wärmeausdehnungskoeffizient).

Die SI-Einheit der Entropie ist Joule pro Kelvin (J/K).

Eine nähere Deutung der Entropie wird in der statistischen Mechanik gegeben, wo Systeme aus sehr vielen einzelnen Teilchen betrachtet werden. Ein Makrozustand eines solchen Systems, der durch bestimmte Werte der makroskopischen thermodynamischen Größen definiert ist, kann durch eine hohe Anzahl verschiedener Mikrozustände realisiert sein, die durch innere Prozesse ständig ineinander übergehen, ohne dass sich die makroskopischen Werte dabei ändern. Die Entropie ist ein logarithmisches Maß für die Anzahl der verschiedenen Mikrozustände, die das System in dem gegebenen Makrozustand haben könnte. Das Anwachsen der Entropie in einem System, das von einem beliebigen Anfangszustand aus sich selbst überlassen bleibt und sich folglich dem Gleichgewichtszustand nähert, erklärt sich dadurch, dass der Makrozustand des Systems mittels dieser inneren Prozesse sich mit größter Wahrscheinlichkeit demjenigen Makrozustand annähert, der bei gleicher Energie durch die größte Anzahl verschiedener Mikrozustände zu realisieren ist. Dieser Makrozustand hat die höchstmögliche Entropie und stellt den — bis auf mikroskopische Fluktuation — stabilen (makroskopischen) Gleichgewichtszustand des Systems dar. Durch diese spontan ablaufende Annäherung an den Gleichgewichtszustand, die als Relaxation bezeichnet wird, wird Entropie erzeugt.

Im Rahmen dieser Deutung wird umgangssprachlich die Entropie häufig als ein „Maß für die Unordnung“ bezeichnet. Allerdings ist Unordnung kein definierter physikalischer Begriff und hat daher kein physikalisches Maß. Richtiger ist es, man begreift die Entropie als ein wohldefiniertes objektives Maß für die Menge an Information, die benötigt würde, um aus der Kenntnis des vorliegenden Makrozustandes des Systems den tatsächlich vorliegenden Mikrozustand bestimmen zu können. Je größer die Anzahl infrage kommender Mikrozustände ist, desto mehr Information wird benötigt. Dies ist gemeint, wenn die Entropie auch als „Maß für die Unkenntnis der Zustände aller einzelnen Teilchen“ umschrieben wird.[1]

Geschichtlicher Überblick

In der Geschichte der Physik gab es lange Zeit eine Auseinandersetzung über die Bedeutung von Wärme: Die eine Seite vertrat die Theorie, dass die Wärmeerscheinungen allein in der vis viva („lebendige Kraft“ = kinetische Energie) der Atome begründet seien; die andere behauptete, dass die Wärme eine Substanz sei, und gab ihr den Namen Caloricum.

Antoine Laurent de Lavoisier unterschied 1789 chaleur (Wärme) von calorique (Caloricum). Das Caloricum sollte unter anderem eine abstoßende Kraft zwischen den Atomen eines Festkörpers bewirken, so dass dieser bei Zufuhr einer ausreichenden Menge von Caloricum erst flüssig und dann gasförmig würde.[2] Lavoisier wollte sich aber nicht festlegen, ob die vis viva oder die Caloricum-Substanz die Ursache für die Wärmeerscheinungen ist.[3] Joseph Black unterschied temperature von der quantity of heat, u. a. anhand der latenten Wärme beim Schmelzen. Er bemerkte, dass die Wärmemenge mit dem aus einem Kessel entweichenden Dampf mittransportiert werden müsse.[4][5]

Benjamin Thompson, Reichsgraf von Rumford, untersuchte in seiner Münchner Zeit 1798 die Temperatur von Spänen, die beim Bohren von Kanonenrohren entstehen. Aufgrund der beliebig großen Wärmemenge, die dabei aus der mechanischen Bohrarbeit entstehen konnte, zweifelte er daran, dass das Caloricum eine (erhaltene) Substanz sein könnte, wodurch er den Vertretern der vis-viva-Theorie Auftrieb gab.[6][5]

Der Namensgeber des Carnot-Prozesses, Nicolas Léonard Sadi Carnot, schrieb 1824[7], dass die Kraft einer Dampfmaschine nicht am Verbrauch von calorique liegt, sondern an dem Wärmetransport von einem warmen Körper auf einen kalten, und bereitete damit den Entropiebegriff vor. Mit den Experimenten von Robert Mayer und James Prescott Joule wurde Anfang der 1840er Jahre gezeigt, dass die mechanisch erzeugte Wärme in einem festen Verhältnis zur aufgewendeten mechanischen Arbeit steht. Dies war die Grundlage für den 1847 von Hermann von Helmholtz allgemein formulierten Energieerhaltungssatz, also den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Seitdem hat der physikalische Begriff Wärme die Bedeutung einer Energie.

Ab 1854 stellte dann Rudolf Clausius fest, dass bei einer Übertragung der Energieform Wärme auch eine zweite mengenartige Größe fließen muss. Diese Größe, die er auch quantitativ durch 𝑄/𝑇  definierte, nannte er „Äquivalenzwert“ und sah sie auch als die Ursache für die „Disgregation“ eines festen Körpers beim Schmelzen an. Am 24. April 1865 veröffentlichte Clausius im Rahmen eines Vortrags vor der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich erstmalig den zweiten Hauptsatz in der heute noch gültigen Form und gab darin der von ihm gefundenen Zustandsgröße S den Namen Entropie[8][9], ein Kunstwort aus altgriechisch ἐντροπία entropíā, von ἐν en ‚an‘, ‚in‘ und τροπή tropḗ ‚Wendung‘, ‚Änderung‘.

Wie von Wilhelm Ostwald 1908 sowie Hugh Longbourne Callendar 1911 herausgearbeitet, entspricht die Entropie bei Clausius dem calorique bei Lavoisier und Carnot.[10][11][12]

Mit Arbeiten von Ludwig Boltzmann und Willard Gibbs gelang es um 1875, der Entropie eine über die formale Definition hinausgehende statistische Deutung zu geben, welche die von Clausius makroskopisch definierte Größe mikroskopisch erklärt.[13] Die Entropie 𝑆 eines Makrozustands wird dabei durch seine Wahrscheinlichkeit gegeben, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten 𝑝𝑖 aller passenden Mikrozustände 𝑖 berechnet:


Den Wert des Proportionalitätsfaktors 𝑘𝙱 hat Boltzmann selbst nie bestimmt. Er erhielt nach seinem Tod den Namen Boltzmann-Konstante. Die so auf statistische Weise definierte Entropie kann in vielen Kontexten sinnvoll verwendet werden.

Zusammenhänge zwischen Entropie und Information ergaben sich schon im 19. Jahrhundert durch die Diskussion über den maxwellschen Dämon, ein Gedankenexperiment, das im Rahmen der Miniaturisierung im Computerzeitalter wieder aktuell wurde. Die Informationstheorie nutzt die Shannonsche Informationsentropie, die der statistischen Interpretation entspricht, als abstraktes Maß der Information ohne direkten Bezug zur physikalischen Realisation. Auch Norbert Wiener nutzte den Begriff der Entropie zur Beschreibung von Informationsphänomenen, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen. Dass sich die Konvention von Shannon durchgesetzt hat, ist vor allem der besseren technischen Verwertbarkeit seiner Arbeiten zuzuschreiben.[14]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. Die von der Erdoberfläche abgestrahlte Leistung stimmt nicht ganz exakt mit der von der Sonne aufgenommenen Leistung überein. Sowohl die Einstrahlung der Sonne als auch der Absorptionsgrad auf der Erdoberfläche unterliegen Schwankungen, die langfristig zu einer Änderung der Gleichgewichtstemperatur führen. Hinzu kommt Wärme, die im Erdinneren produziert wird. Für die hier betrachteten Zusammenhänge sind diese Abweichungen aber irrelevant.

Literatur

Skripte
  • Georg Job, Regina Rüffler: Physikalische Chemie. Teil 1: Grundzüge der Stoffdynamik. Eduard-Job-Stiftung für Thermo- und Stoffdynamik, September 2008, abgerufen am 10. Dezember 2014 (darin insbesondere Kapitel 2).
  • F. Herrmann: Thermodynamik. (PDF; 12,87 MB) Physik III. Abteilung für Didaktik der Physik, Universität Karlsruhe, September 2003, archiviert vom Original; abgerufen am 6. Juni 2020.
Lehrbücher und Übersichtsartikel
  • Klaus Stierstadt, Günther Fischer: Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik (Kap. 5). Springer, Berlin, New York 2010, ISBN 978-3-642-05097-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • R. Frigg, C. Werndl: Entropy – A Guide for the Perplexed (PDF; 301 kB). In: C. Beisbart, S. Hartmann (Hrsg.): Probabilities in Physics. Oxford University Press, Oxford 2010. (Überblick über die verschiedenen Entropiebegriffe und deren Verknüpfungen).
  • G. Adam, O. Hittmair: Wärmetheorie. 4. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1992, ISBN 3-528-33311-1.
  • Richard Becker: Theorie der Wärme. 3., erg. Auflage. Springer, 1985, ISBN 3-540-15383-7.
  • Arieh Ben-Naim: Statistical Thermodynamics Based on Information: A Farewell to Entropy. 2008, ISBN 978-981-270-707-9.
  • Johan Diedrich Fast: Entropie. Die Bedeutung des Entropiebegriffes und seine Anwendung in Wissenschaft und Technik. 2. Aufl. Hilversum 1960.
  • Ulrich Nickel: Lehrbuch der Thermodynamik. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete Auflage. PhysChem, Erlangen 2019, ISBN 978-3-937744-07-0.
  • E. P. Hassel, T. V. Vasiltsova, T. Strenziok: Einführung in die Technische Thermodynamik. FVTR GmbH, Rostock 2010, ISBN 978-3-941554-02-3.
  • Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik – Thermodynamik und Statistik. Nachdruck der 2. Auflage. Harri Deutsch, 1988, ISBN 3-87144-378-6.
  • Leonard Susskind, James Lindesay: An Introduction to BLACK HOLES, INFORMATION and the STRING THEORY REVOLUTION, World Scientific, 2005, ISBN 978-981-256-083-4.
  • André Thess: Das Entropieprinzip – Thermodynamik für Unzufriedene. Oldenbourg-Wissenschaftsverlag, 2007, ISBN 978-3-486-58428-8.
  • Wolfgang Glöckner, Walter Jansen, Hans Joachim Bader (Hrsg.): Handbuch der experimentellen Chemie. Sekundarstufe II. Band 7: Mark Baumann: Chemische Energetik. Aulis Verlag Deubner, Köln 2007, ISBN 978-3-7614-2385-1.
  • André Thess: Was ist Entropie? Eine Antwort für Unzufriedene. In: Forschung im Ingenieurwesen. Band 72, Nr. 1, 17. Januar 2008, S. 11–17, doi:10.1007/s10010-007-0063-7.
Populärwissenschaftliche Darstellungen
  • Arieh Ben-Naim: Entropy Demystified – The Second Law Reduced to Plain Common Sense. World Scientific, Expanded Ed., New Jersey 2008, ISBN 978-981-283-225-2. (populärwissenschaftliche, aber exakte Erklärung auf Grundlage der statistischen Physik).
  • H. Dieter Zeh: Entropie. Fischer, Stuttgart 2005, ISBN 3-596-16127-4.
  • Eric Johnson: Anxiety and the Equation: Understanding Boltzmann's Entropy. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts 2018, ISBN 978-0-262-03861-4.
  • Jeremy Rifkin, Ted Howard: Entropy: A New World View. Viking Press, New York 1980 (dt.: Entropie: Ein neues Weltbild. Hofmann & Campe, Hamburg 1984).
Commons: Entropie – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Entropie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Entropie – Lern- und Lehrmaterialien
Wikiquote: Entropie – Zitate

Einzelnachweise

  1. Richard Becker: Theorie der Wärme. Springer, Heidelberg 2013, S. 253 (books.google.de [abgerufen am 16. Juni 2015] Nachdruck von 1961).
  2. Antoine Laurent Lavoisier: Oeuvres de Lavoisier: Traité élémentaire de chimie, opuscules physiques et chimiques, Band 1. Ministre de L’instruction Publique et des Cultes, 1864 (Seite 410, Original der Bayerischen Staatsbibliothek, digitalisiert 8. Dez. 2009 – Registereintrag aus dem Jahr 1789).
  3. Roger Hahn: Pierre Simon Laplace, 1749–1827: A Determined Scientist. Harvard University Press, 2005, ISBN 0-674-01892-3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Joseph Black: Lectures on the elements of Chemistry. Edinburgh, 1807 (Original von Michigan State University, digitalisiert 16. Okt. 2013 in der Google-Buchsuche – posthume Veröffentlichung von Vorlesungen aus dem Jahr 1760).
  5. Pierre Kerszberg: Natural philosophy. In: Knud Haakonssen (Hrsg.): The Cambridge History of Eighteenth-Century Philosophy. Band 1. Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-86743-6(eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. James D. Stein: Cosmic Numbers: The Numbers That Define Our Universe. Basic Books, 2011 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  7. Sadi Carnot: Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier, 1824 (Original von Lyon Public Library, digitalisiert 29. Sept. 2014 in der Google-Buchsuche).
  8. Rudolf Clausius: Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie. 1867 (Original von Michigan State University, digitalisiert 29. Juni 2007 in der Google-Buchsuche – Vortrag, gehalten in einer allgemeinen Sitzung der 41. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte zu Frankfurt am Main am 23. September 1867).
  9. Rudolf Clausius: Über verschiedene, für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 125, 1865, S. 353–400(Textarchiv – Internet Archive [abgerufen am 24. April 2019] auch Vortrag vor der Zürcher Naturforschenden Gesellschaft).
  10. Wilhelm Ostwald: Die Energie. Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1908, S. 77.
  11. Hugh Longbourne Callendar: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. Band 134, Nr. 825, 2. Januar 1932, S. xxv(Snippet in der Google-Buchsuche).
  12. Gottfried Falk, Wolfgang Ruppel: Energie und Entropie. Springer-Verlag, 1976, ISBN 3-540-07814-2.
  13. Tomasz Downarowicz: Entropy. In: Scholarpedia. Band 2, Nr. 11, 2007, S. 3901, doi:10.4249/scholarpedia.3901 (revision #126991).
  14. Roman Frigg, Charlotte Werndl: Entropy – A Guide for the Perplexed. (PDF; 294 kB) Juni 2010, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 13. August 2011; abgerufen am 12. Dezember 2014 (englisch).
  15. Beim 1. Hauptsatz der Thermodynamik tritt im Gegensatz zum 2. Hauptsatz ein solcher „integrierender Faktor“ nicht auf. Der 1. Hauptsatz besagt, dass die Summe (!) der zugeführten Arbeit, {\displaystyle \delta W} und der zugeführten Wärme {\displaystyle \delta Q} immer das vollständige Differential {\displaystyle \mathrm {d} U} einer Zustandsfunktion {\displaystyle U} ergibt, der sogenannten Inneren Energie, obwohl die zwei einzelnen Differentiale nicht  vollständig sind. Bei der Funktion {\displaystyle U} wird im Gegensatz zu {\displaystyle S} auch nicht unterschieden, ob die Wärmezufuhr reversibel oder irreversibel erfolgt.
  16. Hans Dieter Baehr, Stephan Kabelac: Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 3.1.2 Die Formulierung des 2. Hauptsatzes durch Postulate und 3.1.3 Die Entropiebilanzgleichung für geschlossene Systeme, S. 92–101.
  17. E. T. Jaynes: Gibbs vs. Boltzmann Entropies. In: American Journal of Physics. Band 33 (Ausgabe 5), 1965. S. 398
  18. H. J. W. Müller-Kirsten, Basics of Statistical Physics, 2nd edition, World Scientific 2013, ISBN 978-981-4449-53-3, pp. 28–30.
  19. L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to BLACK HOLES, INFORMATION and the STRING THEORY REVOLUTION. World Scientific 2005, ISBN 978-981-256-083-4, S. 69–77.
  20. A. F. Holleman, E. Wiberg, N. Wiberg: Lehrbuch der Anorganischen Chemie. 101. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-012641-9, S. 54.
  21. W. A. Kreiner: Entropie – was ist das? Ein Überblick. doi:10.18725/OPARU-2609
  22. Gustav Jaumann: Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differentialgesetze. In: Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Nat.-Naturwiss. Klasse. IIA, Nr. 120, 1911, S. 385–503.
  23. Erwin Lohr: Entropieprinzip und abgeschlossenes Gleichungssystem. In: Denkschrift der Akad. Wiss. Wien. Nat.-Naturwiss. Klasse, Nr. 93, 1916, S. 339–421 (phys.huji.ac.il [PDF; abgerufen am 11. Juni 2020]).
  24. „Es ist zwar richtig, dass die Entropie eines Systems durch Zufuhr oder Abfuhr von Wärme verändert werden kann. Aber deshalb ist Entropie noch lange nicht der Wärme gleichzusetzen, auch keiner „umgangssprachlich“ so bezeichneten. […] Es gibt wichtige Prozesse, in denen die obige Formel [ΔS = ΔQ/T] gar nicht anwendbar ist, weil sich die Entropie als Zustandsgröße ohne Wärmezufuhr verändert. Die Entropie kann sich auch verändern, weil andere Zustandsgrößen verändert werden, denn Zustandsgrößen sind durch Zustandsgleichungen miteinander verbunden. Ein Beispiel ist die Ausdehnung eines Gases um das Volumen ΔV. […] Die Entropie ist eine von der Energie und damit auch von der Wärme strikt zu unterscheidende Größe, die aufgrund ihrer fundamentalen Bedeutung durchaus im Schulunterricht vorkommen sollte. Dann muss sie aber zutreffend als diejenige Zustandsgröße eingeführt werden, die entscheidet, welche Energieumwandlungen möglich sind oder in welcher Richtung bestimmte Vorgänge wie die Wärmeleitung oder die irreversible Ausdehnung eines Gases ablaufen.“ – Gutachten über den Karlsruher Physikkurs, (von der DPG in Auftrag gegeben), 28. Februar 2013
  25. Georg Job: Neudarstellung der Wärmelehre – Die Entropie als Wärme. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main (Nachdruck von 1961).
  26. Friedrich Herrmann: Der Karlsruher Physikkurs. 9. Auflage. Teil 1: Energie Impuls Entropie. Aulis Verlag, 2010, ISBN 978-3-7614-2517-6.
  27. Hans Fuchs: The Dynamics of Heat. Springer, New York 2010.
  28. Georg Job, Regina Rüffler: Physikalische Chemie - Eine Einführung nach neuem Konzept. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011.
  29. Dem entspricht die Clausius’sche Gleichung (2), die auch folgendermaßen in Worte gefasst werden kann: „In einem abgeschlossenen Thermodynamischen System nimmt die Entropie solange zu, bis Gleichgewicht erreicht ist“.
  30. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. 9. Auflage. 4/2 Thermodynamik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2016, ISBN 978-3-662-49032-7, 2.7 Entropie als Zustandsfunktion, S. 58–59, doi:10.1007/978-3-662-49033-4 (isotherme Expansion des idealen Gases).
  31. Klaus Stierstadt: Thermodynamik für das Bachelorstudium. 2 vollst. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55715-0, 2.4, 4.1, 4.2, 4.3, S. 54,85–96, doi:10.1007/978-3-662-55716-7 (z. B. Formel 2.31 oder 4.10).
  32. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 9 Auflage. Springer Verlag, 10.3.7 Die Entropie, S. 326–328.
  33. Frederik Reif: Berkeley Physik Kurs Band 5. 2 Auflage. Vieweg, 1985, S. 79–80.
  34. Roger Penrose: Computerdenken. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-1332-X, S. 312.
  35. Jacob D. Bekenstein: Black holes and entropy. In: Phys.Rev. D, Nr. 7, 1973, S. 2333–2346 (phys.huji.ac.il [PDF; abgerufen am 9. Dezember 2014]).
  36. Stephen W. Hawking: Particle Creation by Black Holes. In: Commun. Math. Phys. Band 43, 1975, S. 199–220, doi:10.1007/BF02345020.
  37. Susskind, Lindesay, An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. World Scientific, Singapur 2004, S. 39–42.
  38. Susskind, Lindesay, An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. World Scientific, Singapur 2004, S. 48–49.
  39. Stephen Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit. 1. Auflage. Rowohlt Verlag, 1988, ISBN 3-498-02884-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  1. ↑ Quelle: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906, S. 841. Permalink: http://www.zeno.org/nid/20006557686; Lizenz: Gemeinfrei; Faksimiles: 841
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