trigonometrische Funktion

Sinus, Kosinus und Tangens r = 1

Mit trigonometrischen Funktionen auch Winkelfunktionen (seltener: Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen) bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken). Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen. Die trigonometrischen Funktionen sind außerdem die grundlegenden Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgänge in den Naturwissenschaften.

Die Animation zeigt die Beziehung zwischen dem Einheitskreis und der Sinus- sowie der Kosinusfunktion

Am Einheitskreis definierbare trigonometrische Funktionen

Die Funktionsgraphen aller trigonometrischen Funktionen

Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind:

• die Sinusfunktion (abgekürzt: sin)
• die Kosinusfunktion (abgekürzt: cos)
• die Tangensfunktion (abgekürzt: tan oder tg)

sowie deren Kehrwerte:

• Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus: csc)
• Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus: sec)
• Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens: cot)

Zwischen diesen Funktionen bestehen enge Zusammenhänge. Genau genommen würde bereits eine der Funktionen ausreichen, um beliebige trigonometrische Probleme lösen zu können. Die Verwendung mehrerer verschiedener Funktionen ermöglicht jedoch eine Vereinfachung der Rechnungen und Formeln.

Die Kotangensfunktion wird in Tabellen mit Funktionswerten von trigonometrischen Funktionen gerne genutzt, da man cot(x) zusammen mit der Tangensfunktion tabellieren kann. Insofern ist die Bedeutung von cot(x) etwas größer als die von sec(x) und csc(x).

Es gibt weitere – heute eher unübliche – Funktionen, wie z. B. sinus versus (versin), cosinus versus (coversin), exsecant (exsec) und excosecant (excsc).

Definition

Ursprünglich sind die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert:

$\begin{array}{ccc}\sin \alpha & =\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}& =\frac{a}{c}\\ \\ \cos \alpha & =\frac{\text{Ankathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}& =\frac{b}{c}\\ \\ \tan \alpha & =\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Ankathete von }\alpha }& =\frac{a}{b}\\ \\ \sin \beta & =\frac{\text{Gegenkathete von }\beta }{\text{Hypotenuse}}& =\frac{b}{c}\\ \\ \cos \beta & =\frac{\text{Ankathete von }\beta }{\text{Hypotenuse}}& =\frac{a}{c}\\ \\ \tan \beta & =\frac{\text{Gegenkathete von }\beta }{\text{Ankathete von }\beta }& =\frac{b}{a}\\ \end{array}$

Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des rechtwinkligen Dreiecks, das zur Berechnung verwendet wird. In jedem rechtwinkligen Dreieck mit gleichem Winkel $\alpha$ ergeben diese Verhältnisse den gleichen Wert. Dies lässt sich z. B. mit den Strahlensätzen beweisen.