archimedischer Körper

archimedischer Körper

Beispiel eines archimedischen Körpers: der Hexaederstumpf

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern. Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften:

1. ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke),
2. alle Ecken des Körpers verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und
3. sie sind weder platonische Körper noch Prismen oder Antiprismen.

Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper. Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte. Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert nach Christus) überliefert.

Definition

Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und ist nicht immer einheitlich.

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen:

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken.

Das bedeutet anschaulich:

Zu jedem Paar $(a,b)$ von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln, dass die Ecke $a$ dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke $b$ war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind.

Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:

• Die fünf platonischen Körper.
• Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl $n\ge 3$ existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall $n=4$ ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper.
• Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl $n\ge 3$ existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall $n=3$ ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper.

Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

Eigenschaften

• Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, so existieren genau 13 archimedische Körper. Von zweien dieser Körper – dem abgeschrägten Hexaeder und dem abgeschrägten Dodekaeder – existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben.
• Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, gilt: Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge.
• Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken:

An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn abgelesen dieselben Typen von Polygonen zusammen.

• Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformität. Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo-Rhombenkuboktaeder.
• Die Flächenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen (sowie auch platonischen) Körper eindeutig.
• Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt.
• Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden. Bei vielen archimedischen Körpern deutet auch der Name darauf hin. Mit Abstumpfen eines Körpers ist hier gemeint, dass dem Körper beliebige Stücke weggeschnitten werden, dabei aber die Flächen des Körpers – in aller Regel verkleinert – als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben.
• Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.
• Jeder archimedische Körper besitzt eine Umkugel (eine Kugel durch die Ecken) und eine Kantenkugel (eine Kugel durch die Mittelpunkte der Kanten). Dagegen existiert keine Inkugel, da die Mittelpunkte verschiedenartiger Flächen nicht den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Körpers haben.