Fläche (Raum)

Durch Gleichungen beschriebene Flächen

Viele Flächen lassen sich durch Gleichungen beschreiben: Die Sphäre (Kugelfläche) mit Mittelpunkt $(0, 0, 0)$ und Radius $r$ durch $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ oder das einschalige Hyperboloid durch $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ . Man kann jede solche Gleichung auf die Form $f (x, y, z) = 0$ mit einer Funktion $f$ bringen. Nicht jede solche Gleichung beschreibt eine Fläche, z. B. besteht die Lösungsmenge von $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$ aus dem einzelnen Punkt $(0, 0, 0)$ .

Sei $f : ℝ^{3} \to ℝ$ eine glatte Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Lösung $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ der Gleichung $f (x, y, z) = 0$ der Gradient

grad f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

nicht null ist. Dann nennt man $0$ einen regulären Wert von $f$ , und die Menge ${(x, y, z) \in ℝ^{3} : f (x, y, z) = 0}$ eine reguläre Fläche. In der allgemeinen Definition einer regulären Fläche $S$ müssen zu jedem Punkt $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S$ eine Umgebung $V \subseteq ℝ^{3}$ und eine differenzierbare Funktion $f : V \to ℝ$ existieren, so dass $0$ ein regulärer Wert von $f$ ist und $S \cap V = {(x, y, z) \in V : f (x, y, z) = 0}$ gilt.

Eine Fläche heißt reelle algebraische Fläche, wenn sie sich durch eine Polynomfunktion $f \in ℝ [x, y, z]$ beschreiben lässt. Der genaue Flächenbegriff der reellen algebraischen Geometrie entspricht nicht immer der elementaren Vorstellung: Ein Beispiel ist der Whitney-Regenschirm $x^{2} - y^{2} z = 0$ , der neben der im Bild sichtbaren Fläche noch die $z$ -Achse als Stiel beinhaltet, aber diese beiden Teile lassen sich algebraisch nicht voneinander trennen.

Flächen zweiter Ordnung sind algebraische Flächen, die durch ein Polynom vom Grad 2 gegeben sind. Beispiele sind der Zylinder, der auch in der Elementargeometrie untersucht wird und als mögliche Gleichung $x^{2} + y^{2} = 1$ hat, oder der Doppelkegel mit Gleichung $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ . Der Doppelkegel ist keine reguläre Fläche, er hat im Nullpunkt eine Singularität.

Durch Parametrisierungen beschriebene Flächen

Eine Parametrisierung eines Flächenstücks ist eine auf einem Teil $U \subseteq ℝ^{2}$ der Ebene definierte, glatte Immersion $ϕ : U \to ℝ^{3}$ . (Eine Abbildung heißt Immersion, wenn die Jacobi-Matrix von $ϕ$ in jedem Punkt von $U$ vollen Rang hat, bzw. die Ableitung als von ihr dargestellte lineare Abbildung injektiv ist.) Im einfachsten Fall kann $ϕ$ der Graph $(u, v) \mapsto (u, v, f (u, v))$ einer Funktion $f : ℝ^{2} \to ℝ$ sein. Erlaubt man noch einen Rollenwechsel bei $x, y, z$ , dann genügen Funktionsgraphen zur lokalen Beschreibung beliebiger Flächenstücke.

Eine reguläre Fläche ist in diesem Kontext eine Teilmenge $S \subset ℝ^{3}$ , so dass zu jedem Punkt $s \in S$ eine Umgebung $V \subseteq ℝ^{3}$ und eine Parametrisierung $ϕ : U \to V$ existiert, so dass $ϕ$ einen Homöomorphismus $U \to S \cap V$ induziert. Diese Beschreibung ist zu der weiter oben gegebenen äquivalent.

Unter einer immersierten Fläche versteht man allerdings nicht die offensichtliche Abschwächung der vorstehenden Definition, sondern eine abstrakte Fläche $S$ (s. u.) zusammen mit einer Immersion $S \to ℝ^{3}$ .

Eine Regelfläche ist eine Fläche, die für ein Intervall $I \subseteq ℝ$ eine Parametrisierung der Form

ϕ : I \times ℝ \to ℝ^{3}, (u, v) \mapsto p (u) + v r (u)

mit Funktionen $p, r : ℝ \to ℝ^{3}$ besitzt. An jeden Stützpunkt $p (u)$ ist also eine $v$ -Gerade mit Richtung $r (u)$ angeheftet. (Der Begriff „Regelfläche“ entstand aus einer Falschübersetzung des englischen Begriffs „ruled surface“: So bedeutet „rule“ nicht nur „Regel“, sondern auch „linieren“.) Falls $r (u) \neq 0$ für alle $u$ und $p^{'} (u)$ nicht im Erzeugnis von $r (u)$ und $r^{'} (u)$ liegt, handelt es sich um eine immersierte Fläche. Der Flächenanteil des Whitney-Regenschirms ist eine mit Ausnahme der Spitze immersierte Regelfläche, das einschalige Hyperboloid eine reguläre Regelfläche.

Eine Rotationsfläche ist eine Fläche, die durch die Rotationsbewegung eines Funktionsgraphen um eine Koordinatenachseerzeugt wird. Ist $f : ℝ \to ℝ$ eine glatte Funktion, dann erhält man durch Rotation von ${(x, y, z) \in ℝ^{3} : y = f (x), z = 0}$ um die $x$ -Achse die Fläche

(u, v) \mapsto (u, f (u) \cos v, f (u) \sin v)

Wenn $f (u) > 0$ für alle $u$ , erhält man eine reguläre Fläche. Hat $f$ Nullstellen, handelt es sich nicht um eine immersierte Fläche.

Differentialgeometrie regulärer Flächen

Tangentialebene und Normalenvektor

Sei $S$ eine reguläre Fläche und $x$ ein Punkt auf $S$ . Ist $S$ lokal bei $x$ durch eine reguläre Parametrisierung $ϕ : U \to ℝ^{3}$ mit $x_{0} \in U \subseteq ℝ^{2}$ und $ϕ (x_{0}) = x$ gegeben, dann ist das Bild der Ableitung $d ϕ (x_{0}) : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ ein zweidimensionaler Unterraum $T_{x} S$ , den man die Tangentialebene von $S$ in $x$ nennt. Die anschauliche Tangentialebene erhält man, indem man den Unterraum um den Vektor $x$ verschiebt. Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der orthogonal zur Tangentialebene ist.

In der Beschreibung durch lokale Gleichungen sei $V \subseteq ℝ^{3}$ eine offene Teilmenge und $f : V \to ℝ$ eine Funktion mit regulärem Wert $0$ , so dass $V \cap S = {x \in V : f (x) = 0}$ gilt. Dann ist der Gradient von $f$ in allen Punkten von $V \cap S$ jeweils ein Normalenvektor, und man kann die Tangentialebene als diejenige Ebene verstehen, die senkrecht auf dem Gradienten steht.

Krümmung

Sei $S$ eine reguläre Fläche, $x$ ein Punkt auf $S$ und $n_{x}$ ein Normalenvektor der Länge $1$ im Punkt $x$ . Für einen variablen Tangentialvektor $v$ der Länge $1$ im Punkt $x$ spannen $n_{x}$ und $v$ eine (orientierte) Ebene $E_{x, v}$ auf, und der Schnitt $S \cap E_{x, v}$ ist lokal eine reguläre Kurve. Sei $κ_{x} (v)$ die Krümmung dieser Kurve, d. h., wenn $c$ die nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit $c (0) = x$ ist, dann ist $c^{″} (0) = - κ_{x} (v) \cdot n_{x}$ . Die Zahl $κ_{x} (v)$ heißt Krümmung von $S$ in Richtung $v$ . Hat $κ_{x} (v)$ nicht für alle $v$ denselben Wert, dann gibt es zwei zueinander orthogonale Richtungen, in denen $κ_{x}$ das Maximum $κ_{1}$ bzw. das Minimum $κ_{2}$ annimmt. $κ_{1}$ und $κ_{2}$ heißen die Hauptkrümmungen von $S$ im Punkt $x$ , die zugehörigen Richtungen Hauptkrümmungsrichtungen. Aus ihnen definiert man die gaußsche Krümmung $K = κ_{1} \cdot κ_{2}$ und die mittlere Krümmung $H = \frac{κ_{1} + κ_{2}}{2}$ . Wechselt man die Richtung des Normalenvektors, ändern die Hauptkrümmungen ihr Vorzeichen, so dass die gaußsche Krümmung gleich bleibt und die mittlere Krümmung ebenfalls das Vorzeichen wechselt. Die Sphäre mit Radius $R$ hat Gaußkrümmung $1 / R^{2}$ und mittlere Krümmung $1 / R$ (für nach außen zeigende Normalenvektoren).

Setzt man $κ_{x}$ durch die Festlegung $κ_{x} (λ v) = λ^{2} \cdot κ_{x} (v)$ für alle $λ \in ℝ$ zu einer auf der ganzen Tangentialebene definierten Funktion $T_{x} S \to ℝ$ fort, erhält man eine quadratische Form. Die zugehörige Bilinearform heißt zweite Fundamentalform ${II}_{x}$ und lässt sich auch als ${II}_{x} (v_{1}, v_{2}) = ⟨ v_{1}, L_{x} v_{2} ⟩$ mit der Weingartenabbildung $L_{x} : T_{x} S \to T_{x} S$ schreiben, die wiederum die Ableitung des Normalenvektors, aufgefasst als Gauß-Abbildung $S \to S^{2}$ , ist. Die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Weingartenabbildung, der Zusammenhang zur ersten Beschreibung wird durch den Trägheitssatz von Sylvester hergestellt.

Abwickelbare Flächen sind eine Klasse von Flächen, deren gaußsche Krümmung überall den Wert 0 hat. Wenn eine Fläche gaußsche Krümmung 0 hat und keine planaren Punkte besitzt, d. h. keine Punkte, in denen beide Hauptkrümmungen 0 sind, dann ist sie abwickelbar. Flächen mit gaußscher Krümmung 0 sind lokal isometrisch zur Ebene, d. h., sie lassen sich ohne innere Formverzerrung auf die Ebene abbilden. Beispiele sind Zylinder und Kegel, bei denen die Abbildung in die Ebene durch das Abwickeln des Mantels gegeben ist.^[1]

Krümmungslinie

Eine reguläre Kurve auf der Fläche heißt Krümmungslinie, falls ihre Tangentenrichtung in jedem Punkt eine Hauptkrümmungsrichtung ist. Eine wichtige Hilfe bei der Bestimmung von Krümmungslinien bietet der Satz von Dupin.

Beispiele:

Die auf einem senkrechten Kreiszylinder liegenden Kreise und Geraden.
Die auf einem einschaligen Rotationshyperboloid liegenden Kreise und dazu senkrechten Hyperbeln.
Kreise auf einer Dupinschen Zyklide.

Asymptotenlinie

Eine reguläre Kurve auf einer Fläche mit negativer gaußscher Krümmung (die Indikatrix ist eine Hyperbel) heißt Asymptotenlinie, falls ihre Tangentenrichtung in jedem Punkt die Richtung einer Asymptote der Indikatrix des Punktes hat. Es gibt also in jedem Punkt zwei Asymptotenlinien. Der Winkel zwischen beiden wird von den Krümmungslinien halbiert^[2]. Enthält eine Fläche eine Gerade, so ist diese eine Asymptotenlinie^[3]. Z.B. sind die Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid Asymptotenlinien.

Flächeninhalt und Minimalflächen

Mit Hilfe der gramschen Determinante kann man den Flächeninhalt eines Flächenstücks definieren und allgemeiner eine Integrationstheorie für Flächen entwickeln: Ist $ϕ : U \to ℝ^{3}$ ein Flächenstück der Fläche $S$ und $f : S \to ℝ$ eine Funktion, dann ist das Integral von $f$ definiert als

\int_{ϕ (U)} f = \int_{U} \sqrt{det (d ϕ (u) \cdot d ϕ (u)^{T})} \cdot f (ϕ (u)) d u

Für Integrale über ganz $S$ muss man die Fläche evtl. unterteilen.

Eine Minimalfläche ist eine Fläche, die lokal minimalen Flächeninhalt hat, genauer deren Parametrisierung ein kritischer Punkt für das Flächeninhaltsfunktional ist. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einem Blasring) gespannt sind. Minimalflächen sind auch dadurch charakterisiert, dass ihre mittlere Krümmung überall den Wert 0 hat.

Die gaußsche Krümmung ist ein Maß für die Abweichung des lokalen Flächeninhalts von den Werten der Ebene: Bezeichnet $A (r)$ den Flächeninhalt der Scheibe mit Radius $r$ um einen Punkt, dann ist die gaußsche Krümmung in diesem Punkt:

K = \frac{12}{π} \cdot lim_{r \to 0} \frac{π r^{2} - A (r)}{r^{4}}

Orientierbarkeit

Der Begriff der Orientierbarkeit fasst die Situation, dass bei einer Fläche global zwei Seiten unterschieden werden können. Das Paradebeispiel für eine Fläche, bei der das nicht möglich ist, die also nicht orientierbar ist, ist das Möbiusband. Für eine reguläre Fläche kann man die zwei Seiten dadurch beschreiben, dass es in jedem Punkt zwei Normalenvektoren (d. h. senkrecht auf der Fläche stehend) der Länge 1 gibt, zu jeder Seite hin einen. Kann man nun einheitlich (d. h. glatt) für jeden Punkt eine der beiden Richtungen auswählen, nennt man die Fläche orientierbar. (Es gibt andere Charakterisierungen von Orientierbarkeit, die keinen Gebrauch vom umgebenden Raum oder der Differenzierbarkeit machen, s. u.) Ist $S$ die Nullstellenmenge der Funktion $f : ℝ^{3} \to ℝ$ mit regulärem Wert $0$ , dann ist

\frac{grad f}{| grad f |}

in jedem Punkt von $S$ ein Normalenvektor der Länge 1, also ist eine solche Fläche orientierbar. Ebenso ist jede kompakte reguläre Fläche ohne Rand orientierbar (nicht jedoch jede kompakte abstrakte Fläche, wie z. B. die projektive Ebene oder die kleinsche Flasche).

↑ Klingenberg, Kapitel 3.7 und 4.4
↑ Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie, Teubner, 1960, S. 51.
↑ W. Kühnel: Differentialgeometrie, Vieweg-Verlag, 2003, ISBN 3 528 17289 4, S. 57

[1] Klingenberg, Kapitel 3.7 und 4.4

[2] Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie, Teubner, 1960, S. 51.

[3] W. Kühnel: Differentialgeometrie, Vieweg-Verlag, 2003, ISBN 3 528 17289 4, S. 57

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