Euklid'ischer Punktraum

Der euklidische Punktraum

Motivation

Euklidische Vektorräume dienen oft als Modelle für den euklidischen Raum. Die Elemente des Vektorraums werden dann je nach Kontext als Punkte oder Vektoren bezeichnet. Es wird nicht zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren unterschieden. Rechnerisch kann dies von Vorteil sein. Begrifflich ist es jedoch unbefriedigend:

Aus geometrischer Sicht sollten Punkte und Vektoren begrifflich unterschieden werden.
- Vektoren können addiert und mit Zahlen multipliziert werden, Punkte aber nicht.
- Punkte werden durch Vektoren verbunden bzw. ineinander übergeführt.
Im Vektorraum gibt es ein ausgezeichnetes Element, den Nullvektor. In der euklidischen Geometrie sind aber alle Punkte gleichberechtigt.

Beschreibung

Abhilfe schafft das Konzept des euklidischen Punktraums. Dies ist ein affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum. Hier unterscheidet man Punkte und Vektoren.

Die Gesamtheit der Punkte bildet den euklidischen Punktraum. Dieser wird meist mit $E$ , $E_{n}$ , $E^{n}$ oder $𝔼^{n}$ bezeichnet. (Das hochgestellte $n$ ist kein Exponent, sondern ein Index, der die Dimension kennzeichnet. $E^{n}$ ist also kein kartesisches Produkt.)
Die Gesamtheit aller Vektoren bildet einen euklidischen Vektorraum $V$ .

Zu je zwei Punkten $P$ und $Q \in E$ existiert genau ein Verbindungsvektor, der mit $\vec{P Q}$ bezeichnet wird.
Der Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst ist der Nullvektor: $\vec{P P} = \vec{0}$
Ein Punkt $P$ kann durch einen Vektor $\vec{v}$ in eindeutiger Weise in einen Punkt $Q$ übergeführt werden. Dieser wird oft mit $P + \vec{v}$ bezeichnet. (Dies ist eine rein formale Schreibweise. Das Pluszeichen bezeichnet keine Vektorraumaddition, und auch keine Addition auf dem Punktraum.)
Der Nullvektor führt jeden Vektor in sich selbst über: $P + \vec{0} = P$
Führt der Vektor $\vec{v}$ den Punkt $P$ in den Punkt $Q$ über und der Vektor $\vec{w}$ den Punkt $Q$ in den Punkt $R$ , so führt $\vec{v} + \vec{w}$ den Punkt $P$ in den Punkt $R$ über. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:
$(P + \vec{v}) + \vec{w} = P + (\vec{v} + \vec{w})$

$\vec{P Q} + \vec{Q R} = \vec{P R}$

In der Sprache der Algebra bedeuten diese Eigenschaften: Die additive Gruppe des Vektorraums $V$ operiert frei und transitiv auf der Menge $E$ .

Längen, Abstände und Winkel

Streckenlängen, Abstände zwischen Punkten, Winkel und Orthogonalität können nun mit Hilfe des Skalarprodukts von Vektoren definiert werden:

Die Länge $\overline{P Q}$ der Strecke $[P Q]$ und den Abstand $d (P, Q)$ der Punkte $P$ und $Q$ definiert man als die Länge des Vektors $\vec{P Q}$ :

d (P, Q) = \overline{P Q} = | \vec{P Q} |

Die Größe des Winkels $∢ Q P R$ definiert man als den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{P Q}$ und $\vec{P R}$ :

∢ Q P R = ∢ (\vec{P Q}, \vec{P R})

Zwei Strecken $[P Q]$ und $[R S]$ sind genau dann orthogonal, wenn die zugehörigen Vektoren $\vec{P Q}$ und $\vec{R S}$ orthogonal sind.

Abbildungen

Längenerhaltende Abbildungen eines euklidischen Punktraums auf sich heißen Isometrien, Kongruenzabbildungen (in der ebenen Geometrie) oder Bewegungen. Sie erhalten automatisch auch Winkel. Ist $f : E \to E$ eine Bewegung, so existiert eine orthogonale Abbildung (lineare Isometrie) $\vec{f} : V \to V$ , so dass für alle Punkte $P$ und $Q$ gilt:

f (Q) = f (P) + \vec{f} (\vec{P Q})