goldener Winkel

Q: goldener Schnitt (Geometrische Aussagen)

Der Goldene Winkel ergibt sich, wenn der Vollwinkel (360°) gemäß dem Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies erzeugt u. a. den überstumpfen Winkel $\frac{2 π}{Φ} \approx 3,88 \approx 222, 5^{\circ}$ . Dessen Ergänzungswinkel mit $2 π - \frac{2 π}{Φ} \approx 2,40 \approx 137, 5^{\circ}$ wird als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass es keine Rolle spielt, welcher der beiden Teilwinkel zuerst abgelesen wird und das Vorzeichen in der Angabe $\pm 2 π$ nur die Drehrichtung des Winkels angibt.^[1]

Durch fortgesetzte Drehungen um den Goldenen Winkel entstehen immer neue Positionen, deren Besonderheit darstellt, dass sie sich theoretisch nie überschneiden. Dieser Effekt – wie im Bild skizziert bei den Blattansätzen einer Blüte – ist bedingt von der maximalen Irrationalität des Goldenen Schnitts (Näheres im Abschnitt Biologie).

Dabei zerlegen die ersten $n$ Positionen den Kreis in $n$ Ausschnitte. Diese $n$ Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl $n = f_{k}$ treten nur zwei Winkel $\frac{2 π}{Φ^{k - 1}}, \frac{2 π}{Φ^{k}}$ auf. Für $f_{k} < n < f_{k + 1}$ tritt der Winkel $\frac{2 π}{Φ^{k + 1}}$ hinzu.^[2]

Betrachtet man für wachsendes $n$ fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die $(n + 1)$ -te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, das heißt den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im Goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel $\frac{2 π}{Φ^{l}}$ mit geradem $l$ vor einem Winkel $\frac{2 π}{Φ^{l \pm 1}}$ mit ungeradem $l \pm 1$ liegt.^[3]

Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel $\frac{2 π}{Φ^{k}}$ mit $w_{k}$ bezeichnen, so erhalten wir nacheinander die Kreiszerlegungen
$w_{0}$ ,

$w_{2} w_{1}$ ,

$w_{2} w_{2} w_{3}$ ,

$w_{4} w_{3} w_{2} w_{3}$ ,

$w_{4} w_{3} w_{4} w_{3} w_{3}$ ,

$w_{4} w_{3} w_{4} w_{3} w_{4} w_{5}$ ,

$w_{4} w_{4} w_{5} w_{4} w_{3} w_{4} w_{5}$ ,

$w_{4} w_{4} w_{5} w_{4} w_{4} w_{5} w_{4} w_{5}$ ,

$w_{6} w_{5} w_{4} w_{5} w_{4} w_{4} w_{5} w_{4} w_{5}$ ,

$w_{6} w_{5} w_{4} w_{5} w_{6} w_{5} w_{4} w_{5} w_{4} w_{5}$

usw.

↑ Alfred Posamentier, Ingmar Lehmann: The Glorious Golden Ratio, Prometheus Books, S. 128.
↑ Stanisław Świerczkowski: On successive settings of an arc on the circumference of a circle. In: Fundamenta Mathematicae. 46.2, 1958, S. 187–189.
↑ Tony van Ravenstein: Optimal Spacing of Points on a Circle. In: The Fibonacci Quaterly. 27, 1989, S. 18–24, mathstat.dal.ca (PDF; 1,6 MB).

[1] Alfred Posamentier, Ingmar Lehmann: The Glorious Golden Ratio, Prometheus Books, S. 128.

[2] Stanisław Świerczkowski: On successive settings of an arc on the circumference of a circle. In: Fundamenta Mathematicae. 46.2, 1958, S. 187–189.

[3] Tony van Ravenstein: Optimal Spacing of Points on a Circle. In: The Fibonacci Quaterly. 27, 1989, S. 18–24, mathstat.dal.ca (PDF; 1,6 MB).

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[3]