Mannigfaltigkeit

mannigfaltig + keit | mannigfaltige Art;

In der Mathematik ein topologischer Raum, der lokal dem euklidischen Raum \mathbb {R} ^{n} gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein).

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

Das Konzept von Mannigfaltigkeiten entstand im 19. Jahrhundert insbesondere durch Forschung in der Geometrie und der Funktionentheorie. Während Differentialgeometer lokale Konzepte wie zum Beispiel die Krümmung von Kurven und Flächen untersuchten, betrachteten Funktionentheoretiker globale Probleme. Sie fanden heraus, dass Eigenschaften von Funktionen F mit topologischen Invarianten der Menge F^Vorlage:-1(c) für bestimmte c zusammenhängen. Diese Mengen F^Vorlage:-1(c) sind Mannigfaltigkeiten (vgl. Satz vom regulären Wert).

Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf Bernhard Riemann zurück. In seinem Habilitationsvortrag Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, den er 1854 unter anderem vor Carl Friedrich Gauß hielt, führte er den Begriff der Mannigfaltigkeiten ein. Er spricht von discreten und stetigen Mannigfaltigkeiten, die n-fach ausgedehnt sind, beschränkt sich zu dieser Zeit also auf Gebilde, die in den \mathbb {R} ^{n} eingebettet sind.^[1] Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er die riemannschen Flächen, die wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren. Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine Teilmengen des euklidischen Raums sind.

Henri Poincaré begann in seinen Arbeiten mit der Untersuchung von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, während bis dahin überwiegend zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Flächen) behandelt worden waren. Im Jahr 1904 stellte er die nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Sie besagt, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist. Für diese Vermutung veröffentlichte Grigori Jakowlewitsch Perelmanim Jahr 2002 einen Beweis, der zwar nicht in einer referierten Fachzeitschrift, sondern nur im Internet veröffentlicht wurde, jedoch von der Fachöffentlichkeit als richtig angesehen wird.

Die heute übliche Definition erschien erstmals 1913 bei Hermann Weyl in Riemannsche Flächen. Jedoch wurden erst durch die Veröffentlichungen von Hassler Whitney aus dem Jahr 1936 Mannigfaltigkeiten zu einem etablierten mathematischen Objekt. Sein wohl bekanntestes Resultat ist der Einbettungssatz von Whitney.