Goldener Schnitt

Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea „Goldener Schnitt“, lat. proportio divina „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, ist ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.

In mathematischen Formeln ausgedrückt, gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken $a$ und $b$ (siehe Bild):

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$ oder $\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a}$.

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für den Goldenen Schnitt wird meist der griechische Buchstabe Phi ($\mathrm{\Phi }$, $\varphi$ oder $\phi$, heutige Aussprache [fi:]), seltener auch Tau ($\mathrm{T}$, $\tau$) oder $g$ verwendet. Es gilt

$\mathrm{\Phi }=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,6180339887}$, wobei $\sqrt{5}$ die Quadratwurzel aus 5 bezeichnet.

Aus Sicht der Mathematik besitzt der Goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung $x^2-x-1=0$ definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert.

Der Goldene Schnitt ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren nur wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung $\mathrm{\Phi }$ bzw. $\phi$ für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

Definition

Man sagt, dass zwei Größen $a>b>0$ im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen, falls

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

erfüllt ist. Die Zahl

$\frac{a}{b}=\mathrm{\Phi }$

wird dann ebenfalls Goldener Schnitt genannt. Es muss sich bei den Werten $a$ und $b$ dabei nicht um (dimensionslose) reelle Zahlen handeln; auch eine Assoziation zu physikalischen Größen unter Zuweisung entsprechender Maßeinheiten ist möglich. Klassisch ist dabei die Veranschaulichung über das Teilungsverhältnis zweier Strecken (bei dem die längere Strecke als „Major“ und die kürzere als „Minor“ bezeichnet wird), aber auch andere Einheiten können betrachtet werden, siehe zum Beispiel Goldenes Rechteck.

In der Literatur wird der Ausdruck „Goldener Schnitt“ jedoch auch für andere Dinge verwendet. Er bezeichnet

• den Vorgang der Teilung an sich,
• gelegentlich den Teilungspunkt,
• meist jedoch die Zahl $\mathrm{\Phi }$ selbst.

Bestimmung des Verhältnisses

Es bezeichnen $a>b>0$ die Teilstreckenlängen der Gesamtstrecke $a+b$. Es gilt dann nach Definition des Goldenen Schnitts die Relation

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$.

Multipliziere mit $a\cdot b$:

$a^2=b\cdot a+b^2$

$⟺a^2-b\cdot a-b^2=0$

a) Lösung der quadratischen Gleichung mittels Lösungsformel:

$a=\frac{b}{2}\pm \frac{b\cdot \sqrt{5}}{2}$.

Nur die positive Lösung ist hier von Bedeutung:

$a=\frac{b}{2}+\frac{b\cdot \sqrt{5}}{2}=b\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Damit ist

$\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\mathrm{\Phi }$.

b) Graphische Lösung der quadratischen Gleichung

$a^2-b\cdot a-b^2=0$.

Setzt man $b=1$, ergibt sich die quadratische Gleichung

$a^2-a-1=0$, mit $p$ und $q$ wird

$a^2-p\cdot a-q\cdot 1=0$, daraus folgt

$p=1$ und $q=1$.

Deren Lösung gelingt beispielsweise mit der im Folgenden beschriebenen Konstruktion in einem kartesischen Koordinatensystem.

Nach dem Ziehen des Kreises $k$ mit Radius gleich $1$ um den Mittelpunkt $M(0|1)$ und dem anschließenden Festlegen der zueinander parallelen Tangenten an den Punkten $A(0|2)$ und $B(0|0)$, werden auf den entsprechenden Tangenten, wegen $|\overline{AC}|=\frac{4}{p}$ und $|\overline{BD}|=\frac{q}{p}$, die Punkte $C(4|2)$ und $D(-1|0)$ bestimmt. Eine Verbindung des Punktes $C$ mit $D$ erzeugt auf dem Kreisbogen $k$ die Schnittpunkte $E$ und $F$. Die beiden abschließenden geraden Linien ab Punkt $A$ durch $E$ und $F$ liefern auf der $x$-Achse die Punkte $X_1$ und $X_2$ mit den Längen $|\overline{B{X}_1}|=-x_1=-\mathrm{0,618033}\dots$ und $|\overline{B{X}_2}|=x_2$.

Der hier relevante positive Wert der Lösung: $|\overline{B{X}_2}|=x_2=a=\mathrm{\Phi }=\mathrm{1,618033}\dots$.

Geschichte

goldener Schnitt (Geschichte)

Grundlegende mathematische Eigenschaften

goldener Schnitt (Grundlegende mathematische Eigenschaften)

Geometrische Aussagen

goldener Schnitt (Geometrische Aussagen)

Weitere mathematische Eigenschaften

goldener Schnitt (Weitere mathematische Eigenschaften)

Varianten und Verallgemeinerungen

goldener Schnitt (Varianten und Verallgemeinerungen)

Vorkommen in der Natur

goldener Schnitt (Vorkommen in der Natur)

Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen

Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von $\mathrm{\Phi }=\mathrm{1,618}\dots$ Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

• $\text{4 : 3}$ – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. Auch bei älteren Computermonitoren verwendet (z. B.: 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm festlegte.
• $\sqrt{2}:1$ – Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN-/EN-/ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis.
• $\text{3 : 2}$ – Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
• $\text{16 : 10}$ – Manche Computerbildschirme (1920 × 1200 Pixel). Diese passen mit 1,6 : 1 fast zum Goldenen Schnitt.
• $𝜱\mathit{:}1$ – Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Im Bild approximiert mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 · 10⁻⁵). Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie auch das dargestellte Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
• $\text{5 : 3}$ – Findet neben vielen anderen als Kinofilmformat Verwendung.
• $\text{16 : 9}$ – Breitbildfernsehen.

Anwendung in Technik und Mathematik

goldener Schnitt (Anwendung in Technik und Mathematik)

Anwendung in der bildenden Kunst

goldener Schnitt (Anwendung in der bildenden Kunst)

Verwendung in Literatur und Musik

goldener Schnitt (Verwendung in Literatur und Musik)

Verwendung in Informatik und Numerik

goldener Schnitt (Verwendung in Informatik und Numerik)

Siehe auch

• Zehneck
• Fünfzehneck
• Zwanzigeck
• Vierzigeck
• Vesica piscis
• Bronzener Schnitt
• Liste besonderer Zahlen
• Liste mathematischer Konstanten

Literatur

Historische Literatur

• Luca Pacioli; Constantin Winterberg (Hrsg. und Übers.): De divina proportione. Venedig 1509 / Carl Graeser, Wien 1889 (im Internet-Archiv: Online, bei alo: literature.at/alo).
• Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Rudolph Weigel, Leipzig 1854; archive.org.
• Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856; archive.org.
• Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik. Hirzel, Leipzig 1871.

Neuere Literatur

• Lieselotte Kugler, Oliver Götze (Hrsg.): Göttlich Golden Genial. Weltformel Goldener Schnitt? Hirmer, München 2016, ISBN 978-3-7774-2689-1, siehe hierzu: Portal Kunstgeschichte
• Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. 2-te überarbeitete und erweiterte Auflage, Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 3-86025-404-9.
• Priya Hemenway: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science. Sterling, New York 2005, ISBN 1-4027-3522-7. (Priya Hemenway: Der Geheime Code: Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Taschen Verlag, Köln 2008, ISBN 978-3-8365-0708-0. )
• Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998, ISBN 0-486-40007-7.
• Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit, Hamburg 1998, ISBN 3-8258-3408-5.
• Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Aufstieg und Fall der göttlichen Proportion. Frommann-Holzboog, Stuttgart 2005, ISBN 3-7728-2218-5.

  Susanne Deicher: Rezension von: Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. In: sehepunkte 5, 15. Dezember 2005, Nr. 12, Weblink.

• Hans Walser: Der Goldene Schnitt. 7-te überarbeitete und erweiterte Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2024, ISBN 978-3-662-68556-3.
• Georg Markowsky: Misconceptions about the Golden Mean (PDF; 2,1 MB). In: The College Mathematics Journal, Band 23, Ausgabe 1, Januar 1992.

Weblinks

Commons: Goldener Schnitt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Deutsch

• Marcus Frings: Goldener Schnitt. In: RDK. Labor (2015).

Englisch

• Marcus Frings: The Golden Section in Architectural Theory. In: Nexus Network Journal, 2002, 4/1.
• Eric W. Weisstein: Golden Ratio. In: MathWorld (englisch).
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: The Golden Ratio. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch).
• Alexander Bogomolny: Golden Ratio. cut-the-knot.org
• Steven Strogatz: Proportion Control. New York Times (Online), 24. September 2012.
• Folge A001622 in OEIS (Dezimalentwicklung von $\mathrm{\Phi }$), Folge A028259 in OEIS (Engel-Entwicklung von $\mathrm{\Phi }$), Folge A118242 in OEIS (Pierce-Entwicklung von $1/\mathrm{\Phi }$).

Einzelnachweise

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