Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation

Eine komplexe Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl $\overline{z}=a-b\mathrm{i}$

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils $b$ einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i},$ so erhält man die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl $\overline{z}=a-b\mathrm{i}$ (manchmal auch $z^{\ast }$ geschrieben).

Die Konjugation $ℂ\to ℂ,z\mapsto \overline{z}$ ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle $y,z\in ℂ$ gilt

$\overline{y+z}=\overline{y}+\overline{z},\overline{y\cdot z}=\overline{y}\cdot \overline{z}.$

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl $\overline{z}$ bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von $z.$ Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achseinterpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\overline{z}$ ergibt das Quadrat ihres Betrages:

$z\cdot \overline{z}=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=a^2+b^2=|z{|}^2$

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\overline{z}$ ergibt das 2-Fache ihres Realteils:

$z+\overline{z}=(a+b\mathrm{i})+(a-b\mathrm{i})=2a=2\mathrm{Re}(z)$

Die Differenz aus einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ und ihrer komplex Konjugierten $\overline{z}$ ergibt das $\mathrm{2}\mathrm{i}$-Fache ihres Imaginärteils:

$z-\overline{z}=(a+b\mathrm{i})-(a-b\mathrm{i})=2b\mathrm{i}=2\mathrm{i}\mathrm{Im}(z)$

Als normierter, metrischer und topologischer Raum

Die durch die Abstandsfunktion $d_{ℂ}(z_1,z_2):=|z_1-z_2|$ induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum $ℂ$ mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von $ℝ\times ℝ$ überein, so wie auch die Einschränkung $d_{ℝ}$von $d_{ℂ}$ auf $ℝ$ mit der Standardmetrik auf $ℝ$ übereinstimmt. Der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ berechnet sich durch $|z|:=\sqrt{a^2+b^2}$, wobei der nichtnegative Wert der Quadratwurzel gewählt wird. Zum Beispiel gilt

$|12+5\mathrm{i}|=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$

Beide Räume, $ℂ$ sowie $ℝ$, sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.