arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe entsteht durch die Summierung einer arithmetischen Folge.^[1] Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

Definition

Ist $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ eine arithmetische Folge, so ist die Folge der Partialsummen $s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots$ mit

s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

eine arithmetische Reihe.

Berechnung

Für die Glieder einer arithmetischen Folge $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ gilt die explizite Formel $a_{i} = a_{1} + (i - 1) d$ . Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man

s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (a_{1} + (i - 1) d)

.

Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für $s_{n}$ gewinnen:

Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $d$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

s_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d

.^{[A 1]}

Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $a_{n}$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

s_{n} = n \cdot \frac{a_{1} + a_{n}}{2}

.^{[A 2]}

Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.

Spezielle Summen

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen $(a_{1} = 1, d = 1)$ gilt die Gaußsche Summenformel

\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

und für die Summe der ersten $n$ ungeraden natürlichen Zahlen $(a_{1} = 1, d = 2)$ gilt

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) = n \cdot \frac{1 + 2 n - 1}{2} = n^{2}

.

Arithmetische Reihen höherer Ordnung

Die Definition einer arithmetischen Reihe lässt sich mithilfe von arithmetischen Folgen höherer Ordnung verallgemeinern. Eine Reihe heißt demnach arithmetische Reihe höherer Ordnung, wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht.^[2]

Berechnung

Formeln zur Berechnung von Gliedern arithmetischen Reihen allgemeiner Ordnung:

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:

$\sum_{i = 1}^{n} i^{p} = \frac{(n + 1)^{p + 1}}{p + 1} + \sum_{k = 1}^{p} \frac{B_{k}}{p - k + 1} (\binom{p}{k}) (n + 1)^{p - k + 1}$ .

Dabei bezeichnet $B_{k}$ die $k$ -te Bernoulli-Zahl.

Siehe auch

Weblinks

Eric W. Weisstein: Arithmetic progression. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Arithmetic series. In: MathWorld (englisch).

Anmerkungen

↑ Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man $\sum_{i = 1}^{n} (a_{1} + (i - 1) d) = \sum_{i = 1}^{n} a_{1} + d \sum_{i = 1}^{n} (i - 1)$ schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.
↑ Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: $n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{1} + (n - 1) d) = n \cdot \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ .

Einzelnachweise

↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.
↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 18.

[2] Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man $\sum_{i = 1}^{n} (a_{1} + (i - 1) d) = \sum_{i = 1}^{n} a_{1} + d \sum_{i = 1}^{n} (i - 1)$ schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.

[3] Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: $n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{1} + (n - 1) d) = n \cdot \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ .

[1] Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 97.

[4] Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 18.

[1]

[A 1]

[A 2]

[2]