Tetraeder/allgemeines Tetraeder

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache dreidimensionales Simplex oder 3-Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplexe sind die Dreiecke.

• Jedes 3-Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.
• Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1 (Satz von Commandino).
• Eine Gerade durch die Mittelpunkte $M_1,M_2$ zweier gegenüberliegender Kanten enthält den Schwerpunkt. Der Schwerpunkt halbiert die Strecke $M_1{M}_2$ (Satz von Reusch).
• Jedes 3-Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.
• Es ist das einzige bekannte Polyeder neben dem Szilassi-Polyeder, bei dem alle Seiten zueinander benachbart sind.
• Jedes Tetraeder kann in zwei (volumen)gleiche ähnliche Tetraeder sowie zwei (volumen)gleiche unähnliche Prismen zerteilt werden (Elemente XII, 3).

Im ${ℝ}^3$ kann ein Tetraeder auch durch einen Punkt und den drei Vektoren zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$, so berechnet sich das Volumen des Tetraeders mit $V=\frac{1}{6}\cdot |det\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{c}\end{array}\right]|=\frac{1}{6}\cdot |(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}|$, also $\frac{1}{6}$ des Betrags des Spatproduktes.

Die Summe der einheitlich nach außen oder innen weisenden Normaleneinheitsvektoren, die mit dem Inhalt der Fläche multipliziert werden, auf der sie stehen, ist der Nullvektor, denn

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$

Berechnung eines beliebigen Tetraeders

Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein Dreieck ist durch die Angabe dreier Seitenlängen bestimmt. Jede weitere Kante kann in gewissen Grenzen frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur Größe von Kanten oder Winkeln vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten oder Winkel berechnen.

Volumen

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders wurde von Leonhard Euler angegeben. Mit dieser Formel kann das Volumen des allgemeinen Tetraeders mit Hilfe der 6 Kantenlängen des Tetraeders berechnet werden. Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung für Tetraeder zugrunde wie für Dreiecke der Formel von Heron.

Sind $a,b,c$ die Kantenlängen der dreieckigen Grundfläche des Tetraeders und $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ die Längen der im Raum gegenüberliegenden Kanten, dann gilt für das Volumen $V$ des Tetraeders:

$V=\frac{1}{12}\cdot \sqrt{a^2\cdot a{\text{'}}^2\cdot f_a+b^2\cdot b{\text{'}}^2\cdot f_b+c^2\cdot c{\text{'}}^2\cdot f_c-\delta }$

mit

$f_a=b^2+b{\text{'}}^2+c^2+c{\text{'}}^2-a^2-a{\text{'}}^2$

$f_b=a^2+a{\text{'}}^2+c^2+c{\text{'}}^2-b^2-b{\text{'}}^2$

$f_c=a^2+a{\text{'}}^2+b^2+b{\text{'}}^2-c^2-c{\text{'}}^2$

$\delta =a^2\cdot b^2\cdot c^2+a^2\cdot b{\text{'}}^2\cdot c{\text{'}}^2+a{\text{'}}^2\cdot b^2\cdot c{\text{'}}^2+a{\text{'}}^2\cdot b{\text{'}}^2\cdot c^2$

Zur Berechnung des Volumens können auch die folgenden Gleichungen verwendet werden, die auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:

$\begin{array}{cc}288\cdot V^2& =det\left(\begin{array}{ccccc}0& c^2& b^2& a{\text{'}}^2& 1\\ c^2& 0& a^2& b{\text{'}}^2& 1\\ b^2& a^2& 0& c{\text{'}}^2& 1\\ a{\text{'}}^2& b{\text{'}}^2& c{\text{'}}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}2\cdot a{\text{'}}^2& a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2-c^2& a{\text{'}}^2+c{\text{'}}^2-b^2\\ a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2-c^2& 2\cdot b{\text{'}}^2& b{\text{'}}^2+c{\text{'}}^2-a^2\\ a{\text{'}}^2+c{\text{'}}^2-b^2& b{\text{'}}^2+c{\text{'}}^2-a^2& 2\cdot c{\text{'}}^2\end{array}\right)\end{array}$

Die erste Determinante wird Cayley–Menger-Determinante genannt und dient dazu, den Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken (siehe Satz des Heron), das Volumen von beliebigen Tetraedern und allgemein das Volumen eines beliebigen Simplex im $n$-dimensionalen Raum zu berechnen.

Oberflächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit gegebenen Seitenlängen kann einzeln berechnet werden. Die Summe der Flächeninhalte der 4 Dreiecke ergibt den Oberflächeninhalt des Tetraeders. Für den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche mit den Seitenlängen $a,b,c$ zum Beispiel gilt nach dem Satz des Heron:

$A=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{(a+b+c)\cdot (-a+b+c)\cdot (a-b+c)\cdot (a+b-c)}$

Höhen

Weil jedes Tetraeder eine Pyramide ist, gilt für das Volumen $V$, den Flächeninhalt $A$ der Grundfläche und die entsprechende Höhe $h$ folgende Gleichung:

$V=\frac{A\cdot h}{3}$

$h=\frac{3\cdot V}{A}$

Das Volumen $V$ und der Flächeninhalt $A$ können mit den oben genannten Formeln berechnet und dann eingesetzt werden, um die Höhe zu bestimmen. Die anderen drei Höhen können entsprechend mit Hilfe der Fläche des zur Höhe orthogonalen Dreiecks berechnet werden.

Innenwinkel der Dreiecke

Die Innenwinkel der Dreiecke bestimmt man mit dem Kosinussatz. Für den Innenwinkel $\alpha$ der Grundfläche, der der Seite $a$ gegenüberliegt, gilt zum Beispiel

$\alpha =\arccos \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}\right)$

Winkel zwischen benachbarten Flächen

Der Flächenwinkel an der Kante $a$ beträgt

$\beta =\arcsin \left(\frac{3\cdot a\cdot V}{2\cdot A_1\cdot A_2}\right)$

Dabei ist $V$ das Volumen des Tetraeders und $A_1$ und $A_2$ die Flächeninhalte der zur Kante benachbarten Dreiecke.

Sind die Innenwinkel ${\alpha }_{i,j}$, ${\alpha }_{i,k}$, ${\alpha }_{i,l}$ an einer Ecke des Tetraeders gegeben und ${\beta }_{i,j}$, ${\beta }_{i,k}$, ${\beta }_{i,l}$ die Flächenwinkel zwischen benachbarten Flächen an dieser Ecke, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung

$\cos ({\alpha }_{i,j})=\cos ({\alpha }_{i,k})\cdot \cos ({\alpha }_{i,l})+\sin ({\alpha }_{i,k})\cdot \sin ({\alpha }_{i,l})\cdot \cos ({\beta }_{i,j})$

Daraus folgt

${\beta }_{i,j}=\arccos \left(\frac{\cos ({\alpha }_{i,j})-\cos ({\alpha }_{i,k})\cdot \cos ({\alpha }_{i,l})}{\sin ({\alpha }_{i,k})\cdot \sin ({\alpha }_{i,l})}\right)$

Ebenso erhält man die Flächenwinkel ${\beta }_{i,k}$ und ${\beta }_{i,l}$.

Raumwinkel in den Ecken

Für die Berechnung der Raumwinkel in den Ecken des Tetraeders werden die Innenwinkel ${\theta }_a,{\theta }_b,{\theta }_c$ der drei benachbarten Dreiecke verwendet:

$\mathrm{\Omega }=4\cdot \arctan \left(\sqrt{\tan \left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\cdot \tan \left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\cdot \tan \left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\cdot \tan \left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)}\right)$

mit

${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$

Berechnung aus den Koordinaten

Sind die Koordinaten $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$, $(x_4,y_4,z_4)$ der Ecken des Tetraeders bekannt, dann sind die Seitenlängen die euklidischen Abstände

$s_{i,j}=\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2+(z_i-z_j{)}^2}$

der Ecken für alle $i,j\in \{1,2,3,4\}$ mit $i\ne j$.

Sind $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_j-x_i\\ y_j-y_i\\ z_j-z_i\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_k-x_i\\ y_k-y_i\\ z_k-z_i\end{array}\right)$ zwei Richtungsvektoren, die von derselben Ecke $(x_i,y_i,z_i)$ des Tetraeders ausgehen, dann ergibt sich für den Innenwinkel $\alpha$ an dieser Ecke

$\alpha =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}\right)$

wobei $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ das Skalarprodukt und $|\overrightarrow{a}|$ und $|\overrightarrow{b}|$ die Längen der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind.

Das Volumen kann mithilfe der Determinante

$V=\frac{1}{6}\cdot det\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\\ x_4& y_4& z_4& 1\end{array}\right)$

berechnet werden.