Werk:Dedomena/XLIV.
Die Konfiguration eines Dreiecks vom dem ein Winkel und das Verhältnis der Seiten angegeben ist, die einen der anderen Winkel einschließen, ist gegeben.
Wenn vom Dreieck ABC der Winkel BAC und das Verhältnis der Seiten AB, BC gegeben ist, die den Winkel ABC einschließen, dann, sage ich, ist die Konfiguration des Dreiecks ABC gegeben.
Denn wenn der Winkel BAC kein rechter Winkel ist, dann sei es ein spitzer Winkel.
Wird durch den Punkt B auf AC die Senkrechte BD errichtet, dann ist, da somit die Winkel BDA, BAD gegeben sind, der übrige Winkel ABD gegeben.
Damit ist die Konfiguration des Dreiecks BAD gegeben, womit das Verhältnis der Strecken BA zu BD gegeben ist.
Da auch das Verhältnis AB zu BC gegeben ist, ist das Verhältnis BD zu BC gegeben. Der Winkel BDC ist ein rechter, weshalb die Konfiguration des Dreiecks BDC gegeben ist.
Damit ist der Winkel BCD und, da der Winkel BAC gegeben ist, ist der übrige Winkel ABC im Dreieck ABC gegeben, dessen Konfiguration deshalb gegeben ist.
Ist nun der Winkel BAC ein stumpfer Winkel, dann ist die Seite CA bis zum Punkt E zu verlängern, in dem die zu AE senkrechte BE durch den Punkt B zu errichten ist.
Da BAC gegeben, ist der ergänzende Winkel BAE und, da auch der Winkel BEA gegeben ist, ist der übrige Winkel EBA im Dreieck EBA gegeben, dessen Konfiguration deshalb gegeben ist.
Damit ist das Verhältnis EB zu BA und, da das Verhältnis AB zu BC gegeben ist, das Verhältnis EB zu BC gegeben.
Der Winkel BEC ist ein rechter, womit die Konfiguration des Dreiecks EBC und damit der Winkel BCE gegeben ist.
Da der Winkel BAC gegeben ist, ist der übrige Winkel ABC im Dreieck ABC gegeben, dessen Konfiguration deshalb gegeben ist.