Isoperimetrischer Punkt

Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).

Eigenschaften

Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen $\frac{2 △}{| 4 R + r - (a + b + c) |}$ und sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als $4 R + r$ , wobei $R$ der Radius des Umkreises und $r$ der Radius des Inkreises ist.
In einem rechtwinkligen Dreieck existiert der isoperimetrische Punkt immer und ist er besonders einfach zu finden. Der Radius des äußeren Soddy-Kreises ist in dem Fall gleich dem Halbumfang.

Koordinaten

Isoperimetrischer Punkt ( $X_{175}$ )
Trilineare Koordinaten	$(\sec \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} - 1) : (\sec \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2} \cos \frac{α}{2} - 1) : (\sec \frac{γ}{2} \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} - 1)$
Baryzentrische Koordinaten	$(a - \frac{Δ}{s - a}) : (b - \frac{Δ}{s - b}) : (c - \frac{Δ}{s - c})$

Hierbei steht $Δ$ für den Flächeninhalt und $s$ für den halben Umfang von ABC.

Literatur

G. R. Veldkamp: The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle. In: The American Mathematical Monthly, Band 92, Nr. 8, Okt. 1985, S. 546–558 (JSTOR:2323159)

Weblinks

Isoperimetrisch punt (niederländisch)
C. Kimberling: Isoperimetric Point And Equal Detour Point
Eric W. Weisstein: Isoperimetric Point. In: MathWorld (englisch).
isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf GeoGebratube