Oktaeder

¦∑¦ okta + eder;

¦∅¦ [1]"aus acht Gesetztes", "Achtflächer"

¦⊕¦ Begrifferläuterung

¦⊗¦ [2]Wikipedia Auszug: Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von altgriechisch ὀκτάεδρος oktáedros, deutsch ‚achtseitig‘)^[1] ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit

8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
12 gleich langen Kanten und
6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige Kreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

Symmetrie

<figure class="mw-default-size">[3]<figcaption>Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden</figcaption></figure>

<figure class="mw-default-size">[4]<figcaption>Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen

C_{4},C_{3},C_{2}

und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)</figcaption></figure>

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

3 vierzählige Drehachsen $C_{4}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
4 dreizählige Drehachsen $C_{3}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
6 zweizählige Drehachsen $C_{2}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
9 Symmetrieebenen (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaedergruppe oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

<figure class="mw-default-size">[5]<figcaption>Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben ein Sterntetraeder</figcaption></figure>

<figure class="mw-default-size mw-halign-left">[6]<figcaption>Bild 1: Oktaeder (blau) mit dualem Würfel (grün). Die Mittelpunkte (rot) der regelmäßigen Dreiecke sind die Ecken des Würfels.</figcaption></figure>

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (Bild 1) und umgekehrt.

Zwei regelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Eckenzugleich Würfelecken und die Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. Die Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder.

Die dreidimensionale Schnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 Seitenflächen des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einem regelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6 Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Oktaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

das Rhombendodekaeder mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rauten als Flächen

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

<figure class="mw-default-size">[7]<figcaption>Bild 3: Zwei Tetraeder im Würfelhaben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.</figcaption></figure>

<figure class="mw-default-size">[8]<figcaption>Bild 4: Ein regelmäßiges Tetraedermit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 Ecken des Oktaeders sind dann die Mittelpunkteder 6 Tetraederkanten.</figcaption></figure>

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