Die platonischen Körper und die Tetraktys

[] [1] DIE PLATONISCHEN KÖRPER UND DIE TETRAKTYS Letzte Änderung dieses Themas: 12.06.2015 Die platonischen Körper in Bezug zur Pythagoreischen Tetraktys ' Achtung, diese Ausarbeitung ist noch in Entwicklung! Hier einige Gedanken dazu: Die platonischen Körper inklusive Sternkörper sind Teil eines Systems – der Tetraktys. Diese beschreibt den Raum in erster Instanz in den drei Dimensionen: '1. Ecke, 2. Kante, 3. Fläche, 4. Raum entsprechend dem Tetraeder: 'Und deshalb: Gegenüberstellung der Winkel- summen in den Ecken der platonischen Körper zur 'Zahlentheorie und ihren geometrischen Entspechungen: Sternpolyeder bzw. Kepler-Poinsot-Körper Von den 5 platonischen Körpern wird gesagt, sie seien die einzigen perfekt regelmäßigen Körper im dreidimensonalen Raum – abgesehen von der Kugel (Sphäre). Diese Aussage ist nur bedingt richtig, denn zu den konvexen platonischen Körpern gehören auch die entsprechenden konkaven Sternkörper, die vier Kepler-Poinsot-Körper und eventuell auch das Sterntetraeder. Fußbodenmosaik aus dem Eingangsbereich von San Marco in Venedig nach einem Entwurf von Paolo Uccello (um 1445). Erste bekannte Darstellung eines kleinen Sterndodekaeders. 'In zweiter Instanz sollten die Raumwinkel untersucht werden, die immer in ein Verhältnis zu einem vollen Kreis, bzw. einer vollen Sphäre (Kugel) zu setzen sind. ' Die neben stehende Animation zeigt die 6- und 10-eckige Symmetrieansicht der 4 Kepler-Poinsot-Körper, die sich auch direkt vom Ikosaeder und Dodekaeder ableiten. Der Zusammenhang zwischen den platonischen Körpern und den Startfiguren der Teilereigenschaften natürlicher Zahlen lässt sich also schon optisch nicht leugnen. Lesen Sie dazu: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS 3D-Animation platonische Körper Name Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder Dodekaeder Ecken 4 6 8 12 20 Kanten 6 12 12 30 30 Flächen 4 8 6 20 12 Dualität selbst dual dual mit Hexaeder dual mit Oktaeder dual mit Dodekaeder dual mit Ikosaeder Parkettier- barkeit parkettierbar im Verbund mit dem Oktaeder parkettierbar im Verbund mit dem Tetraeder allein mit sich selbst parkettierbar nicht parkettierbar nicht parkettierbar Startfiguren der Tetraktys gemäß der Teilbarkeit nat. Zahlen wie hier beschrieben Prinzipien aufkumuliert DIe letzte Spalte dieser Tabelle zeigt die Zuordnung der platonischen Körper zu den geometrischen Entsprechungen von Teilereigenschaften natürlicher Zahlen in den Simplexen. Die Zuordnung aufrechter und gestürzter Polygone und Sternpolygone kann natürlich nicht festgeschrieben sein, da wir es ja mit regelmäßigen Figuren zu tun haben, bei denen es kein Oben und Unten geben kann. Es sollen lediglich die dualen Beziehungen zwischen den zwei dualen Paaren von 3-Eck und 5-Stern (2,5) aufkumuliert gezeigt werden. Auch rechte Winkel (Kreuzform) sind in allen fünf platonischen Körpern direkt oder indirekt vorhanden. Denn alle platonischen Körper lassen sich wechselseitig sowohl um- als auch einbeschreiben. Die rechts stehende Animation soll als Beispiel gelten, was damit gemeint ist. Zu sehen ist ein Dodekaeder, welches sich mit genau 5 Hexaedern (Kuben) einbeschreiben lässt. Auf jede der 12 Dodekaeder-Flächen trifft eine der 12 Kubus-Kanten. 5 Kuben lassen demnach 12 Pentagramme entstehen. Auf diese Weise enthält das Dodekaeder indirekt ebenfalls die rechten Winkel des Hexaeders. Da sich dem Hexaeder wiederum exakt zwei Tetraeder einbeschreiben lassen (Sterntetraeder), welche an den Hexeaderflächen sich überkreuzende Tangenten bilden, enthält auch das Dodekaeder insgesamt 10 Tetraeder inklusive aller Kreuze auf den 6 Kubus-Flächen, also insgesamt 30. Rechts eine Übersicht der drei Symmetrieansichten der platonischen Körper, 'Ecken-Ansicht, Kanten-Ansicht, Flächen-Ansicht. Diese 2D-Projektionen der platonischen Körper zeigen Polygone mit der gleichen Eckenanzahl wie die Startfiguren des Teilereigenschaften entsprechend der Teilbarkeit natürlicher Zahlen. In den ersten Produkten der ersten Primzahlen '2, 3 und 5',' 'nämlich' 4, 6 und 10', gehen auch die entsprechenden Ecken, Kanten und Flächen auf: 4, 6, 8, 12, 20, 30. Näheres dazu unter dem oben bereits gesetzten Link: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS Spätestens hier taucht unweigerlich wieder die alte und in diesem besonderen hier gezeigten Zusammenhang äußerst interessante Frage auf, warum es nur 5 platonische Körper geben kann. Die Antwort ist ebenso alt und man findet sie natürlich auch ausführlich in Wikipedia beschrieben. Hier die Zusammenfassung: • Für jede Polyederecke ist die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen in einer Ebene liegen; auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich. • Andererseits müssen sich an jeder Ecke eines Polyeders mindestens drei Flächen treffen. Diesen Zusammenhang mit den 'Startfiguren der Teilereigenschaften bzw. den Simplexen in der Divisionstabelle 'in Verbindung zu bringen, halte ich nicht für abwegig.' Tiefere Einblicke zu dieser Thematik zeigen sich bei genauerer Betrachtung der Dualitäten, sowie den entsprechenden Schnittmengen, Hüllkörpern und Sternkörpern. DIE DURCHDRINGUNGSKÖRPER ALS VERANSCHAULICHUNG DER DUALITÄTEN UND DER TETRAKTYS Das Tetraeder weist mit seinen 4 Ecken die minimale Vorrausetzung eines 3D-Körpers auf: 'Zur Veranschaulicheung dazu noch einmal die "Tetraktys des Raumes": 1 Punkt = '1 Ecke '1 Linie = Strecke = 2 Ecken =' 1 Kante '1 Dreieck = Fläche = 3 Ecken =' 1 Fläche '1 Tetraeder = Raum = 4 Ecken =' 1 Körper Das Tetraeder-Netz (siehe rechte Abb.) entspricht einem Fraktal, welches auch in der Zahlentheorie von Bedeutung ist. siehe: Simplex – multidimensionale Tetraeder Die jeweiligen Dreieckflächen der unten gezeigten Dualitäten sind echte Fraktale Die quadratischen Flächen der Oktaeder-Hexaeder-Durchdringung sowie die Fünfeck-Flächen der Ikosaeder-Dodekaeder- Durchdringung folgen diesem Algorithmus nicht. Bei allen Durchdringungskörpern wiederholt sich das Schema des Tetraeder-Fraktals. Alle platonischen Körper können auch vollständig mit Tetraedern dargestellt ("einbeschrieben") werden. Zusätzlich entstehen die entsprechenden Schnittmengen und Hüllkörper, so wie sie links den Figuren zugeordnet sind. Die Dualitäten beziehen sich lediglich auf die Ecken und Flächen der Körper, weshalb die zweidimensionale Projektion die wichtigen Aussagen enthält. Daraus folgt: Tetraeder – Tetraeder >>> 3er-Dualität = 6 Oktaeder – Hexaeder >>> 4er-Dualität = 8 Ikosaeder – Dodekaeder >>> 5er-Dualität = 10 Schnittmenge: Oktaeder Hüllkörper: Hexaeder Schnittmenge: Kubooktaeder Hüllkörper: Rhombendodekaeder Schnittmenge: Ikosidodekaeder Hüllkörper: Rhombentriakontaeder Hier fehlt noch Text und Bild, bitte um Geduld... Die Dualkörper sowie Schnittmengen und Hüllkörper der platonischen Körper sind selbstverständlich nicht identisch mit den Simplexen. Die zweidimensionalen Projektionen der 3 Dualitäten: Tetraeder – Tetraeder >>> 3er-Dualität = 6 Oktaeder – Hexaeder >>> 4er-Dualität = 8 Ikosaeder – Dodekaeder >>> 5er-Dualität = 10 entsprechen aber durchaus den jeweiligen 6-, 8-, und 10-Eck-Simplexen. Hier könnte man nun überlegen, ob den 3 Dualitäten noch ein einfaches Tetraeder an die erste Stelle hinzuzufügen wäre, entsprechend dem 4-, 6-, 8- und 10-Eck-Simplex. Die Grundausage dieser Überlegung: Beiden Systematiken ist gemeinsam, dass sie mit dem 4-Eck bzw. Tetraeder beginnen und mit dem 10-Eck abschließen. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN STERNKÖRPERN, DURCHDRINGUNGSKÖRPERN UND DER PARKETTIERBARKEIT IM RAUM Die Platonischen Körper sind jene Körper mit der höchsten Symmetrie. Alle Ecken, Kanten und Flächen sind identisch. Die zweihöchste Symmetrie weisen die Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder auf. Bei diesen Sternkörpern gibt es verschiedene Eckenformen, konvexe Ecken an den Spitzen und konkave Ecken an der Basis. Auch die Kanten weisen unterschiedliche Längen auf. Die rechts stehende Abbildung zeigt eine Übersicht zu den Beziehungen zwischen den platonischen Körpern und ihren Sternkörpern. Neben der Unterteilung in die entsprechenden Dualitäten gibt es noch eine weitere wichtige Unterscheidung. 'Die ersten drei platonischen Körper: Tetraeder, Oktaeder und Hexaeder sind Teil einer lückenlos raumfüllenden Parkettier- barkeit mit fraktalem Charakter: Tetraeder und Oktaeder im Verbund, sowie das Hexaeder (Kubus) allein mit sich selbst. Das Sterntetraeder bzw. der Oktaederstern lässt sich aus Tetraedern und Oktaedern zusammensetzen. Der Hüllkörper (Umriss) ist der Hexaeder (Kubus) – dual zum Oktaeder. Also ist auch dieser Sternkörper Teil einer lückenlosen Parkettierung im Raum. Die 4 Sternkörper von Ikosaeder und Dodekaeder resultieren aus einer Verlängerung der Kanten der zusammen- gesetzten Polygone. 'Das Ergebnis sind 'ineinander verschachtelte' Dreiecke, Pentagone oder Pentagramme. 'Pentagonale Strukturen sind weder in der Ebene noch im Raum mit sich selbst parkettierbar. ' Natürlich könnte man einwenden, dass ein Durchdringungskörper wie das Sterntetraeder kein "echter" Sternkörper ist, da seine Sternform nicht aus der Verlängerung der Kanten resultiert. Allerdings ist das Sterntetraeder der einzige Durchdringungskörper, der die hohe Symmetrie der Kepler-Poinsod-Körper aufweist, da sich ja zwei gleiche Körper (Tetraeder) durchdringen. Weiter oben dargestellter Durchdringungskörper, zusammengesetzt aus Oktaeder und Hexaeder ist also im Sterntetraeder schon enthalten, ohne seine hohe Symmetrie aufzuweisen. Diese 10-teilige Darstellung enthält also erst mal nur eine rein philosophische Absicht. Der Durchdringungskörper von Ikosaeder und Dodekaeder entspricht ebenfalls den Dualitäten der Kepler-Poinsod-Körper. Auch er weist eine drittklassige Symmetrie auf, da er sich aus zwei verschiedenen Körpern (Ikosaeder und Dodekaeder) zusammensetzt. PHILOSOPHISCHER HINTERGRUND PLATONISCHER "KOSMOLOGIE" – "MAKROKOSMOS" UND "MIKROKOSMOS" 'können (Tetraeder/Oktaeder und Hexaeder bzw. Kubus), oder in unmittelbarer Nähe wieder kreuzen, einen pentagonalen Sternkörper bilden, um sodann endgültig in der Unendlichkeit (im "All") zu "zerstieben" (Ikosaeder, Dodekaeder). Diese überaus wichtige Unterscheidbarkeit zwischen den platonischen Körpern beinhaltet auch die philosophische Quintessenz des Sterns des "Makrokosmos", dem Hexagramm und dem Stern des "Mikrokosmos", dem Pentagramm,' 'als Kernthema okkulter (verborgener) platonischer "Kosmologie". Philolaos unterschied zwischen "Begrenztes" und "Unbegrenztes". 'Die Beschreibung dieser Gesetzmäßigkeiten sind 'Raumwinkelsummen', welche in ein Verhältnis mit der 'vollen Sphäre (Kugel)' zu setzen sind. Die entsprechende Vorlage liefern uns schon die Winkelsummen in den drei möglichen Flächen der fünf platonischen Körper. Siehe unten stehende animierte Darstellung von Winkelsummen im 3-, 4-, und 5-Eck. So wie auch der rechte Winkel in der Ebene als reguläres '4-Eck' einen 'vollen Kreis' ergeben muss, so hat auch das 'Hexaeder' '(Kubus)' als einziger platonischer Körper mit seinen rechten Winkeln der 6 x 4-Ecke die Raumwinkelsumme einer 'vollen Sphäre' und ist auch als einziger platonischer Körper im Raum' mit sich selbst' lückenlos parkettierbar. 'Wesentlich ist nicht das äußere Erscheinungs- bild der platonischen Körper, sondern die Anzahl der Ecken, die über die Winkelsummen der Flächen entscheiden. Man stelle sich eine Kugel vor, auf dessen Oberfläche 'regelmäßig' eine 'gerade' Anzahl von Ecken (Symmetrie!) verteilt ist. 'Die Anzahl der Ecken entscheidet also, ob sich die verlängerten Tangenten (Kanten) im unendlichen Raum zu einem unendlichen Fraktal (philosophisch = "Gott") ausweiten Auf einen Kugelmittelpunkt übertragen heißt dies, dass sich 8 x-y-z-Achsen, also 8-Achtel Kugeln zur Raumwinkelsumme einer vollen Kugel vereinigen: Auch die kubischen Kristallsysteme, die aus Tetraeder und Oktaeder zusammengesetzt sind (z.B. Sterntetraeder), sind im Raum ebenfalls lückenlos parkettierbar. Die äußeren Ecken des Sterntetraeders, (6 Oktaeerecken und 8 Tetraederecken) die einen Kubus bilden, ergeben in der Summe eine volle Sphäre. Hier wird diese Struktur detaillierter beschrieben: DIE GEOMETRIE DER LÜCKENLOSEN RAUMFÜLLUNG 'Ikosaeder und Dodekaeder übschreiten mit ihrer '5-Zähligkeit (Pentagone, Pentagramme) 'diese'4er Grenze' und bilden zusammen die' 4 Sternkörper bzw. Kepler-Poinsot-Körper. Da die Winkelsummen in Einheiten voller Kreise auch bei zweidimensionalen Polygonen und Sternpolygonen in auffälliger Weise mit zahlentheoretischen Entsprechungen korellieren, ist mit Recht davon auszugehen, das dies auch für den 3D-Raum gilt. Hinweise, Ergänzungen und Kritik bitte an: info@tetraktys punkt de (Das Wort "punkt" bitte mit .ersetzen.) <iframe src="http://www.youtube.com/embed/dcS_2M1XJcc" width="615" height="355" frameborder="0" allowfullscreen="allowfullscreen" ></iframe> Kepler-Poinsot-Körper, 3D-Darstellung.  Von den 5 platonischen Körpern wird gesagt, sie seien die einzigen perfekt symmetrischen Körper im dreidimensonalen Raum – abgesehen von der Kugel (Sphäre). Diese Aussage ist nur bedingt richtig, denn zu den platonischen Körpern gehören auch die entsprechenden Sternkörper, nämlich die vier Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder. Dieses Video zeigt in beeindruckender Klarheit die Architektur der Kepler-Poinsot-Körper.