Falsifikation Wahrscheinlichkeitshypothesen

◀▷Die logischen Verhältnisse sind bei der Anwendung der Definition von Falsifizierbarkeit auf Wahrscheinlichkeitshypothesen Popper zufolge nicht so eindeutig wie bei Theorien mit der logischen Form von Allsätzen. Popper weist darauf hin, dass Wahrscheinlichkeitshypothesen nicht unmittelbar in logischem Widerspruch zu Basissätzen stehen können und somit auch streng genommen nicht falsifizierbar sind. Dies liegt in der logischen Form von Wahrscheinlichkeitshypothesen begründet, die Popper wie folgt charakterisiert: Wahrscheinlichkeitshypothesen sind logisch äquivalent zu einer unendlichen Menge von Es-gibt-Sätzen; aus jeder Wahrscheinlichkeitshypothese seien Es-gibt-Sätze ableitbar. Darüber hinaus seien auch logisch stärkere verallgemeinerte Es-gibt-Sätze aus ihnen ableitbar. Diese haben die Form: Für jede Gliednummer 𝑥 gibt es eine Gliednummer 𝑦 mit dem Merkmal 𝑧. So kann z. B. aus der Hypothese „Die Wahrscheinlichkeit 𝑝 eines Kopfwurfes 𝑘 beträgt 1/2 unter den Bedingungen 𝑏" (kurz "𝑝(𝑘, 𝑏) = 1/2")“) der Satz „Für jede Gliednummer 𝑥 gibt es eine Gliednummer 𝑦, so dass der entsprechende Wurf Kopf zeigt“ gefolgert werden. Es folgen aber auch Sätze wie „Es gibt sowohl Kopf- als auch Zahlwürfe in der Folge“ etc. Beide Satztypen seien jedoch nicht falsifizierbar, da sie beliebigen endlichen Konjunktionen von Basissätzen nicht widersprechen können. Dennoch modifiziert Popper die methodologische Forderung nach Falsifizierbarkeit für empirische Theoriensysteme nicht und analysiert die methodologischen Beschlüsse, die Wahrscheinlichkeitshypothesen falsifizierbar machen.

Ein Beschluss, wie ihn Popper entwickelt, besteht aus der Forderung, dass endliche empirische Folgen, die von Konjunktionen endlich vieler Basissätze beschrieben werden, von Anfang an einen hohen Grad der Annäherung an kürzeste ideal zufallsartige mathematische Folgen, für die Popper eine Konstruktionsmethode angibt, besitzen müssen. Die Falsifizierbarkeit wird durch die Forderung erreicht, dass endliche Folgen, die sich nicht von Anfang an ideal zufallsartigen Folgen annähern, als logisch ausgeschlossen gewertet werden.

Popper führt das Problem der Falsifizierbarkeit von Wahrscheinlichkeitshypothesen noch unter Verwendung des so genannten Gesetzes der großen Zahlen und der logischen Interpretation des Kalküls der relativen Wahrscheinlichkeit einer weitergehenden Aufklärung zu. Die logische Interpretation des Kalküls der Wahrscheinlichkeit sieht Popper als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ableitbarkeit an. Gibt ein Satz 𝑦 einem Satz 𝑥 die Wahrscheinlichkeit 1 (abgekürzt: 𝑝(𝑥, 𝑦) = 1, gelesen: „Die Wahrscheinlichkeit von 𝑥 in Bezug auf 𝑦 ist 1.“), so folgt 𝑥 logisch aus 𝑦 (Tautologie). Die Wahrscheinlichkeit 0 entspricht dem logischen Widerspruch (Kontradiktion). Unter Verwendung dieser logischen Interpretation deutet Popper das Gesetz der großen Zahlen wie folgt: Aus einer Wahrscheinlichkeitshypothese ist eine Aussage über relative Häufigkeit fast logisch ableitbar für sehr großes 𝑛 (die Anzahl der voneinander unabhängigen Wiederholungen). „fast logisch ableitbar“ bedeutet hier eine Wahrscheinlichkeit sehr nahe an 1. Popper weist darauf hin, dass für Aussagen über relative Häufigkeiten, die außerhalb eines vorgegebenen kleinen Intervalls liegen, diese Wahrscheinlichkeit fast 0 ist. Demnach sind Wahrscheinlichkeitshypothesen in dem Sinne falsifizierbar, dass sie Aussagen über relative Häufigkeiten mit abweichenden numerischen Werten fast logisch widersprechen. Der notwendige methodologische Beschluss, um Wahrscheinlichkeitshypothesen falsifizierbar zu machen, ist also, diesen fast logischen Widerspruch als logischen Widerspruch zu werten. Der Begriff „fast logisch ableitbar“ wird von Popper mathematisch präzisiert, indem er die Binomialverteilung als Metrik der relativen logischen Wahrscheinlichkeit verwendet. Durch die Größe der gewählten Stichprobe und die zulässige Abweichung der relativen Häufigkeit in der Stichprobe kann dann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Prüfsatz über relative Häufigkeit aus einer Wahrscheinlichkeitshypothese folgt (siehe Beispiel).

Wahrscheinlichkeitshypothesen können Popper zufolge also zwar nicht unmittelbar zu Basissätzen und Konjunktionen endlich vieler Basissätze in logischem Widerspruch stehen, sie können jedoch ihren logisch schwächeren Folgerungen, den Sätzen über relative Häufigkeiten in endlichen empirischen Folgen, widersprechen. Dadurch teilen sie die Menge aller logisch möglichen Basissätze in zwei Teilmengen ein: die, mit denen sie in Widerspruch stehen, und die, mit denen sie logisch vereinbar sind. Nach Popper sind Wahrscheinlichkeitshypothesen also falsifizierbar.

Beispiel

Angenommen man will die Hypothese ℎ = „Die Wahrscheinlichkeit 𝑝 unter den Bedingungen 𝑏 einen Kopfwurf zu erhalten beträgt 1/2“ empirisch prüfen. Unter 𝑏 kann man die üblichen Bedingungen annehmen: Glatter Tisch, unabhängige Würfe etc. Man kann dann den Prüfsatz 𝑒 = „Die relative Häufigkeit der Kopfwürfe in einer 𝑛 = 10000 Würfe umfassenden Versuchsreihe unter den Bedingungen 𝑏 liegt bei 1/2 ± 0,015“ bilden. Es kann dann 𝑝(𝑒, ℎ)  berechnet werden: Die logische Wahrscheinlichkeit des Prüfsatzes 𝑒 in Bezug auf die Hypothese ℎ. Sie beträgt 0,997  unter Verwendung der Standardabweichung . Dabei wurde eine 3𝜎-Umgebung zu Grunde gelegt, um eine hohe Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Daraus ergibt sich ein Intervall zwischen 4850  und 5150  um den exakten Wert von 5000. Der Prüfsatz 𝑒 kann nun mit dem Ergebnis eines Versuchs konfrontiert werden. Dabei zieht man nicht die Konjunktion von 10.000 Basissätzen heran („der erste Wurf war Kopf und der zweite Wurf war Kopf … und der 10.000. Wurf war Zahl“), sondern man vergleicht ihn mit seiner logisch schwächeren statistischen Folgerung. Also z. B. mit „Die relative Häufigkeit von Kopfwürfen unter 10.000 Münzwürfen betrug heute 0.48 ± 0,0005  unter den Bedingungen 𝑏“ Diese statistische Aussage widerspricht dem Prüfsatz 𝑒. Die Wahrscheinlichkeitshypothese ℎ wäre also falsifiziert. Auch eine Folge, die bei den ersten 100 Würfen abwechselnd Kopf und Zahl zeigt, falsifiziert die Hypothese, da sie sich nicht zufallsartig verhält.