Flächeninhalt vom Kreis – Kreisfläche berechnen

angelegt 03.02.2022

Berechnung von Kreis-Umfang und -Fläche

Der Umfang u eines Kreises mit dem Radius r berechnet sich mit der Formel:

u = 2 π r

Da der Durchmesser d = 2 r ist, gilt dementsprechend r = d/2 und

Ist der Umfang gegeben, berechnet man den Radius mit

und den Durchmesser mit

Ist die Fläche gegeben, berechnet man den Radius mit

und den Durchmesser mit

Die Kreisfläche A berechnet sich aus dem Radius r mit

A = π r²

bzw. aus dem Durchmesser d mit

bzw. aus dem Umfang u mit

Der griechische Buchstabe π steht dabei immer für die irrationale (nicht durch einen Bruch ausdrückbare) Zahl pi = 3,141592653589793238462643383279... Die ersten 1000 Dezimalstellen von π findet ihr hier, hier die ersten 10.000 und hier sogar die ersten 1.000.000 Dezimalstellen.

Beispiele

oder vorher π ausklammern: Siehe auch hier: Kreisringberechnung à la Alea M.

Bevor man mit Kreisflächen arbeitet, sollte man sich erst einmal überlegen, was unter einer Kreisfläche zu verstehen ist:

Unter einer Kreisfläche versteht man die Menge aller Punkte einer Ebene, die innerhalb eines Kreises (bzw. seiner Kreislinie) liegt. Man nennt die Kreisfläche „abgeschlossen“, wenn die Kreislinie zur Fläche dazu gehört, andernfalls bezeichnet man sie als „offen“.

Neben dem Kreisumfang ist auch der Flächeninhalt vom Kreis sehr eng mit der Kreiszahl Pi verbunden. Ist der Radius r gegeben, dann kann man mit der Formel

A = π * r²

ganz leicht die Kreisfläche berechnen.
Einfacher geht nicht. Verwendet man statt des Radius den Durchmesser des Kreises, dann wäre wegen des Zusammenhangs r = d/2 die dazugehörige Kreisflächen-Formel A = π/4 * d².

Online Kreis-Rechner – Kreisumfang + Kreisfläche berechnen

berechnen auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/kreisberechnung.htm#rechner

Kreis-Rechner für Umfang und Fläche
Radius r	Durchmesser d


Kreisumfang U	Kreisfläche A


Runden auf Kommastellen

</form>

Dieser Kreisrechner basiert auf dem Rechner für Kreise von Arndt Brünner.
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So ein Kreis-Rechner ist auf jeden Fall bequemer zu handhaben als derlei Aufgaben zu Fuß berechnen zu müssen. Selbst mit dem Näherungswert 3.14 für Pi ist man ohne Taschenrechner schon ordentlich mit dem Rechnen beschäftigt.

Herleitung der Kreisflächen Formel

Kreisflächen berechnen können ist das eine, verstehen wie es zu der Formel kommt das andere. Man kann die Herleitung bzw den Beweis auf verschiedene Arten führen. Zum Beispiel über das Integral einer Kreisfunktion, über eine Intervallschachtelung mit Vielecken a la Archimedes oder am anschaulichsten über das Zerlegen des Kreises in Teilstücke, die man dann in eine rechteckige Form einzubetten versucht. Siehe u.a. bei den Mathematischen Basteleien.

Wer spielerisch die Entstehung der Formel zur Kreisflächenberechnung erleben möchte, der kann das mit Hilfe der genialen Geometrie Software GeoGebra tun. Die folgende interaktive App zeigt, wie eine Kreisfläche in Kreissektoren zerlegt wird und die Einzelteile dann am Umfang abgewickelt und geschickt umarrangiert werden.

Ihr müsst einfach mal mit den drei horizontalen Reglern rumspielen. Dann seht ihr, wie sich der Kreis abwickelt, die Sektoren immer feiner werden und am Ende sich alles zu einer rechteckigen Fläche verzahnt – schöner kann man die Transformation von Kreisfläche zu Rechteck kaum darstellen.

Mit zunehmender Unterteilung passt sich die Fläche immer mehr der Fläche eines Rechtecks mit der Höhe des Kreisradius und der halben Länge des Kreisumfangs an. Bekanntlich ist die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks Höhe mal Breite – hieraus ergibt sich dann für die assoziierte Kreisfläche r*π*r – und damit die gesuchte Kreisflächenformel.

Hinweis zu Bildrechten: Wikipedia (der GNU-Lizenz für freie Dokumentation) – Ein Kreis mit Mittelpunkt, Radius und Durchmesser – @ Sven

Berechnung von Kreis-Umfang und -Fläche

A = π * r2

Online Kreis-Rechner – Kreisumfang + Kreisfläche berechnen

Herleitung der Kreisflächen Formel

A = π * r²