Goldener Schnitt/Grundlegende mathematische Eigenschaften

Irrationalität und Algebraizität

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl; das heißt, er lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Weiter bedeutet es, dass die Dezimalentwicklung kein periodisches Muster aufzeigt. Die ersten 50 Nachkommastellen des Goldenen Schnittes sind gegeben durch

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{1,61803}398874989484820458683436563811772030917980576\dots$.

Seit dem Dezember 2023 sind 20 Billionen (20 × 10¹²) Nachkommastellen von $\mathrm{\Phi }$ berechnet und verifiziert worden.

Der Grund, warum $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ irrational ist, verbirgt sich hinter der Irrationalität von $\sqrt{5}$.

Der Beweis, dass $\sqrt{5}$ irrational sein muss, erfolgt analog zum Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid. Dazu ist es nützlich, das Gesetz der bis auf die Reihenfolge eindeutigen Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primzahlen zu kennen. Nimmt man an, es wäre $\frac{p}{q}=\sqrt{5}$ mit einem vollständig gekürzten Bruch $\frac{p}{q}$ mit positiven ganzen Zahlen $p,q$, so gilt bereits

$p^2=5q^2$.

Es ist also $p^2$ und ergo auch $p$ durch $5$ teilbar, da $5$ eine Primzahl ist. Damit besitzt $p$ also den Primteiler $5$, und dieser taucht bei $p^2$ in gerader Anzahl auf, da sich beim Quadrieren alle Primfaktoren verdoppeln. Da $p$ und $q$ teilerfremd sind – es ist $\frac{p}{q}$ nach Annahme vollständig gekürzt – taucht der Primfaktor $5$ nirgends in $q$ auf. Ergo taucht er nur einmal in $5q^2$ auf. Dies ist ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung, die besagt, dass auf beiden Seiten gleich viele Fünfen auftauchen müssen, aber $1$ ist keine gerade Zahl. Zu guter Letzt muss dann auch $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$ irrational sein, da irrationale Zahlen im Produkt mit rationalen Zahlen (außer 0) und in Summe mit rationalen Zahlen wieder irrational sind.

Die Goldene Zahl ist ferner eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Damit grenzt sie sich von anderen berühmten Konstanten, wie der Kreiszahl $\pi$ oder der Eulerschen Zahl $\mathrm{e}$, ab, die transzendent, und damit niemals Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind.

Zusammenhang mit den Fibonacci- und Lucas-Zahlen

Verhältnisse aufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen

$f_n$	$f_{n+1}$	$\frac{f_{n+1}}{f_n}$	Abweichung zu $\mathrm{\Phi }$ in %
01	01	= 1,0000	−38,0000
01	02	= 2,0000	+23,0000
02	03	= 1,5000	−7,300
03	05	≈ 1,6667	+3,000
05	08	= 1,6000	−1,100
08	13	= 1,6250	+0,430
13	21	≈ 1,6154	−0,160
21	34	≈ 1,6190	+0,063
34	55	≈ 1,6176	−0,024
55	89	≈ 1,6182	0+0,0091
89	144	≈ 1,6180	0−0,0035
144	233	≈ 1,6181	0+0,0013

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen (siehe unten die Abschnitte Mittelalter und Renaissance):

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233\dots$.

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge wird als Summe der beiden vorangehenden erhalten. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das rekursive Bildungsgesetz $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ bedeutet nämlich

$\frac{f_{n+1}}{f_n}=\frac{f_n+f_{n-1}}{f_n}=1+\frac{f_{n-1}}{f_n}$.

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert $x$ konvergiert, muss für diesen gelten

$x=1+\frac{1}{x}$.

In der Tat lässt sich daraus

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\mathrm{\Phi }$

folgern. Die Glieder der Fibonacci-Folge $f_n$ lassen sich für alle $n\in \mathbb{N}$ über die Formel von Binet berechnen:

$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\mathrm{\Phi }}^n-{(-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})}^n)$.

Diese Formel liefert die für die Fibonacci-Folge veranschlagten Anfangswerte $f_0=0$ und $f_1=1$ und erfüllt die rekursive Gleichung $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ für alle $n$ mit $n\ge 1$.

Ähnlich gilt

$L_n={\mathrm{\Phi }}^n+{(-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})}^n={\mathrm{\Phi }}^n+(1-\mathrm{\Phi }{)}^n$

für die $n$-te Lucas-Zahl. Allgemeiner ist jede komplexe Folge $(F_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ mit $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ von der Form $F_n=a{\mathrm{\Phi }}^n+b(-{\mathrm{\Phi }}^{-1}{)}^n$, wobei $a,b$ komplexe Zahlen sind, und umgekehrt.

Kettenbruchentwicklung

Da der Goldene Schnitt irrational ist, stellt sich die Frage, wie gut er sich durch rationale Zahlen annähern lässt. Grundsätzlich konnte gezeigt werden, dass es für eine beliebige irrationale Zahl $x$ stets unendlich viele rationale Zahlen $\frac{p}{q}$ gibt, so dass

$|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}^2}$.

Dieses Resultat ist fundamental im Gebiet der diophantischen Approximation. Erhöht sich der Nenner $q$, sind grundsätzlich auch bessere Annäherungen möglich, wie das sogar quadratische Abklingen der rechten Seite zeigt. Bemerkenswert ist die Konstante $\sqrt{5}$, die optimal gewählt ist, also nicht weiter vergrößert werden kann. Grund dafür ist der Goldene Schnitt, der (zusammen mit zu ihm äquivalenten Zahlen) die Eigenschaft hat, dass für alle $C>\sqrt{5}$ nur endlich viele rationale Annäherungen mit

$|\mathrm{\Phi }-\frac{p}{q}|<\frac{1}{C{q}^2}$

existieren. Für irrationale Zahlen, die nicht zu $\mathrm{\Phi }$ äquivalent sind, lässt sich die Konstante $C$ größer als $\sqrt{5}$ wählen (nämlich mit Wert $2\sqrt{2}$ (Satz von Hurwitz)). Der Goldene Schnitt gehört also unter den irrationalen Zahlen zu den am schlechtesten durch rationale Zahlen approximierbaren. Da seine Kettenbruchentwicklung überdies nur Einsen enthält, ist er in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.

Der mathematische Beweis der oberen Aussage fußt auf sogenannten Kettenbrüchen. Jede reelle Zahl lässt sich (im Wesentlichen eindeutig) durch einen Kettenbruch darstellen. Bricht man diesen nach endlich vielen Schritten ab, ergibt sich eine „besonders gute“ rationale Annäherung an diese Zahl. Für die Goldene Zahl gilt nun aber $\mathrm{\Phi }=1+\frac{1}{\mathrm{\Phi }}$, woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt:

$\mathrm{\Phi }=1+\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{\Phi }}}=\cdots =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{\cdots }{\cdots +\frac{1}{\mathrm{\Phi }}}}}}$.

Bricht man die Kettenbruchentwicklung ab, erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen. Weil im Kettenbruch lediglich Einsen auftauchen – die kleinste natürliche Zahl –, nähert sich dieser Kettenbruch mit der „minimal möglichen Geschwindigkeit“ der Goldenen Zahl an. Im Vergleich ist der Kettenbruch zur Kreiszahl $\pi$ – ebenfalls irrational – deutlich schneller konvergent.

In der Theorie der dynamischen Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab einer Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“ bezeichnet. In diesem Kontext wird der Goldene Schnitt als „nobelste“ aller noblen Zahlen bezeichnet.