Natur der Logik
▶Der Begriff „Logik“ geht auf das griechische Wort λόγος logos zurück, das mit verschiedenen Bedeutungen in Verbindung gebracht wird, wie „Vernunft“, „Diskurs“ oder „Sprache“. Es gibt viele Meinungsverschiedenheiten darüber, was Logik ist und wie sie definiert werden sollte.[1][2][3] Im Allgemeinen werden der Logik verschiedene Eigenschaften zugeschrieben, wie zum Beispiel, dass sie die Beziehung zwischen Prämissen und Konklusionen untersucht und dass dies auf eine themenneutrale Weise geschieht. Eine wichtige Aufgabe der Philosophie der Logik ist es, die Kriterien zu untersuchen, nach denen ein formales System als Logik gelten soll.[1] Verschiedene Auffassungen von Logik verstehen sie entweder auf der Grundlage gültiger Schlussfolgerungen oder logischer Wahrheit. Die Kriterien des gültigen Schließens und der logischen Wahrheit können ihrerseits auf unterschiedliche Weise spezifiziert werden: basierend auf syntaktischen oder semantischen Überlegungen.[3]
Traditionell wird Logik oft als die Disziplin verstanden, die Denkgesetze untersucht.[4] Ein Problem für diese Charakterisierung ist, dass die Logik keine empirische Disziplin ist, die die Regelmäßigkeiten im tatsächlichen menschlichen Denken untersucht: Dieses Thema gehört zur Psychologie.[4] Dies wird besser durch eine andere Charakterisierung erfasst, die manchmal in der Literatur zu finden ist: Die Logik befasst sich mit den Gesetzen des richtigen Denkens oder, genauer gesagt, des richtigen Schlussfolgerns.[4] Dies spiegelt die praktische Bedeutung der Logik als Werkzeug zur Verbesserung des eigenen Denkens wider, indem man gute Schlüsse zieht und sich möglicher Fehler bewusst wird.[3] Die Logik wurde auch als die Wissenschaft der gültigen Argumentation definiert.[1] Dies spiegelt die Definition in Bezug auf das Schlussfolgern wider, da Argumentation als äußerer Ausdruck des inneren Schlussfolgerns verstanden werden kann.[4]
Die Logik wird oft als formale Grundlage allen Wissens angesehen.[5] Als formale Wissenschaft steht sie im Gegensatz zu den materiellen oder empirischen Wissenschaften, wie der Physik oder der Biologie, da sie sich hauptsächlich mit inferenziellen Beziehungen zwischen Propositionen beschäftigt, nicht aber damit, ob diese Propositionen tatsächlich wahr sind.[6] Wenn man beispielsweise aus der Proposition „Alle Monde bestehen aus Käse“ ableitet, dass „der Mond der Erde aus Käse besteht“, so ist dies eine gültige Schlussfolgerung. Der Fehler in diesem Beispiel ist auf eine falsche Prämisse zurückzuführen, die zur empirischen Astronomie gehört.[6]
Ein zentrales Merkmal der Logik ist, dass sie themenneutral ist.[7][8] Dies bedeutet, dass sie sich mit der Gültigkeit von Argumenten beschäftigt, unabhängig vom Gegenstand dieser Argumente.[1] In diesem Sinne befassen sich die regulären Wissenschaften mit dem korrekten Denken innerhalb eines bestimmten Forschungsgebiets, beispielsweise in Bezug auf materielle Körper für die klassische Mechanik oder Lebewesen für die Biologie, während sich die Logik mit dem korrekten Denken im Allgemeinen befasst, welches für alle diese Disziplinen gilt.[1] Ein Problem bei dieser Charakterisierung ist, dass nicht immer klar ist, wie die Begriffe „themenneutral“ und „Gegenstand“ in diesem Zusammenhang zu verstehen sind.[8] So könnte man zum Beispiel argumentieren, dass die Logik erster Stufe aufgrund ihrer Verwendung von singulären Termen und Quantoren Individuen zum Gegenstand hat und daher nicht vollständig themenneutral ist.[1] Eine eng verwandte Charakterisierung besagt, dass sich die Logik eher mit der Form von Argumenten als mit ihrem Inhalt befasst. Aus dieser Sicht können die regulären Wissenschaften als Suche nach wahren Prämissen angesehen werden, während die Logik untersucht, wie man Schlussfolgerungen aus diesen oder anderen Prämissen zieht. Aber auch diese Charakterisierung ist nicht unproblematisch, da es schwierig ist, zwischen Form und Inhalt zu unterscheiden. Da beispielsweise die temporale Logik von der Zeit spricht, würde dies zu der unplausiblen Konklusion führen, dass die Zeit zur Form und nicht zum Inhalt von Argumenten gehört.[1]Diese Schwierigkeiten haben einige Theoretiker daran zweifeln lassen, dass die Logik einen klar bestimmbaren Geltungsbereich oder einen wesentlichen Charakter hat.[1]
Ein Ansatz zur Bestimmung der Natur der Logik besteht darin, die verschiedenen formalen Systeme, die als „Logiken“ bezeichnet werden, zu untersuchen, um herauszufinden, was für sie alle wesentlich ist, d. h. was sie zu Logiken macht.[2] Formale Systeme der Logik sind Systematisierungen logischer Wahrheiten, die auf bestimmten Prinzipien basieren, den sogenannten Axiomen.[3] Was die formale Logik betrifft, so ist eine zentrale Frage in der Philosophie der Logik, was ein formales System zu einem System der Logik macht und nicht zu einer Sammlung bloßer Zeichen zusammen mit Regeln, wie diese Zeichen zu manipulieren sind.[1] Es wurde argumentiert, dass eine zentrale Anforderung darin besteht, dass die Zeichen, und wie sie manipuliert werden, so interpretiert werden können, dass sie die grundlegenden Intuitionen über gültige Argumente widerspiegeln. Dies würde zum Beispiel bedeuten, dass es Wahrheitswerte gibt und dass das Verhalten einiger Zeichen dem von logischen Operatoren wie Negation oder Konjunktion entspricht.[1] Basierend auf dieser Charakterisierung vertreten einige Theoretiker die Auffassung, dass bestimmte formale Systeme, wie etwa die dreiwertige Logik oder die Fuzzylogik, zu weit vom allgemein akzeptierten Begriff der Logik abweichen, um als logische Systeme betrachtet zu werden.[1] Eine solche Position kann auf der Grundlage der Idee verteidigt werden, dass sie durch die Ablehnung einiger grundlegender logischer Annahmen eine zu radikale Abkehr von grundlegenden logischen Intuitionen beinhalten, um als Logik betrachtet zu werden. Es wurde vorgeschlagen, dass die Ablehnung des Prinzips der Bivalenz der Wahrheit, d. h. dass Propositionen entweder wahr oder falsch sind, einen solchen Fall darstellt.[1] Metalogiker vertreten zuweilen die Auffassung, dass logische Vollständigkeit eine notwendige Voraussetzung logischer Systeme ist.[1] Ein formales System ist vollständig, wenn es möglich ist, aus seinen Axiomen jeden Satz abzuleiten, der zu ihm gehört.[3][4] Dies würde bedeuten, dass nur formale Systeme, die vollständig sind, als logische Systeme verstanden werden sollten. Ein umstrittenes Argument für diesen Ansatz ist, dass unvollständige Theorien nicht vollständig formalisiert werden können, was im Widerspruch zum formalen Charakter der Logik steht. Nach dieser Auffassung stellt die Logik erster Stufe ein logisches System dar.[1] Dies würde aber auch bedeuten, dass „Logiken“ höherer Stufe aufgrund ihrer Unvollständigkeit streng genommen keine Logiken sind.[3]
Die Logik wird häufig als das Studium gültiger oder korrekter Schlussfolgerungen definiert.[5][9][3] Nach dieser Auffassung ist es die Aufgabe der Logik, eine allgemeine Darstellung des Unterschieds zwischen richtigen und falschen Schlussfolgerungen zu liefern. Eine Schlussfolgerung ist eine Reihe von Prämissen zusammen mit einer Konklusion. Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn die Konklusion aus den Prämissen folgt, d. h. wenn die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion gewährleistet.[10][9][5][2] Eine andere Möglichkeit, Logik zu definieren, ist als das Studium der logischen Wahrheit.[3] Die logische Wahrheit ist eine besondere Form der Wahrheit, da sie nicht davon abhängt, wie die Dinge sind, also davon, welche mögliche Welt wirklich ist. Stattdessen ist eine logisch wahre Proposition in allen möglichen Welten wahr.[5] Ihre Wahrheit beruht ausschließlich auf der Bedeutung der darin enthaltenen Begriffe, unabhängig von allen empirischen Tatsachen.[2] Es gibt eine wichtige Verbindung zwischen diesen beiden Konzeptualisierungen: Ein Schluss von den Prämissen auf eine Konklusion ist gültig, wenn die materiale Implikation von den Prämissen zu der Konklusion logisch wahr ist.[5] Beispielsweise ist die Schlussfolgerung von „Rosen sind rot und Gras ist grün“ zu „Rosen sind rot“ gültig, da die materiale Implikation „wenn Rosen rot und Gras grün sind, dann sind Rosen rot“ logisch wahr ist.
Ob Logik als das Studium von gültigen Schlussfolgerungen oder der logischen Wahrheit definiert wird, lässt die genauen Kriterien dieser Begriffe offen. Es gibt zwei wichtige Möglichkeiten, diese Kriterien zu spezifizieren: den syntaktischen und den semantischen Ansatz, manchmal auch als deduktiv-theoretischer und modelltheoretischer Ansatz bezeichnet.[3][9] In diesem Sinne kann eine Logik als eine formale Sprache zusammen mit entweder einer deduktiv-theoretischen oder einer modelltheoretischen Darstellung der logischen Konsequenzrelation definiert werden.[9][11][12] Der syntaktische Ansatz versucht, diese Merkmale nur auf der Grundlage syntaktischer oder formaler Merkmale der Prämissen und der Konklusion zu erfassen.[3] Dies wird in der Regel dadurch erreicht, dass sie durch eine formale Symbolik ausgedrückt werden, um diese Merkmale explizit und unabhängig von den Mehrdeutigkeiten und Unregelmäßigkeiten der natürlichen Sprache zu machen.[3] In diesem Formalismus hängt die Gültigkeit von Argumenten nur von der Struktur des Arguments ab, insbesondere von den logischen Konstanten, die in den Prämissen und der Konklusion verwendet werden.[4][3] Nach dieser Auffassung ist eine Proposition dann und nur dann eine logische Folge einer Gruppe von Prämissen, wenn der Satz aus diesen Prämissen ableitbar ist.[12] Diese Ableitung geschieht unter Verwendung von Schlussregeln.[3] Dies bedeutet, dass es für ein gültiges Argument nicht möglich ist, wahre Prämissen mit einer falschen Konklusion zu erzeugen, indem ihre Bestandteile durch Elemente ersetzt werden, die zu ähnlichen Kategorien gehören, wobei die logischen Konstanten beibehalten werden.[5] Im Falle logischer Wahrheiten kann eine solche Substitution sie nicht falsch machen. Verschiedene Gruppen von Schlussregeln bilden unterschiedliche deduktive Systeme, z. B. die der klassischen Logik oder die der intuitionistischen Logik. Ob eine Proposition eine logische Konsequenz ist, hängt also nicht nur von den Prämissen ab, sondern auch vom verwendeten deduktiven System.[12]
Ein Problem des syntaktischen Ansatzes besteht darin, dass die Verwendung einer formalen Sprache für ihn von zentraler Bedeutung ist. Aber das Problem der Logik, d. h. des gültigen Schließens und der logischen Wahrheit, findet sich nicht nur in formalen Sprachen, sondern auch in natürlichen Sprachen.[3] Aber auch im Rahmen der formalen Sprachen wirft das Problem der Wahrheit eine Vielzahl von Problemen auf, die oft eine reichhaltigere Metasprache erfordern, um angemessen behandelt werden zu können. Dies gefährdet den syntaktischen Ansatz, selbst wenn er auf formale Sprachen beschränkt ist.[3] Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass oft nicht klar ist, wie formale von nicht-formalen Merkmalen, also logische von nicht-logischen Symbolen, zu unterscheiden sind. Diese Unterscheidung ist das Herzstück des syntaktischen Ansatzes, aufgrund ihrer Rolle bei der Definition gültiger Schlussfolgerungen oder logischer Wahrheiten.[13][4]
Der semantische Ansatz hingegen konzentriert sich auf die Beziehung zwischen Sprache und Realität. In der Logik wird die Untersuchung dieser Beziehung oft als Modelltheorie bezeichnet.[14] Aus diesem Grund wird der semantische Ansatz auch als modelltheoretische Konzeptualisierung der Logik bezeichnet.[11] Er wurde ursprünglich von Alfred Tarski entwickelt und charakterisiert die logische Wahrheit nicht in Bezug auf die in Sätzen verwendeten logischen Konstanten, sondern basierend auf mengentheoretischen Strukturen, die zur Interpretation dieser Sätze verwendet werden.[4][11][14] Die Idee hinter diesem Ansatz ist, dass Sätze nicht an sich wahr oder falsch sind, sondern nur in Bezug auf eine Interpretation wahr oder falsch sind.[14][11] Interpretationen werden in der Regel mengentheoretisch als Funktionen zwischen im Satz verwendeten Symbolen und einer Domäne von Objekten verstanden. Eine solche Funktion ordnet Konstantensymbolen einzelne Elemente der Domäne und Prädikate Tupel von Elementen der Domäne zu.[14][11] Eine Interpretation eines Satzes (oder einer Theorie, die aus mehreren Sätzen besteht) wird als Modell dieses Satzes bezeichnet, wenn der Satz nach dieser Interpretation wahr ist.[14][11] Ein Satz ist logisch wahr, wenn er in jeder Interpretation wahr ist, d. h. wenn jede Interpretation ein Modell dieses Satzes ist. In diesem Fall ist der Satz immer wahr, unabhängig davon, wie die Interpretationsfunktion und die Domäne der Objekte, auf die sie verweist, definiert sind.[4][15][11] Wenn Interpretationen in Bezug auf mögliche Welten verstanden werden, können logisch wahre Sätze als Sätze angesehen werden, die in jeder möglichen Welt wahr sind.[4] In Bezug auf gültige Argumente ausgedrückt: Ein Argument ist dann und nur dann gültig, wenn seine Konklusion in allen möglichen Welten wahr ist, in denen seine Prämissen wahr sind.[5]
Diese Konzeptualisierung vermeidet die Probleme des syntaktischen Ansatzes, die mit der Schwierigkeit verbunden sind, zwischen logischen und nicht-logischen Symbolen zu unterscheiden. Sie hat aber auch mit anderen eigenen Problemen zu kämpfen.[4] Einerseits teilt sie mit dem syntaktischen Ansatz das Problem, dass sie eine Metasprache benötigt, um das Problem der Wahrheit anzugehen.[3] Sie setzt daher eine formale Sprache voraus, die aus einer Perspektive außerhalb ihrer selbst untersucht werden kann. Dies wirft Probleme bei der Verallgemeinerung ihre Einsichten auf die Logik der Sprache im Allgemeinen als allumfassendes Medium auf.[4] Andererseits ignoriert sie die Beziehung zwischen Sprache und Welt, da sie Wahrheit auf der Grundlage der Interpretation definiert, die nur zwischen Symbolen und mengentheoretischen Objekten stattfindet.[4]
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